（考試時(shí)間：100分鐘 滿分：150分）
考生注意：
1．本試卷含三個(gè)大題，共25題，答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本調(diào)研卷上答題一律無效。
2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙相應(yīng)位置上寫出證明或計(jì)算的主要步驟。
一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，在答題紙相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上用2B鉛筆正確填涂】
1．下列是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．關(guān)于一元二次方程根的情況，正確的是（ ）
A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根
3．下列函數(shù)中，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
4．為了解某公司的收入水平，隨機(jī)挑選五人的月工資進(jìn)行抽樣調(diào)查，月工資（單位：元）分別是3000，4000，5000，6000，50000，那么能夠較好的反映他們收入平均水平的是（ ）
A．中位數(shù) B．標(biāo)準(zhǔn)差 C．平均數(shù) D．眾數(shù)
5．如圖，己知點(diǎn)A、B、C、D都在上，，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列命題是假命題的是（ ）
A．對(duì)邊之和相等的平行四邊形是菱形
B．一組鄰邊上的高相等的平行四邊形是菱形
C．一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，另一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角的四邊形是菱形
D．被一條對(duì)角線分割成兩個(gè)等腰三角形的平行四邊形是菱形
二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．計(jì)算：___________．
8．截至2023年底，全國高鐵營(yíng)業(yè)里程約為45000公里，這個(gè)數(shù)45000用科學(xué)記數(shù)法表示為___________．
9．函數(shù)的定義域?yàn)開__________．
10．方程的解是___________．
11．已知方程，如果設(shè)，那么原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的整式方程為________________．
12．如果二次函數(shù)的圖像向右平移3個(gè)單位后經(jīng)過原點(diǎn)，那么m的值為___________．
13．在1，2，3中任取兩個(gè)不重復(fù)的數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，那么這個(gè)兩位數(shù)是素?cái)?shù)的概率是___________．
14．為了解某校六年級(jí)300名學(xué)生來校的方式，隨機(jī)調(diào)查了該校六年級(jí)50名學(xué)生同一天來校的方式，并繪制了如圖所示的餅狀圖，那么估計(jì)該校六年級(jí)300名學(xué)生中這一天步行來學(xué)校的共有___________名．
15．如圖，在中，點(diǎn)D在邊AB上，且，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，設(shè)向量，，如果用、表示，那么___________．
16．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，點(diǎn)F在邊CD上（點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合），且，那么的值為___________．
17．在中，，將繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D、點(diǎn)E，如果點(diǎn)A在DE的延長(zhǎng)線上，且，那么的余弦值為___________．
18．我們把以三角形的重心為圓心的圓叫做該三角形的重心圓．如圖，在中，，如果的重心圓與該三角形各邊的公共點(diǎn)一共有4個(gè)，那么它的半徑r的取值范圍是___________．
三、解答題（本大題共7題，滿分78分）【將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應(yīng)位置上】
19．（本題滿分10分）
計(jì)算：
20．（本題滿分10分）
解方程組：
21．（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）
如圖，經(jīng)過平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)B、C、D，點(diǎn)O在邊AD上，．
（1）求平行四邊形ABCD的面積；
（2）求的正弦值．
22．（本題滿分10分，第（1）小題3分，第（2）小題3分，第（3）小題4分）
春節(jié)期間甲乙兩家商店各自推出優(yōu)惠活動(dòng)
設(shè)顧客在甲乙兩家商店購買商品的原價(jià)都為x元，請(qǐng)根據(jù)條件回答下列問題：
（1）如果顧客在甲商店購買商品選擇優(yōu)惠活動(dòng)后實(shí)際付款y元，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不必寫出函數(shù)定義域）；
（2）購買原價(jià)在500元以下的商品時(shí)，如果分別選擇甲商店的優(yōu)惠活動(dòng)和乙商店的優(yōu)惠活動(dòng)后，實(shí)際付款金額相等，求x的值；
（3）顧客購買原價(jià)在900元以下的商品時(shí)，如果選擇乙商店的優(yōu)惠活動(dòng)比選擇甲商店的優(yōu)惠活動(dòng)更合算，求x的取值范圍．
23．（本題滿分12分，第（1）小題5分，第（2）小題7分）
己知：在梯形ABCD中，，點(diǎn)E在邊AD上（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合），點(diǎn)F在邊CD上，且．
（1）求證：；
（2）聯(lián)結(jié)EF，與BD交于點(diǎn)G，如果，求證：四邊形BEDF為等腰梯形．
24．（本題滿分12分，第（1）小題4分，第（2）小題8分）
在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)F是上述拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AF分別與y軸、線段BC交于點(diǎn)D、E．
①當(dāng)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；
②聯(lián)結(jié)AC，如果的面積是面積的3倍，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．
25．（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題10分）
