1．本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分，試卷包括試題與答題要求，所有答題必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，做在試卷上一律不得分．
2．答題前，務(wù)必在答題紙上填寫姓名、學(xué)校和考號．
3．答題紙與試卷在試題編號上是一一對應(yīng)的，答題時應(yīng)特別注意，不能錯位．
一、選擇題（本大題共6題）【下列各題的四個選項(xiàng)中，有且只有一個選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】
1. 下列代數(shù)式中，單項(xiàng)式是（ ）
A. B. C. D.
2. 當(dāng)時，下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如果，為任意實(shí)數(shù)，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4. 在一次演講比賽中，小明對7位評委老師打出的分?jǐn)?shù)進(jìn)行了分析，如果去掉一個最高分和一個最低分后再次進(jìn)行分析，那么這兩組數(shù)據(jù)的下列統(tǒng)計(jì)量一定相等的是（ ）
A. 中位數(shù)B. 眾數(shù)C. 平均數(shù)D. 方差
5. 下列四個命題中不正確的是（ ）
A. 對角線相等的平行四邊形是矩形B. 對角線互相垂直的四邊形是菱形
C. 對角線相等的菱形是正方形D. 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
6 已知矩形中，，，分別以，為圓心的兩圓外切，且點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在內(nèi)，那么半徑的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
二、填空題（本大題共12題）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】
7. 計(jì)算：_______．
8 因式分解：______．
9. 不等式組的解集是____．
10. 如果關(guān)于x一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，那么k= ____．
11. 已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，那么在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而____．（填“增大”或“減小”）
12. 我國新能源汽車發(fā)展迅速，某品牌電動車第一季度銷量達(dá)10萬輛，預(yù)計(jì)第二季度的銷量比第一季度增長，第三季度的銷量比第二季度增長，那么預(yù)計(jì)第三季度的銷量為_____萬輛．
13. 一個公園有東、南、西三個入口，小明和小紅分別隨機(jī)從一個入口進(jìn)入該公園游玩，那么他們從同一入口進(jìn)入該公園游玩的概率是_____．
14. 平移拋物線，使得平移后的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第四象限，那么平移后的拋物線的表達(dá)式可以是_____．（只需寫出一個符合條件的表達(dá)式）
15. 如圖，已知梯形中，，，、交于點(diǎn)O．設(shè)，那么向量可用表示為_____．
16. 某學(xué)習(xí)小組就本校學(xué)生的上學(xué)交通方式進(jìn)行了一次隨機(jī)抽樣調(diào)查，并繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，如圖１和圖2所示．已知該校有1200名學(xué)生，估計(jì)該校步行上學(xué)的學(xué)生約為___人．
17. 一種彈簧秤稱重不超過8千克的物體時，彈簧的長度y（厘米）與所掛重物質(zhì)量x（千克）是一次函數(shù)關(guān)系．又已知掛2千克重物時彈簧的長度為11厘米，掛4千克重物時彈簧的長度為12厘米，那么掛5千克重物時彈簧的長度為_____厘米．
18. 如圖，已知中，，，．是邊的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，將沿著翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，如果與與的一邊平行，那么_____．
三、解答題（本大題共7題）
19. 計(jì)算：．
20. 解方程組：．
21. 如圖，已知中，．點(diǎn)O在邊上，以O(shè)為圓心，為半徑的弧經(jīng)過點(diǎn)A．

（1）求的半徑長；
（2）P是上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)D，連接．求的正切值．
22. 一個凸四邊形的四條邊及兩條對角線共6條線段中，如果只有兩種大小不同的長度，那么稱這個四邊形為“精致四邊形”．如正方形的四條邊都相等，兩條對角線相等，且邊長與對角線長度不等，所以正方形是一個“精致四邊形”．
（1）如圖所示的四邊形是一個“精致四邊形”，其中，．試寫出該“精致四邊形”的兩條性質(zhì)（，除外）；
（2）如果一個菱形（除正方形外）是“精致四邊形”，試畫出它的大致圖形，并求出該“精致四邊形”的6條線段中較長線段與較短線段長度的比值；
（3）如果一個梯形是“精致四邊形”，試畫出它的大致圖形，指出兩種長度的線段各是哪幾條，并求出它的各內(nèi)角度數(shù)．
23. 如圖，已知是與的公共弦，與交于點(diǎn)C，的延長線與交于點(diǎn)P，連接并延長，交于點(diǎn)D．
（1）連接如果．求證： ；
（2）如果，求證：．
24. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且頂點(diǎn)在線段上（與點(diǎn)、不重合）．
（1）求、的值；
（2）將拋物線向右平移（）個單位，頂點(diǎn)落在點(diǎn)處，新拋物線與原拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)．
①如果，求 的面積；
②如果，求的值．
