（滿分150分，考試時間100分鐘）
考生注意：
1．本試卷含三個大題，共25題；
2．答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效；
3．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計算的主要步驟．
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上．】
1. 下列實數(shù)中，屬于有理數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
2. 關(guān)于的方程（為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根，那么的取值范圍是（ ）
A. 且B. C. 且D.
3. 如果將拋物線向下平移個單位，那么平移后拋物線與軸交點坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知一組數(shù)據(jù)、、、，如果這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都減去常數(shù)，得到新的一組數(shù)據(jù)，那么下列描述這組新數(shù)據(jù)的信息中正確的是（ ）
A. 平均數(shù)改變，方差不變；B. 平均數(shù)改變，方差改變；
C. 平均數(shù)不變，方差不變；D. 平均數(shù)不變，方差改變．
5. 下列命題正確的是（ ）
A. 對角線相等的平行四邊形是正方形；B. 對角線相等的四邊形是矩形；
C. 對角線互相垂直的四邊形是菱形；D. 對角線相等的梯形是等腰梯形．
6. 在中， ，，以點為圓心，半徑為的圓記作圓，那么下列說法正確的是（ ）
A. 點在圓外，點在圓上；B. 點在圓上，點B在圓內(nèi)；
C. 點在圓外，點在圓內(nèi)；D. 點、都在圓外．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置】
7. 4的平方根是_______．
8 計算：____．
9. 隨著某產(chǎn)品制造技術(shù)的不斷發(fā)展，某地區(qū)用于這個技術(shù)開發(fā)的資金約為元，這個數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為____．
10. 不等式的最小整數(shù)解是____．
11. 用換元法解方程時，如果設(shè)，那么原方程可化為關(guān)于整式方程是____．
12. 已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則k的值為___________．
13. 某校田徑運動隊共有名男運動員，小杰收集了這些運動員的鞋號信息（見表），
那么這名男運動員鞋號的中位數(shù)是____．
14. 在不透明的盒子中裝有六張形狀相同的卡片，這六張卡片分別印有正方形、平行四邊形、等邊三角形、直角梯形、正六邊形、圓等六種圖形，如果從這不透明的盒子里隨機(jī)抽出一張卡片，那么所抽到的這張卡片上的圖形恰好為中心對稱圖形的概率是____．
15. 如圖，在中，線段是邊上的中線，點是的中點，設(shè)向量，，那么向量____（結(jié)果用、表示）．
16. 如圖在正方形的外側(cè)作一個，已知，，那么等于____．
17. 如圖在圓O中，是直徑，弦與交于點，如果，，，點是中點，連接，并延長與圓交于點，那么____．
18. 定義：如果三角形有兩個內(nèi)角的差為，那么這樣的三角形叫做準(zhǔn)直角三角形．已知在直角中，，，，如圖4，如果點在邊上，且是準(zhǔn)直角三角形，那么____．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19. 計算： ．
20. 解方程組：
21. 某東西方向的海岸線上有、兩個碼頭，這兩個碼頭相距千米（），有一艘船在這兩個碼頭附近航行．

（1）當(dāng)船航行了某一刻時，由碼頭測得船在北偏東，由碼頭測得船在北偏西，如圖，求碼頭與船的距離（的長），其結(jié)果保留位有效數(shù)字；
（參考數(shù)據(jù)∶，，，）
（2）當(dāng)船繼續(xù)航行了一段時間時，由碼頭測得船在北偏東，由碼頭測得船在北偏西，船到海岸線的距離是（即），如圖，求的長，其結(jié)果保留根號．
22. 某企業(yè)在2022年1至3月的利潤情況見表．
（1）如果這個企業(yè)在2022年1至3月的利潤數(shù)是月份數(shù)的一次函數(shù)，求2月份的利潤；
（2）這個企業(yè)從3月份起，通過技術(shù)改革，經(jīng)過兩個月后的5月份獲得利潤為121萬元，如果這個企業(yè)3月至5月中每月利潤數(shù)的增長率相等，求這個企業(yè)3月至5月中利潤數(shù)的月平均增長率．
23. 如圖，在梯形中，，，點在四邊形內(nèi)部，，連接、．
（1）求證：是等腰三角形；
（2）已知點在上，連接，如果，，求證：四邊形是平行四邊形．
24. 在平面直角坐標(biāo)系（如圖）中，已知拋物線經(jīng)過點、兩點，與軸交點為點，對稱軸為直線．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）已知以點為圓心，半徑為的圓記作圓，以點A為圓心的圓記作圓A，如果圓A與圓外切，試判斷對稱軸直線與圓A的位置關(guān)系，請說明理由；
（3）已知點在軸的正半軸上，且在點的上方，如果，請求出點的坐標(biāo)．
25. 在菱形中，，點在射線上，連接、．