己知在中，，點(diǎn)O為邊AB上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作，交邊AC于點(diǎn)D（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、C重合）．
圖1 備用圖 備用圖
（1）當(dāng)時(shí)，判斷點(diǎn)B與的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）過點(diǎn)C作，交OD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．以點(diǎn)E為圓心，EC為半徑作，延長(zhǎng)CE，交于點(diǎn)．
①如圖1，如果與的公共弦恰好經(jīng)過線段EO的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)；
②聯(lián)結(jié)、OC，如果與的一條邊平行，求的半徑長(zhǎng)．
上海市長(zhǎng)寧區(qū)2023學(xué)年第二學(xué)期初三數(shù)學(xué)
教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試卷
（考試時(shí)間：100分鐘 滿分：150分）
考生注意：
1．本試卷含三個(gè)大題，共25題，答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本調(diào)研卷上答題一律無效。
2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙相應(yīng)位置上寫出證明或計(jì)算的主要步驟。
一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，在答題紙相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上用2B鉛筆正確填涂】
1．下列是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查最簡(jiǎn)二次根式知識(shí)點(diǎn)
①被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1；
②被開方數(shù)不含分母.
被開方數(shù)同時(shí)符合上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.
【詳解】由最簡(jiǎn)二次根式知識(shí)點(diǎn)，判斷得到A，B，D不是最簡(jiǎn)二次根式。
A 中，
B中，
D中，
答案為C
2．關(guān)于一元二次方程根的情況，正確的是（ ）
A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根
【答案】B
【分析】本題考查一元二次方程根的情況，根據(jù)一元二次方程判別式與根情況的關(guān)系，列代數(shù)式求解即可．
，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根．
【詳解】經(jīng)過計(jì)算得，△＞0，所以選B
3．下列函數(shù)中，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查正反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)
【詳解】A選項(xiàng)，在對(duì)稱軸右側(cè)，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大，左側(cè)不滿足題意，故A錯(cuò)；
B選項(xiàng)，反比例函數(shù)，過二四象限，在各自象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大，但在x取0時(shí)，不滿足題意，故B錯(cuò)；
C選項(xiàng)，正比例函數(shù)，k＜0，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而減小，故C錯(cuò)；
D選項(xiàng)，一次函數(shù)，k＞0，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大，故D正確。
正確答案為D
4．為了解某公司的收入水平，隨機(jī)挑選五人的月工資進(jìn)行抽樣調(diào)查，月工資（單位：元）分別是3000，4000，5000，6000，50000，那么能夠較好的反映他們收入平均水平的是（ ）
A．中位數(shù) B．標(biāo)準(zhǔn)差 C．平均數(shù) D．眾數(shù)
【答案】A
【分析】本題考查學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)的一些概念的理解
【詳解】根據(jù)中位數(shù)的定義先確定從小到大或者從大到小排列，能夠較好的反映他們收入平均水平；
標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算數(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用“s”表示，即
方差、標(biāo)準(zhǔn)差都反映一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小；
平均數(shù)：一般地，如果有個(gè)數(shù)那么，叫做這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)；
眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
根據(jù)定義，容易得到答案為A
5．如圖，己知點(diǎn)A、B、C、D都在上，，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查圓中的弦，弧，圓心角之間的相關(guān)關(guān)系及垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)
【詳解】由OB⊥AC，及垂徑定理得A正確；
由BC=CD，得到∠BOC=∠DOC，又因?yàn)镺B⊥AC，所以∠AOB=∠BOC
所以∠AOB=∠BOC=∠DOC，所以B正確；
由題目條件無法得到C選項(xiàng)結(jié)果，C錯(cuò)誤；
由垂徑定理推論得到OC⊥BD，D正確。
本題答案為C
6．下列命題是假命題的是（ ）
A．對(duì)邊之和相等的平行四邊形是菱形
B．一組鄰邊上的高相等的平行四邊形是菱形
C．一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，另一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角的四邊形是菱形
D．被一條對(duì)角線分割成兩個(gè)等腰三角形的平行四邊形是菱形
【答案】D
【分析】本題考查菱形的判定
【詳解】
對(duì)邊之和相等的平行四邊形是菱形?！咂叫兴倪呅沃?，對(duì)邊相等，∴對(duì)邊之和相等，即得到鄰邊相等，∴四邊都相等，所以為菱形。這種說法是正確的。
一組鄰邊上的高相等的平行四邊形是菱形?！呤瞧叫兴倪呅?又一組鄰邊上的高相等 ∴可以得到三角形全等，所以得到鄰邊相等，所以為菱形。這種說法是正確的。
