解決多元函數(shù)的最值問題不僅涉及到函數(shù)、導數(shù)、均值不等式等知識，還涉及到消元法、三角代換法、齊次式等解題技能．
必考題型全歸納
題型一：消元法
例1．（2024·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)x，y滿足，則的最大值為______.
例2．（2024·廣東梅州·高三五華縣水寨中學?？茧A段練習）已知實數(shù)滿足：，則的最大值為___________.
例3．（2024·天津和平·高三天津一中校考階段練習）對任給實數(shù),不等式恒成立,則實數(shù)的最大值為__________.
題型二：判別式法
例4．（2024·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學?？计谥校┤簦瑒t當______時，取得最大值，該最大值為______.
例5．（2024·全國·高三競賽）在中，，則的最大值為_______________．
例6．（2024·高一課時練習）設非零實數(shù)a，b滿足，若函數(shù)存在最大值M和最小值m，則_________.
變式1．（2024·江蘇·高三專題練習）若正實數(shù)滿足，則的最大值為________．
變式2．（2024·全國·高三專題練習）設，，若，且的最大值是，則___________.
題型三：基本不等式法
例7．設x、y、z是不全是0的實數(shù).則三元函數(shù)的最大值是_____.
例8．（2024·天津和平·高三耀華中學校考階段練習）若實數(shù)滿足，則的最大值為________.
例9．（2024·全國·高三專題練習）已知正數(shù)，則的最大值為_________．
題型四：輔助角公式法
例10．（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學考試）設角、均為銳角，則的范圍是______________．
例11．的取值范圍是 ．
題型五：柯西不等式法
例12．（2024·廣西欽州·高二統(tǒng)考期末）已知實數(shù)，，（i＝1，2…，n），且滿足，，則最大值為（ ）
A．1B．2C．D．
例13．（2024·陜西渭南·高二?？茧A段練習）已知，，是正實數(shù)，且，則的最小值為______.
例14．（2024·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知，，則的最小值為______.
變式3．（2024·全國·高三競賽）已知、、，且，，則的最小值為.
A．B．
C．36D．45
變式4．（2024·全國·高三競賽）設為實數(shù)，且.則的最大值等于.
A．B．0C．D．
題型六：權方和不等式法
例15．（2024·甘肅·高三校聯(lián)考）已知x>0，y>0，且，則x+2y的最小值為____________ .
例16．已知實數(shù)滿足且，則的最小值是
例17．已知，則的最小值是 ．
變式5．已知，則的最小值是 ．
題型七：拉格朗日乘數(shù)法
例18．，，，求的最小值．
例19．設為實數(shù)，若，則的最大值是 ．
題型八：三角換元法
例20．（2024·山西晉中·高三祁縣中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，若，則的最大值是________
例21．（2024·浙江溫州·高一校聯(lián)考競賽），則的最小值為______.
題型九：構造齊次式
例22．（2024·江蘇·高一專題練習）已知，，則的最大值是______.
例23．（2024·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習）已知實數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A．12B．C．D．8
例24．（2024·天津南開·高三統(tǒng)考期中）已知正實數(shù)a，b，c滿足，則的最大值為____________．
題型十：數(shù)形結合法
例25．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)（a，）在區(qū)間[0，c]（）上的最大值為M，則當M取最小值2時，_____
例26．（2024·江蘇揚州·高三階段練習）已知函數(shù)，若且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
例27．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
變式6．（2024·江蘇·高三專題練習）已知函數(shù)若存在實數(shù)，滿足，且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
題型十一：向量法
例28．（2024·江蘇南通·高一海安高級中學?？茧A段練習）17世紀法國數(shù)學家費馬在給朋友的一封信中曾提出一個關于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內(nèi)，求一點，使它到三角形每個頂點的距離之和最小，現(xiàn)已證明：在中，若三個內(nèi)角均小于，則當點P滿足時，點P到三角形三個頂點的距離之和最小，點P被人們稱為費馬點．根據(jù)以上知識，已知為平面內(nèi)任意一個向量，和是平面內(nèi)兩個互相垂直的向量，且，則的最小值是_____________．
例29．（2024·浙江嘉興·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，，滿足，，，，則的最小值為________.
例30．（2024·湖北武漢·高一湖北省武昌實驗中學校聯(lián)考期末）已知向量，滿足，，則的最大值為__________．
題型十二：琴生不等式法
例31．（2024·福建龍巖·高三校考階段練習）若函數(shù)的導函數(shù)存在導數(shù)，記的導數(shù)為．如果對，都有，則有如下性質(zhì)：．其中，，，， .若，則在銳角中，根據(jù)上述性質(zhì)推斷：的最大值為________.