（1）如圖，當(dāng)點是邊的中點，求的正切值；
（2）如圖，當(dāng)點在線段的延長線上，連接與邊交于點，如果，的面積等于，求的長；
（3）當(dāng)點在邊上，與交于點，連接并延長與的延長線交于點，如果，與以點、、所組成的三角形相似，求的長．
2023學(xué)年嘉定區(qū)第二次質(zhì)量調(diào)研
數(shù)學(xué)試卷
（滿分150分，考試時間100分鐘）
考生注意：
1．本試卷含三個大題，共25題；
2．答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效；
3．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計算的主要步驟．
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上．】
1. 下列實數(shù)中，屬于有理數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查有理數(shù)的定義，掌握有理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)有理數(shù)定義依次判斷即可．
【詳解】解：A、是無理數(shù)，故本選項不符合題意；
B、是無理數(shù)，故本選項不符合題意；
C、是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)，本選項符合題意；
D、是無理數(shù)，故本選項不符合題意．
故選：C．
2. 關(guān)于的方程（為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根，那么的取值范圍是（ ）
A. 且B. C. 且D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程（）的根的判別式．當(dāng)，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實數(shù)根．
根據(jù)一元二次方程的根的判別式的意義得到，解不等式即可．
【詳解】解：∵關(guān)于的方程（為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，即，
解得，
∴k的取值范圍為．
故選：B．
3. 如果將拋物線向下平移個單位，那么平移后拋物線與軸的交點坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則寫出新拋物線解析式，然后令，通過解解方程求解．
【詳解】解：把拋物線的圖象向下平移2個單位，則平移后的拋物線的表達(dá)式為，
令，則．
所以所得拋物線與y軸的交點的坐標(biāo)為．
故選B．
4. 已知一組數(shù)據(jù)、、、，如果這組數(shù)據(jù)中每一個數(shù)都減去常數(shù)，得到新的一組數(shù)據(jù)，那么下列描述這組新數(shù)據(jù)的信息中正確的是（ ）
A. 平均數(shù)改變，方差不變；B. 平均數(shù)改變，方差改變；
C. 平均數(shù)不變，方差不變；D. 平均數(shù)不變，方差改變．
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了方差和平均數(shù)，一般地設(shè)個數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，則方差，掌握平均數(shù)和方差的特點是本題的關(guān)鍵．
根據(jù)平均數(shù)和方差的特點，一組數(shù)都加上或減去同一個不等于0的常數(shù)后，方差不變，平均數(shù)改變，即可得出答案．
【詳解】解：記原先平均數(shù)為，，
新的平均數(shù)為，則，所以平均數(shù)改變；
記原先方差為，則，
則新的方差，
而，代入得，
∴，
∴平均數(shù)改變，方差不變，
故選：A．
5. 下列命題正確的是（ ）
A. 對角線相等的平行四邊形是正方形；B. 對角線相等的四邊形是矩形；
C. 對角線互相垂直的四邊形是菱形；D. 對角線相等的梯形是等腰梯形．
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是牢記特殊的四邊形的判定定理，利用特殊的四邊形的判定和性質(zhì)定理逐一判斷后即可確定正確的選項．
【詳解】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，命題錯誤，不符合題意；
B、對角線相等的四邊形是等腰梯形或矩形，命題錯誤，不符合題意；
C、對角線互相垂直的四邊形是菱形或等腰梯形，命題錯誤，不符合題意；
D、對角線相等的梯形是等腰梯形，命題正確，符合題意．
故選：D．
6. 在中， ，，以點為圓心，半徑為的圓記作圓，那么下列說法正確的是（ ）
A. 點在圓外，點在圓上；B. 點在圓上，點B在圓內(nèi)；
C. 點在圓外，點在圓內(nèi)；D. 點、都在圓外．
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形，點與圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，掌握解直角三角形和會判斷點與圓的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．由解直角三角形求出，由等腰三角形的性質(zhì)求出，即可判斷出點B和點A與的位置關(guān)系，即可得出答案．