C．一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，另一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角的四邊形是菱形。由三角形全等及邊角關(guān)系可得鄰邊相等，所以為菱形。這種說法是正確的。
D．被一條對(duì)角線分割成兩個(gè)等腰三角形的平行四邊形是菱形?？梢钥捶蠢?，如果AB=AC=DC，此時(shí)滿足題意，但很明顯不是菱形。這種說法是錯(cuò)誤的。
本題答案為D
二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．計(jì)算：___________．
【答案】
【分析】本題考查公式
【詳解】答案為
8．截至2023年底，全國高鐵營(yíng)業(yè)里程約為45000公里，這個(gè)數(shù)45000用科學(xué)記數(shù)法表示為___________．
【答案】
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，解題的關(guān)鍵是正確表示和的值．由科學(xué)記數(shù)法的表示方法，表示出和的值，得到答案．
【詳解】答案為
9．函數(shù)的定義域?yàn)開__________．
【答案】
【分析】本題考查函數(shù)有意義的條件，及分式有意義的條件
【詳解】由分母≠0，得到答案
所以答案為
10．方程的解是___________．
【答案】
【分析】本題考查無理方程的解法，及驗(yàn)根
【詳解】由題意，兩邊平方得
所以答案為
11．已知方程，如果設(shè)，那么原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的整式方程為________________．
【答案】
【分析】本題考查分式方程的整體換元，及分式方程化為整式方程的方法
【詳解】由題意得，原方程可以化為
去分母得
所以答案為
12．如果二次函數(shù)的圖像向右平移3個(gè)單位后經(jīng)過原點(diǎn)，那么m的值為___________．
【答案】-9
【分析】本題考查二次函數(shù)圖像的平移知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)左加右減 ，及經(jīng)過原點(diǎn)，求得m的值
【詳解】向右平移3個(gè)單位后的解析式為，代入點(diǎn)（0,0），解得答案
求得m的值為-9
13．在1，2，3中任取兩個(gè)不重復(fù)的數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，那么這個(gè)兩位數(shù)是素?cái)?shù)的概率是___________．
【答案】
【分析】本題考查概率知識(shí)點(diǎn)及簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查素?cái)?shù)知識(shí)點(diǎn)
【詳解】?jī)晌粩?shù)共有12,21,13,31,23,32這些，共6個(gè)，其中素?cái)?shù)有13，31,23共,3個(gè)，
所以概率為，
答案為
14．為了解某校六年級(jí)300名學(xué)生來校的方式，隨機(jī)調(diào)查了該校六年級(jí)50名學(xué)生同一天來校的方式，并繪制了如圖所示的餅狀圖，那么估計(jì)該校六年級(jí)300名學(xué)生中這一天步行來學(xué)校的共有___________名．
【答案】90
【分析】本題主要考查統(tǒng)計(jì)部分知識(shí)點(diǎn)，及餅狀圖
【詳解】由餅狀圖可得，抽樣中的步行學(xué)生比例為30％，
所以300名學(xué)生中步行的學(xué)生為300×30％=90名
15．如圖，在中，點(diǎn)D在邊AB上，且，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，設(shè)向量，，如果用、表示，那么___________．
【答案】
【分析】本題考查向量的運(yùn)算，及三角形法則的應(yīng)用，過程見詳解
【詳解】由題意得
16．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，點(diǎn)F在邊CD上（點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合），且，那么的值為___________．
【答案】
【分析】本題主要考查正方形背景下的相似三角形的判定，及對(duì)應(yīng)邊成比例，進(jìn)而求得比例線段的值
【詳解】∵正方形ABCD，得∠BAC=45°，又∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=45°
∴∠BAE=∠CAF
∵∠ABD=∠ACF=45°
∴△ABE∽△ACF
∴
∴
的值為
17．在中，，將繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D、點(diǎn)E，如果點(diǎn)A在DE的延長(zhǎng)線上，且，那么的余弦值為___________．
【答案】
【分析】本題主要考查圖形的運(yùn)動(dòng)：旋轉(zhuǎn)知識(shí)點(diǎn)。
【詳解】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得CA=CD，CB=CE，∠A=∠D，∠DCE=∠ACB=90°
∵CE∥AB，∴∠A=∠ACE，又∠ACE=∠CAE
∴∠CED=2∠ACE
∠CED+∠A=90°，即3∠A=90°，∠A=30°
∴∠CAE=30°，
的余弦值為
18．我們把以三角形的重心為圓心的圓叫做該三角形的重心圓．如圖，在中，，如果的重心圓與該三角形各邊的公共點(diǎn)一共有4個(gè)，那么它的半徑r的取值范圍是___________．
【答案】或
【分析】本題考查重心知識(shí)點(diǎn)，圓與三角形交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題。需要分類進(jìn)行討論。
【詳解】設(shè)重心為G，重心圓為，由等腰三角形ABC，作AD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，由勾股定理解得AD=6，由重心性質(zhì)得AG：DG=2:1，所以AG=4，DG=2 由勾股定理得BG=，過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H，由△AGH∽△ABD，得到GH=
①當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，r=AG=4；
②當(dāng)過點(diǎn)B時(shí)，r=BG=；
③當(dāng)與AB，AC相切時(shí)，r=GH=。
三、解答題（本大題共7題，滿分78分）【將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應(yīng)位置上】
19．（本題滿分10分）
計(jì)算：
【答案】4
【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)。需要對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，分母有理化，絕對(duì)值運(yùn)算，0次冪運(yùn)算要熟練掌握，運(yùn)算基本功扎實(shí)，這個(gè)題目容易答對(duì)。
【詳解】解：