25. 如圖，已知矩形中，，，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合）．

（1）當(dāng)是中點(diǎn)時，求證：；
（2）當(dāng)?shù)拈L度取不同值時，在中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；
（3）延長交邊于點(diǎn)，連接，與能否相似，若能相似，求出此時的長；若不能相似，請說明理由．
2024年松江區(qū)初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)模擬考試試卷九年級數(shù)學(xué)
（滿分150分，完卷時間100分鐘）
考生注意：
1．本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分，試卷包括試題與答題要求，所有答題必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，做在試卷上一律不得分．
2．答題前，務(wù)必在答題紙上填寫姓名、學(xué)校和考號．
3．答題紙與試卷在試題編號上是一一對應(yīng)的，答題時應(yīng)特別注意，不能錯位．
一、選擇題（本大題共6題）【下列各題的四個選項(xiàng)中，有且只有一個選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】
1. 下列代數(shù)式中，單項(xiàng)式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了單項(xiàng)式的定義，根據(jù)數(shù)與字母的積的形式的代數(shù)式是單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個數(shù)或一個字母也是單項(xiàng)式，分母中含字母的不是單項(xiàng)式．準(zhǔn)確掌握定義即可解題．
【詳解】解：A 、是單項(xiàng)式，符合題意；
B、是分式，不符合題意；
C、是多項(xiàng)式，不符合題意；
D、是二次根式，不符合題意；
故選：A．
2. 當(dāng)時，下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查的是零次冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，整數(shù)指數(shù)冪的含義，再逐一分析各選項(xiàng)即可．
【詳解】解：∵，
∴，，，，
∴A，B，D不符合題意，C符合題意；
故選C
3. 如果，為任意實(shí)數(shù)，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)分析判斷即可．
【詳解】解：A、，當(dāng)時，，故選項(xiàng)A不符合題意；
B、，當(dāng)時，，故選項(xiàng)B不符合題意；
C、，為任意實(shí)數(shù)，
，故選項(xiàng)C不符合題意；
D、，為任意實(shí)數(shù)，
，故選項(xiàng)D符合題意．
故選：D．
4. 在一次演講比賽中，小明對7位評委老師打出的分?jǐn)?shù)進(jìn)行了分析，如果去掉一個最高分和一個最低分后再次進(jìn)行分析，那么這兩組數(shù)據(jù)的下列統(tǒng)計(jì)量一定相等的是（ ）
A. 中位數(shù)B. 眾數(shù)C. 平均數(shù)D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了統(tǒng)計(jì)量的選擇，解題的關(guān)鍵是了解中位數(shù)的定義，難度不大．根據(jù)中位數(shù)的定義：位于中間位置或中間兩數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，所以去掉一個最高分和一個最低分不影響中位數(shù)．
【詳解】解：一列數(shù)去掉最大的和最小的，眾數(shù)可能會改變，方差，平均數(shù)都可能會改變，只有中位數(shù)一定不會變．
故選A．
5. 下列四個命題中不正確的是（ ）
A. 對角線相等的平行四邊形是矩形B. 對角線互相垂直的四邊形是菱形
C. 對角線相等的菱形是正方形D. 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正方形、矩形、菱形及平行四邊形的判定判斷即可．
【詳解】解：由題意可知：
A、對角線相等的平行四邊形是矩形，為真命題，不合題意；
B、對角線互相垂直的平行四邊形才是菱形，為假命題，符合題意；
C、對角線相等的菱形是正方形，為真命題，不合題意；
D、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，為真命題，不合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正方形、矩形、菱形及平行四邊形的判定．解答此題時，必須理清矩形、正方形、菱形與平行四邊形間的關(guān)系．
6. 已知矩形中，，，分別以，為圓心的兩圓外切，且點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在內(nèi)，那么半徑的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理求出的長，再根據(jù)以，為圓心的兩圓外切得出的半徑，最后根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，求出的取值范圍即可．本題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)以及點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，求出的半徑是本題解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：連接，
四邊形為矩形，
，
以，為圓心的兩圓外切，
的半徑為，
點(diǎn)在內(nèi)，
，
，
在內(nèi)，
，
，
．
故選：C．
二、填空題（本大題共12題）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】
7. 計(jì)算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】先把化簡為2，再合并同類二次根式即可得解.