【詳解】解：如圖，過點A作于點D，如圖所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵的半徑為6，
∵，
∴點在圓外，點在圓內(nèi)；
故選：C．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置】
7. 4的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
【詳解】解：∵，
∴4的平方根是±2．
故答案±2．
8. 計算：____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是多項式乘多項式的運算法則．第一個整式的每一項與另一個整式的每一項相乘再相加即可．熟練掌握多項式乘多項式的運算方法是解決此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：
故答案為：．
9. 隨著某產(chǎn)品制造技術(shù)的不斷發(fā)展，某地區(qū)用于這個技術(shù)開發(fā)的資金約為元，這個數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，解題的關(guān)鍵是正確表示和的值．由科學(xué)記數(shù)法的表示方法，表示出和的值，得到答案．
【詳解】
10. 不等式的最小整數(shù)解是____．
【答案】5
【解析】
【分析】本題主要查了求一元一次不等式的整數(shù)解．求出不等式的解集，即可求解．
【詳解】解：，
解得：，
∴不等式的最小整數(shù)解是5．
故答案為：5
11. 用換元法解方程時，如果設(shè)，那么原方程可化為關(guān)于的整式方程是____．
【答案】
【解析】
【分析】此題主要考查了換元法解分式方程，設(shè)，則方程可轉(zhuǎn)化為：，然后再去分母，將該分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程即可．
【詳解】解：設(shè)，
則方程可轉(zhuǎn)化為：，
去分母，方程兩邊同時乘以得：，
故答案為：．
12. 已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則k的值為___________．
【答案】６
【解析】
【分析】直接將點坐標(biāo)直接代入，即可求得值．
【詳解】解：將代入得：，
解得：
故答案為：6．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握其基礎(chǔ)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13. 某校田徑運動隊共有名男運動員，小杰收集了這些運動員的鞋號信息（見表），
那么這名男運動員鞋號的中位數(shù)是____．
【答案】號
【解析】
【分析】本題考查了中位數(shù)的知識，根據(jù)中位數(shù)的概念求解，解題的關(guān)鍵是正確理解將一組數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
【詳解】解：∵這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后，處于中間位置的第、個數(shù)的平均數(shù)為，
∴由中位數(shù)的定義可知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是號，
故答案為：號．
14. 在不透明的盒子中裝有六張形狀相同的卡片，這六張卡片分別印有正方形、平行四邊形、等邊三角形、直角梯形、正六邊形、圓等六種圖形，如果從這不透明的盒子里隨機(jī)抽出一張卡片，那么所抽到的這張卡片上的圖形恰好為中心對稱圖形的概率是____．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查中心對稱圖形的概念和概率的計算．在平面內(nèi)如果將一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．概率=所求情況數(shù)總情況數(shù)．根據(jù)題意先找出這六種圖形當(dāng)中中心對稱圖形的個數(shù)，然后利用概率的計算公式進(jìn)行計算即可．熟練掌握中心對稱圖形的概念和概率的計算公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：正方形、平行四邊形、等邊三角形、直角梯形、正六邊形、圓這六種圖形中，中心對稱圖形有正方形、平行四邊形、正六邊形和圓，因此隨機(jī)抽出一張卡片，所抽到卡片恰為中心對稱圖形的概率是．
故答案為：．
15. 如圖，在中，線段是邊上的中線，點是的中點，設(shè)向量，，那么向量____（結(jié)果用、表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了平面向量的知識點，運用三角形法則是解題的關(guān)鍵．
先用的線性組合表示，再表示即可．
【詳解】解：∵，線段是邊上的中線，
∴，
∵點是的中點，
∴，
故答案為：．
16. 如圖在正方形外側(cè)作一個，已知，，那么等于____．
【答案】##25度
【解析】
【分析】先根據(jù)“等邊對等角”得，由此得，由正方形的性質(zhì)可得，，由此得，，進(jìn)而可得．
本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵中，，，
，
，
又∵四邊形是正方形，
，，
，且，
，
故答案為：．