例32．（2024·全國·高三競賽）半徑為的圓的內(nèi)接三角形的面積的最大值是______．
例33．（2024·北京·高三強基計劃）已知正實數(shù)a，b滿足，求的最小值
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第27講 多元最值問題
知識梳理
解決多元函數(shù)的最值問題不僅涉及到函數(shù)、導數(shù)、均值不等式等知識，還涉及到消元法、三角代換法、齊次式等解題技能．
必考題型全歸納
題型一：消元法
例1．（2024·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)x，y滿足，則的最大值為______.
【答案】/
【解析】由得，所以，則，
因為，，，所以，
令，則，所以在上單調(diào)遞增，
所以由，即，得，所以，
所以，
令，則，
令，得；令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即的最大值為．
故答案為：．
例2．（2024·廣東梅州·高三五華縣水寨中學?？茧A段練習）已知實數(shù)滿足：，則的最大值為___________.
【答案】
【解析】由已知得，，
令，則，
在上單調(diào)遞增，
又因為，
所以
，
，
令
所以，
則當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；
所以.
故答案為：.
例3．（2024·天津和平·高三天津一中校考階段練習）對任給實數(shù),不等式恒成立,則實數(shù)的最大值為__________.
【答案】
【解析】因為對任給實數(shù),不等式恒成立，
所以，
令，則，
，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當時，取得最小值，，
所以實數(shù)的最大值為
故答案為：
題型二：判別式法
例4．（2024·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學?？计谥校┤?，，則當______時，取得最大值，該最大值為______.
【答案】 / /
【解析】令，則，
則，
即，
由，解得：，
故，
故，解得：，，
所以當且僅當，時，等號成立，
故答案為：，
例5．（2024·全國·高三競賽）在中，，則的最大值為_______________．
【答案】
【解析】令，則，即．
因為，
所以，
整理得，
，
化簡得，
于是，得，
所以的最大值為．
故答案為：.
例6．（2024·高一課時練習）設非零實數(shù)a，b滿足，若函數(shù)存在最大值M和最小值m，則_________.
【答案】2
【解析】化簡得到，根據(jù)和得到，解得答案.，則，則，
即，，故，
，即，即，
.
故答案為：2.
變式1．（2024·江蘇·高三專題練習）若正實數(shù)滿足，則的最大值為________．
【答案】
【解析】令，則，即，因此
，解得：，當時，
，因此的最大值為
故答案為：
變式2．（2024·全國·高三專題練習）設，，若，且的最大值是，則___________.
【答案】4
【解析】令=d，由消去a得：，即，
而，，則，，，
依題意，解得.
故答案為：4
題型三：基本不等式法
例7．設x、y、z是不全是0的實數(shù).則三元函數(shù)的最大值是_____.
【答案】
【解析】引入正參數(shù)λ、μ.
因為，，所以，
，.
兩式相加得.
令，得，
故.
因此，的最大值為.
例8．（2024·天津和平·高三耀華中學?？茧A段練習）若實數(shù)滿足，則的最大值為________.
【答案】
【解析】由，得，
設，其中.
則，從而，
記，則，
不妨設，則,
當且僅當，即時取等號，即最大值為.
故答案為：.
例9．（2024·全國·高三專題練習）已知正數(shù)，則的最大值為_________．
【答案】
【解析】（當且僅當，時取等號），
的最大值為.
故答案為：.
題型四：輔助角公式法
例10．（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學考試）設角、均為銳角，則的范圍是______________．
【答案】
【解析】因為角、均為銳角，所以的范圍均為，
所以，
所以
因為，
所以，
，
當且僅當時取等，
令，，，
所以.
則的范圍是：.
故答案為：
例11．的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】
因為，
所以，
令，則，
則，
所以，（當且僅當即時取等）；
且，（當且僅當即時取等）．
故的取值范圍為．
題型五：柯西不等式法
例12．（2024·廣西欽州·高二統(tǒng)考期末）已知實數(shù)，，（i＝1，2…，n），且滿足，，則最大值為（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)柯西不等式，，故，又當時等號成立，故最大值為1
故選：A
例13．（2024·陜西渭南·高二?？茧A段練習）已知，，是正實數(shù)，且，則的最小值為______.