【詳解】2-=.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，正確對二次根式進(jìn)行化簡是關(guān)鍵．
8. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查提公因式法因式分解，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
9. 不等式組的解集是____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元一次不等式組的解法，先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分．不等式組解集的確定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解．首先分別計(jì)算出兩個不等式的解集，再確定不等式組的解集．
【詳解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式的解集為：，
故答案為：
10. 如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，那么k= ____．
【答案】
【解析】
【分析】因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，所以且判別式，建立關(guān)于的方程，解方程即可求出的值．本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．切記不要忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一隱含條件．
【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
且判別式，
解得：．
故答案為：．
11. 已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，那么在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而____．（填“增大”或“減小”）
【答案】增大
【解析】
【分析】根據(jù)題意，先確定，再依據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)解答本題即可．本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握反比例函數(shù)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
，反比例函數(shù)圖象分布在第二四象限，在每個象限內(nèi)，隨的增大而增大，
故答案為：增大．
12. 我國新能源汽車發(fā)展迅速，某品牌電動車第一季度銷量達(dá)10萬輛，預(yù)計(jì)第二季度的銷量比第一季度增長，第三季度的銷量比第二季度增長，那么預(yù)計(jì)第三季度的銷量為_____萬輛．
【答案】13.2
【解析】
【分析】本題考查了銷售增長率的問題，利用“第二季度的銷量=第一季度的銷量（1+增長率），第三季度的銷量=第二季度的銷量（1+增長率）”，即可求解．
【詳解】，
故答案為：13.2．
13. 一個公園有東、南、西三個入口，小明和小紅分別隨機(jī)從一個入口進(jìn)入該公園游玩，那么他們從同一入口進(jìn)入該公園游玩的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查是用樹狀圖法求概率，畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小紅從同一入口進(jìn)入該公園游玩的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．
【詳解】把公園的東、南、西三個入口分別記為A、B、C，
畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小紅從同一入口進(jìn)入該公園游玩的結(jié)果有3種，
∴他們從同一入口進(jìn)入該公園游玩的概率是，
故答案為：．
14. 平移拋物線，使得平移后的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第四象限，那么平移后的拋物線的表達(dá)式可以是_____．（只需寫出一個符合條件的表達(dá)式）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移．根據(jù)題意可設(shè)平移后的拋物線的解析式為，可得該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再由頂點(diǎn)在第四象限，可得，即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可設(shè)平移后的拋物線的解析式為，
∵，
∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵頂點(diǎn)在第四象限，
∴，
即，
∴平移后拋物線的解析式為．
故答案為：（答案不唯一）．
15. 如圖，已知梯形中，，，、交于點(diǎn)O．設(shè)，那么向量可用表示為_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查向量的線性計(jì)算．熟練掌握三角形法則，是解題的關(guān)鍵．先證明，再利用三角形法則，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案為：
16. 某學(xué)習(xí)小組就本校學(xué)生的上學(xué)交通方式進(jìn)行了一次隨機(jī)抽樣調(diào)查，并繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，如圖１和圖2所示．已知該校有1200名學(xué)生，估計(jì)該校步行上學(xué)的學(xué)生約為___人．
【答案】240
【解析】
【分析】本題考查了樣本百分比估計(jì)總體百分比，先求出步行所占百分比，再用學(xué)生總數(shù)乘以步行學(xué)生所占的百分比即可估計(jì)全校步行上學(xué)的學(xué)生人數(shù)
【詳解】解：抽查的人數(shù)為：（人）
∴步行上學(xué)在扇形圖中所占比例為，
∴全校步行上學(xué)的學(xué)生人數(shù)為：（人）
故答案為：240