= 4
20．（本題滿分10分）
解方程組：
【答案】 .
【分析】本題考查解二元二次方程組知識(shí)點(diǎn)。熟練掌握因式分解及消元法是解題的關(guān)鍵。
【詳解】由 = 2 \* GB3 ②得：
∴原方程組化為： 或
解得：
∴原方程組解為 .
21．（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）
如圖，經(jīng)過平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)B、C、D，點(diǎn)O在邊AD上，．
（1）求平行四邊形ABCD的面積；
（2）求的正弦值．
【答案】（1）平行四邊形面積為24；（2）
【分析】（1）本小題主要考查垂徑定理知識(shí)點(diǎn)及勾股定理知識(shí)點(diǎn)；
（2）求正弦值，需要構(gòu)造直角三角形，計(jì)算需要的邊長(zhǎng)即可求解。
【詳解】（1）作，垂足為點(diǎn)，聯(lián)結(jié).
∵平行四邊形中， ∴
∵在⊙O中，過圓心O， ∴
∵中， ∴
∵ ∴
∴平行四邊形面積為.
（2）作，垂足為點(diǎn).
∵平行四邊形中，， ∴
∵ ∴ ∴
∵∴四邊形為矩形
∴ ∴
∵中， ∴
∴
22．（本題滿分10分，第（1）小題3分，第（2）小題3分，第（3）小題4分）
春節(jié)期間甲乙兩家商店各自推出優(yōu)惠活動(dòng)
設(shè)顧客在甲乙兩家商店購買商品的原價(jià)都為x元，請(qǐng)根據(jù)條件回答下列問題：
（1）如果顧客在甲商店購買商品選擇優(yōu)惠活動(dòng)后實(shí)際付款y元，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不必寫出函數(shù)定義域）；
（2）購買原價(jià)在500元以下的商品時(shí)，如果分別選擇甲商店的優(yōu)惠活動(dòng)和乙商店的優(yōu)惠活動(dòng)后，實(shí)際付款金額相等，求x的值；
（3）顧客購買原價(jià)在900元以下的商品時(shí)，如果選擇乙商店的優(yōu)惠活動(dòng)比選擇甲商店的優(yōu)惠活動(dòng)更合算，求x的取值范圍．
【答案】（1） （2）的值為400 （3）的取值范圍為或
【分析】（1）由題意，甲商店優(yōu)惠活動(dòng)按原價(jià)打八折得到；
由乙商店按原價(jià)每滿300元減80元，及實(shí)際付款金額相等，列出等量關(guān)系式，解答得到答案；
本題主要考查學(xué)生的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，需要進(jìn)行分段討論，及不等關(guān)系的建立，很好的考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和實(shí)際應(yīng)用能力。
【詳解】（1）
（2）
（符合題意）
答：的值為.
（3）由題可知：
當(dāng)時(shí)， ， ， ；
當(dāng)時(shí)， ， ， ；
或
答：的取值范圍為或 .
23．（本題滿分12分，第（1）小題5分，第（2）小題7分）
己知：在梯形ABCD中，，點(diǎn)E在邊AD上（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合），點(diǎn)F在邊CD上，且．
（1）求證：；
（2）聯(lián)結(jié)EF，與BD交于點(diǎn)G，如果，求證：四邊形BEDF為等腰梯形．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）詳見解析；（2）詳見解析
【詳解】（1），.
， .
， .
，
，即