【答案】10
【解析】由柯西不等式可得，
所以，即，
當且僅當即也即時取得等號，
故答案為：
例14．（2024·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知，，則的最小值為______.
【答案】9
【解析】∵
∴,當且僅當時等號成立，即，
∵
，當且僅當時等號成立，可取
故答案為：9
變式3．（2024·全國·高三競賽）已知、、，且，，則的最小值為.
A．B．
C．36D．45
【答案】C
【解析】由，
.
知.
當時，取得最小值36.
故答案為C
變式4．（2024·全國·高三競賽）設為實數(shù)，且.則的最大值等于.
A．B．0C．D．
【答案】D
【解析】由題意得，所以(利用柯西不等式）.
從而， .
故.
當且僅當，，，時，等號成立.
題型六：權方和不等式法
例15．（2024·甘肅·高三校聯(lián)考）已知x>0，y>0，且，則x+2y的最小值為____________ .
【答案】
【解析】設，
可解得，
從而
，
當且僅當時取等號.
故答案為：．
例16．已知實數(shù)滿足且，則的最小值是
【答案】
【解析】．
當時，取等號．
例17．已知，則的最小值是 ．
【答案】8
【解析】，
當時，即，兩個等號同時成立．
變式5．已知，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】．
即當時，即，有的最小值為．
題型七：拉格朗日乘數(shù)法
例18．，，，求的最小值．
【解析】令
，，，
聯(lián)立解得，，，故最小為12．
例19．設為實數(shù)，若，則的最大值是 ．
【答案】
【解析】令，
由，解得，
所以的最大值是．
題型八：三角換元法
例20．（2024·山西晉中·高三祁縣中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，若，則的最大值是________
【答案】
【解析】設g(x)=f(x)-3,所以g(x)=,
所以
所以g(-x)=-g(x),所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，
由題得，
所以函數(shù)g（x）是減函數(shù)，
因為，
所以，
所以g=0,
所以g=g(1-,所以
不妨設，
所以=
=，所以的最大值為.
故答案為
例21．（2024·浙江溫州·高一校聯(lián)考競賽），則的最小值為______.
【答案】
【解析】根據(jù)條件等式可設，代入所求式子，利用二倍角公式和輔助角公式化簡，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求出最值.，則，即，
設，則，
，其中是輔助角，且，
當時，原式取得最小值為.
故答案為：.
題型九：構造齊次式
例22．（2024·江蘇·高一專題練習）已知，，則的最大值是______.
【答案】
【解析】由題意，
，
設，則，當且僅當，即取等號，
又由在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為，即，
所以，
所以的最大值是.
故答案為：.
例23．（2024·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習）已知實數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A．12B．C．D．8
【答案】A
【解析】由，，，
所以
，
當且僅當時，取等號，
所以的最小值為：12，
故選：A.
例24．（2024·天津南開·高三統(tǒng)考期中）已知正實數(shù)a，b，c滿足，則的最大值為____________．
【答案】/0.25
【解析】由，得，
∵正實數(shù)a，b，c
∴則
則，
當且僅當，且a，b>0，即a=3b時，等號成立
則
所以，的最大值為.
故答案為：.
題型十：數(shù)形結合法
例25．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)（a，）在區(qū)間[0，c]（）上的最大值為M，則當M取最小值2時，_____
【答案】2
【解析】解法一：因為函數(shù)是二次函數(shù)，
所以（a，）在區(qū)間[0，c]（）上的最大值是在[0，c]的端點取到或者在處取得．
若在取得，則；若在取得，則；
若在取得，則；
進一步，若，則頂點處的函數(shù)值不為2，應為0，符合題意；
若，則頂點處的函數(shù)值的絕對值大于2，不合題意；
由此推斷，即有，，
于是有．
解法二：設，，則．
首先作出在時的圖象，顯然經(jīng)過（0，0）和的直線為，該曲線在[0，c]上單調(diào)遞增；
其次在圖象上找出一條和平行的切線，
不妨設切點為，于是求導得到數(shù)量關系．
結合點斜式知該切線方程為．
因此，即得．此時，
即，那么，．從而有．
例26．（2024·江蘇揚州·高三階段練習）已知函數(shù)，若且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】當時，，
求導，令，得
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；
作分段函數(shù)圖象如下所示：
設點的橫坐標為，過點作軸的垂線交函數(shù)于另一點，設點的橫坐標為，并過點作直線的平行線，設點到直線的距離為，，
由圖形可知，當直線與曲線相切時，取最大值，
令，得，切點坐標為，
此時，，
，
故選：D
例27．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設點的橫坐標為，過點作軸的垂線交函數(shù)于另一點，設點的橫坐標為，并過點作直線的平行線，設點到直線的距離為，計算出直線的傾斜角為，可得出，于是當直線與曲線相切時，取最大值，從而取到最大值.當時，，
求導，令，得
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；
如下圖所示：
設點的橫坐標為，過點作軸的垂線交函數(shù)于另一點，設點的橫坐標為，并過點作直線的平行線，設點到直線的距離為，，
由圖形可知，當直線與曲線相切時，取最大值，
令，得，切點坐標為，
此時，，，
故選：B.