17. 如圖在圓O中，是直徑，弦與交于點，如果，，，點是的中點，連接，并延長與圓交于點，那么____．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了垂徑定理、勾股定理，熟記垂徑定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．
連接，，根據(jù)點是的中點，證，得為直角三角形，根據(jù)已知條件求出半徑，進(jìn)而求得，根據(jù)，利用勾股定理求出，即可得到。
【詳解】
點是的中點，
，
在和中，
，
，
，
，，是直徑，
，
，
在中，，
，
，
，
，
故答案為：．
18. 定義：如果三角形有兩個內(nèi)角的差為，那么這樣的三角形叫做準(zhǔn)直角三角形．已知在直角中，，，，如圖4，如果點在邊上，且是準(zhǔn)直角三角形，那么____．
【答案】或．
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求解
【詳解】當(dāng)時，如圖，過點D作于H，
在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)時，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
綜上所述：或；
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19. 計算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查的是實數(shù)的運算，根據(jù)二次根式的化簡，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算，絕對值的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：
20. 解方程組：
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查了解二元二次方程組，熟練掌握和運用解二元二次方程組的方法是解決本題的關(guān)鍵．
首先把第二個方程分解因式，得到兩個二元一次方程，再組合成二個二元一次方程組，分別解方程組即可．
【詳解】解：
由②得：
或
所以原方程組可化為兩個二元一次方程組：
或
分別解這兩個方程組，得原方程組的解是
，
21. 某東西方向的海岸線上有、兩個碼頭，這兩個碼頭相距千米（），有一艘船在這兩個碼頭附近航行．

（1）當(dāng)船航行了某一刻時，由碼頭測得船在北偏東，由碼頭測得船在北偏西，如圖，求碼頭與船的距離（的長），其結(jié)果保留位有效數(shù)字；
（參考數(shù)據(jù)∶，，，）
（2）當(dāng)船繼續(xù)航行了一段時間時，由碼頭測得船在北偏東，由碼頭測得船在北偏西，船到海岸線的距離是（即），如圖，求的長，其結(jié)果保留根號．
【答案】（1）碼頭與船的距離為千米
（2）船到海岸線的距離為千米
【解析】
【分析】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握三角形函數(shù)的定義．
（1）根據(jù)題意可得，，進(jìn)而得到，根據(jù)三角函數(shù)即可求解；
（2）過點作，垂足為，根據(jù)題意可得，，進(jìn)而得到，根據(jù)，求出，推出，從而求出，最后根據(jù)，即可求解．
【小問1詳解】
解：，
，
，
，
又，
，
在中，
又，千米，
（千米），
千米
答：碼頭與船的距離為千米；
【小問2詳解】
，
，
，
，
又，
∴，
過點作，垂足為，
在中，，，
（千米），（千米），
在中，
（千米），
（千米），
在中，，
（千米），
答：船到海岸線的距離為千米．
22. 某企業(yè)在2022年1至3月的利潤情況見表．
（1）如果這個企業(yè)在2022年1至3月的利潤數(shù)是月份數(shù)的一次函數(shù)，求2月份的利潤；
（2）這個企業(yè)從3月份起，通過技術(shù)改革，經(jīng)過兩個月后的5月份獲得利潤為121萬元，如果這個企業(yè)3月至5月中每月利潤數(shù)的增長率相等，求這個企業(yè)3月至5月中利潤數(shù)的月平均增長率．
【答案】（1）2月份的利潤為98萬元
（2）這個企業(yè)利潤數(shù)的月平均增長率為
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程．
（1）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，然后將代入求值即可；
（2）設(shè)這個企業(yè)利潤數(shù)的月平均增長率為x．根據(jù)經(jīng)過兩個月后的5月份獲得利潤為121萬元，列出方程，求出結(jié)果即可．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意設(shè)利潤數(shù)y與月份數(shù)x一次函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)題意得：
，
解此方程組得：，
∴利潤數(shù)y與月份數(shù)x一次函數(shù)關(guān)系式為：，
當(dāng)時，，
答：2月份的利潤為98萬元；
【小問2詳解】
解：設(shè)這個企業(yè)利潤數(shù)的月平均增長率為x．根據(jù)題意得：
，
解得，（不合題意，舍去），
∴．
答：這個企業(yè)利潤數(shù)的月平均增長率為．
23. 如圖，在梯形中，，，點在四邊形內(nèi)部，，連接、．
（1）求證：是等腰三角形；
（2）已知點在上，連接，如果，，求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】（1）證明見詳解