（2），.
又，
.
， .

，.

與不平行， .

24．（本題滿分12分，第（1）小題4分，第（2）小題8分）
在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)F是上述拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AF分別與y軸、線段BC交于點(diǎn)D、E．
①當(dāng)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；
②聯(lián)結(jié)AC，如果的面積是面積的3倍，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【答案】（1）拋物線表達(dá)式為： （2）CD=5； （3）點(diǎn)F的坐標(biāo)（4,6）
【分析】（1）由拋物線對(duì)稱軸及過點(diǎn)C，通過待定系數(shù)法得到拋物線解析式；
因?yàn)镕是拋物線上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)，通過添加輔助線，得到平行線，得到角相等，然后用銳角三角比得到比例式，進(jìn)而求得F的坐標(biāo)，及CD的長(zhǎng)度；
因?yàn)榍驠點(diǎn)坐標(biāo)，F(xiàn)又是拋物線上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)F坐標(biāo)，添加輔助線，得到線段平行，列出比例式，又由面積關(guān)系，得到線段的關(guān)系，列出等量關(guān)系，求解即可。
【詳解】（1）對(duì)稱軸為直線



（2）① 分別作，垂足為點(diǎn)；作，垂足為點(diǎn).
，可得，.

.
設(shè)

（符合要求）
②分別作，垂足為點(diǎn)；作，垂足為點(diǎn).

設(shè)

= 1 \* GB3 ①

= 2 \* GB3 ②
由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②，解得或（舍），.
25．（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題10分）
己知在中，，點(diǎn)O為邊AB上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作，交邊AC于點(diǎn)D（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、C重合）．
圖1 備用圖 備用圖
（1）當(dāng)時(shí)，判斷點(diǎn)B與的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）過點(diǎn)C作，交OD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．以點(diǎn)E為圓心，EC為半徑作，延長(zhǎng)CE，交于點(diǎn)．
①如圖1，如果與的公共弦恰好經(jīng)過線段EO的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)；
②聯(lián)結(jié)、OC，如果與的一條邊平行，求的半徑長(zhǎng)．
【答案】（1）點(diǎn)B在內(nèi). （2）① ②
【分析】（1）求出OB，OA的長(zhǎng)度，然后比較大小，即可； （2）通過添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，解直角三角形及銳角三角比求出線段CD的長(zhǎng)度； （3）分類進(jìn)行討論，利用平行線性質(zhì)列比例式，求的半徑CE的長(zhǎng)度，本小題綜合性比較高。
【詳解】
（1）過點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)H.
∵過圓心，，∴.
∵，∴.∴，∴.
∵，∴.
∴. ∴點(diǎn)B在內(nèi).
H
（2）過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)M.
∵，，∴
∵ ，∴.
∵，∴.又∵，∴.
.∴在中，，.
設(shè)，則∴ ∴
①兩圓的交點(diǎn)記為P、Q，聯(lián)結(jié)PE、PO
∵⊙O、⊙E相交，PQ是公共弦，∴OE垂直平分PQ，即.
∵PQ經(jīng)過OE中點(diǎn)，∴PQ垂直平分OE，∴，即.
∴.
在中，，∴ .∴.
∴ ∴ .∴.
②由于點(diǎn)A在直線AB上，所以不可能與OB平行.
1.. 過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)N.
∵，∴.∵，∴
∵，∴.
∵，∴.∴.
∵，∴.
∵，∴.
∵，∴，∴.
在中，，.
∴.∴.∴.
2.. 延長(zhǎng)OE交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
∵，∴.∴.
∵，，∴.
∴.∴.
∵，∴，∴，
，.∴.
綜上所述：.
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