變式6．（2024·江蘇·高三專題練習）已知函數(shù)若存在實數(shù)，滿足，且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】的圖象如下
存在實數(shù)，滿足，且，即
∴，則
令，，則
∴在上單調(diào)遞增，故
故選：B
題型十一：向量法
例28．（2024·江蘇南通·高一海安高級中學校考階段練習）17世紀法國數(shù)學家費馬在給朋友的一封信中曾提出一個關于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內(nèi)，求一點，使它到三角形每個頂點的距離之和最小，現(xiàn)已證明：在中，若三個內(nèi)角均小于，則當點P滿足時，點P到三角形三個頂點的距離之和最小，點P被人們稱為費馬點．根據(jù)以上知識，已知為平面內(nèi)任意一個向量，和是平面內(nèi)兩個互相垂直的向量，且，則的最小值是_____________．
【答案】
【解析】以 為x軸， 為y軸，建立直角坐標系如下圖，設 ，
則 ， ，
即為平面內(nèi)一點 到 三點的距離之和，
由費馬點知：當點 與三頂點 構成的三角形ABC為費馬點時 最小，
將三角形ABC放在坐標系中如下圖：
現(xiàn)在先證明 的三個內(nèi)角均小于 ：
， ，
，
為銳角三角形，滿足產(chǎn)生費馬點的條件，又因為 是等腰三角形，
點P必定在底邊BC的對稱軸上，即y軸上， ，
，即 ，
現(xiàn)在驗證：
，
， ，同理可證得 ，
即此時點 是費馬點，到三個頂點A，B，C的距離之和為 ，即的最小值為 ；
故答案為：.
例29．（2024·浙江嘉興·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，，滿足，，，，則的最小值為________.
【答案】
【解析】令，，，中點為，中點為，為的中點，
由，，，得，
則，即，所以，所以，即，，所以，因為，所以，即，所以，
所以點的軌跡為以為直徑的圓，
，
當且僅當、、共線且在線段之間時取等號．
的最小值為．
故答案為：．
例30．（2024·湖北武漢·高一湖北省武昌實驗中學校聯(lián)考期末）已知向量，滿足，，則的最大值為__________．
【答案】/
【解析】取平行四邊形，連接

設，則，
因為向量，滿足，所以，即，
設，，如圖以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，

則
所以，則，故，
所以
因為，又，可設
即，所以，其中，所以，所以，
故的最大值為，即的最大值為.
故選：.
題型十二：琴生不等式法
例31．（2024·福建龍巖·高三?？茧A段練習）若函數(shù)的導函數(shù)存在導數(shù)，記的導數(shù)為．如果對，都有，則有如下性質(zhì)：．其中，，，， .若，則在銳角中，根據(jù)上述性質(zhì)推斷：的最大值為________.
【答案】/.
【解析】，則，.
在銳角中，，，，
則
∴ ，
∴ 的最大值為.
故答案為： .
例32．（2024·全國·高三競賽）半徑為的圓的內(nèi)接三角形的面積的最大值是______．
【答案】
【解析】設的內(nèi)接三角形為．
顯然當是銳角或直角三角形時，面積可以取最大值（因為若是鈍角三角形，可將鈍角（不妨設為）所對邊以圓心為對稱中心作中心對稱成為）．
因此，．
下面設，，，．
則．
由討論知可設、、，而在上是上凸函數(shù)．
則由琴生不等式知．
所以，．
當且僅當是正三角形時，上式等號成立．
故答案為
例33．（2024·北京·高三強基計劃）已知正實數(shù)a，b滿足，求的最小值．
【解析】設，則，
從而，故在下凸，
因此，即,
當且僅當時等號成立．所以的最小值為華
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6、圓錐曲線專題（wrd+PDF）
7、導數(shù)專題（wrd+PDF）
8、全國名校期中期末一模二模（純wrd解析版）
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