（2）證明見詳解
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
（1）先證明梯形是等腰梯形，再，即可證明；
（2）先證明，再證明，即可證明．
【小問1詳解】
證明 ∵，
∴梯形是等腰梯形
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即是等腰三角形；
【小問2詳解】
證明：由（1）得
∴
∵
∴
∵四邊形是等腰梯形
∴
∴
∴
∵，
∴
∴四邊形是平行四邊形．
24. 在平面直角坐標(biāo)系（如圖）中，已知拋物線經(jīng)過點、兩點，與軸的交點為點，對稱軸為直線．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）已知以點為圓心，半徑為圓記作圓，以點A為圓心的圓記作圓A，如果圓A與圓外切，試判斷對稱軸直線與圓A的位置關(guān)系，請說明理由；
（3）已知點在軸的正半軸上，且在點的上方，如果，請求出點的坐標(biāo)．
【答案】（1）此拋物線的表達(dá)式是
（2）對稱軸直線與圓A的位置是相離，理由見詳解
（3）點的坐標(biāo)為
【解析】
【分析】（1）直接用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)圓A的半徑為r，又圓A與圓外切，所以，得到，即，即可判斷；
（3）過點作，垂足為，過點作軸，垂足為G，利用等角的正切值相等解決問題，，所以，，所以，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵拋物線經(jīng)過點、兩點
∴，解得
∴此拋物線的表達(dá)式是；
【小問2詳解】
答：對稱軸直線與圓A的位置是相離
根據(jù)（1）得，拋物線的對稱軸是直線，
拋物線與y軸的交點點坐標(biāo)為，
所以，
所以圓的半徑是，
設(shè)圓A的半徑為r，又圓A與圓外切，所以，
又，
所以，
對稱軸與x軸垂直，設(shè)垂足為M，那么的長就是圓A到對稱軸的距離，
又對稱軸是直線，
所以點的坐標(biāo)為，
所以，
因為，即，
所以對稱軸直線與圓A的位置是相離．
【小問3詳解】
解：過點作，垂足為，過點作軸，垂足為G，
易得 ，，
又點坐標(biāo)為， 點坐標(biāo)為，
所以軸，
所以，，由勾股定理得 ，
所以，在中，，
在中，，
因為，
所以，
所以，
所以點的坐標(biāo)為．
【點睛】本題是二次函數(shù)與幾何綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，二次函數(shù)與角度的存在性問題，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
25. 在菱形中，，點在射線上，連接、．
（1）如圖，當(dāng)點是邊的中點，求的正切值；
（2）如圖，當(dāng)點在線段的延長線上，連接與邊交于點，如果，的面積等于，求的長；
（3）當(dāng)點在邊上，與交于點，連接并延長與的延長線交于點，如果，與以點、、所組成的三角形相似，求的長．
【答案】（1）的正切值是
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）如圖，連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合已知判定是等邊三角形，證明
，后利用正切函數(shù)計算即可；
（2）取的中點M，連接，結(jié)合(1)的解答，利用平行線的性質(zhì)，三角形面積的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理計算即可；
（3）過作點，垂足為，判定相似三角形的對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合等腰三角形的判定和性質(zhì)，列出方程解答即可．
【小問1詳解】
解：連接，
∵四邊形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等邊三角形，
∵點是邊的中點，
∴，，
∴，
又，
∴，
設(shè)，
∴，，
在中，，
∴的正切值是．
【小問2詳解】
解：取的中點M，連接，
由（1）可知：，，
∵，
∴，
∴
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵的面積等于
∴
∵與是同高的，設(shè)這個高為
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
在中，，
∴ ，
∴．
【小問3詳解】
過作點，垂足為
由（1）得：是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴
∵，
∴，
∵與以點、G、組成的三角形相似
∴點只能與點G對應(yīng)，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
解得：，（舍去，
∴．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)，勾股定理，解方程，熟練掌握正切函數(shù)，三角形相似，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
鞋號
號
號
號
號
號
號
人數(shù)
月份數(shù)（）
1
2
3
利潤數(shù)（）（萬元）
96
？
100
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