17. 一種彈簧秤稱重不超過8千克的物體時，彈簧的長度y（厘米）與所掛重物質(zhì)量x（千克）是一次函數(shù)關(guān)系．又已知掛2千克重物時彈簧的長度為11厘米，掛4千克重物時彈簧的長度為12厘米，那么掛5千克重物時彈簧的長度為_____厘米．
【答案】12.5
【解析】
【分析】利用待定系數(shù)法求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并標(biāo)明的取值范圍，將代入求出對應(yīng)的值即可．本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求出與之間的函數(shù)關(guān)系式是本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為、為常數(shù)，且．
將，和，代入，
得，
解得，
與之間的函數(shù)關(guān)系式為．
當(dāng)時，，
掛5千克重物時彈簧的長度為12.5厘米．
故答案為：12.5．
18. 如圖，已知中，，，．是邊的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，將沿著翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，如果與與的一邊平行，那么_____．
【答案】5或
【解析】
【分析】根據(jù)與三邊分別平行分類討論，由翻折性質(zhì)以及勾股定理求出的長，從而求得的長即可．本題主要考查了翻折變換，合理運(yùn)用正方形的判定與性質(zhì)以及中位線定理和勾股定理是本題解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：①當(dāng)時，與重合，
，，不構(gòu)成三角形，不符合題意；
②當(dāng)，如圖：
，
，
由翻折的性質(zhì)可知，，，
四邊形為正方形，
，
；
③當(dāng)，延長交于，如圖：
，，
，
設(shè)，則，
在中，，
解得：，
，
綜上所述，或6.5．
故答案為：5或6.5．
三、解答題（本大題共7題）
19. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：原式

20. 解方程組：．
【答案】，，，
【解析】
【分析】本題考查了二元二次方程組的解法等知識．先將方程①變形為或，分別與方程②組成方程組，利用代入法即可求解．
【詳解】解：
由方程①得，得到 或．
將它們與方程②分別組成方程組，得
（Ⅰ） 或（Ⅱ）
解方程組（Ⅰ），得 ，；
解方程組（Ⅱ），得 ，；
所以原方程組解是，，，．
21. 如圖，已知中，．點(diǎn)O在邊上，以O(shè)為圓心，為半徑的弧經(jīng)過點(diǎn)A．

（1）求的半徑長；
（2）P是上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)D，連接．求的正切值．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】本題主要考查了解直角三角形，圓的基本性質(zhì)，勾股定理：
（1）聯(lián)結(jié)，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理，求出x的值，即可；
（2）過點(diǎn)P作，垂足為H． 根據(jù)銳角三角函數(shù)可得，，再由，可得，即可求解．
【小問1詳解】
解：聯(lián)結(jié)，設(shè)，

∵，
∴，
∵，
∴
解得：，
∴的半徑長是5．
【小問2詳解】
解：過點(diǎn)P作，垂足為H．
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
22. 一個凸四邊形的四條邊及兩條對角線共6條線段中，如果只有兩種大小不同的長度，那么稱這個四邊形為“精致四邊形”．如正方形的四條邊都相等，兩條對角線相等，且邊長與對角線長度不等，所以正方形是一個“精致四邊形”．
（1）如圖所示的四邊形是一個“精致四邊形”，其中，．試寫出該“精致四邊形”的兩條性質(zhì)（，除外）；
（2）如果一個菱形（除正方形外）是“精致四邊形”，試畫出它的大致圖形，并求出該“精致四邊形”的6條線段中較長線段與較短線段長度的比值；
（3）如果一個梯形是“精致四邊形”，試畫出它的大致圖形，指出兩種長度的線段各是哪幾條，并求出它的各內(nèi)角度數(shù)．
【答案】（1）①，平分；②四邊形是軸對稱圖形，直線所在的直線是它的對稱軸；③，，
（2）畫圖形見解析，該“精致四邊形”的6條線段中較長線段與較短線段長度的比值為
（3）畫圖形見解析，兩種長度的線段各是，它的各內(nèi)角度數(shù)
【解析】
【分析】本題考查了新定義，菱形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解題目所給“精致四邊形”的定義，正確畫出圖形，以及熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理．
（1）根據(jù)題意易得是的垂直平分線，，是等邊三角形，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，則在菱形中，且，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，，進(jìn)而得出，則；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，推出，， 再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，即可解答．
【小問1詳解】
解：∵，，
∴是的垂直平分線，
則，平分；
∵，，，
∴，
∴，
∴四邊形是軸對稱圖形，直線所在的直線是它的對稱軸；
∵，
∴是等邊三角形，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
綜上：該“精致四邊形”的性質(zhì)有：
①，平分；
②四邊形是軸對稱圖形，直線所在的直線是它的對稱軸；
③，，．
【小問2詳解】
解：畫圖

∵在菱形中，且，
∴，，，
∴，
∴ ．
【小問3詳解】
解：畫圖，如圖：，，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
則，
∵，
∴，
∵，
∴，則，
解得：，
∴，．
23. 如圖，已知是與的公共弦，與交于點(diǎn)C，的延長線與交于點(diǎn)P，連接并延長，交于點(diǎn)D．
（1）連接如果．求證： ；
（2）如果，求證：．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了相交圓的性質(zhì)，綜合運(yùn)用垂徑定理、直角三角形的判定以及平行線分線段成比例是本題解題的關(guān)鍵．
（1）連接，由直角三角形的判定可知為直角三角形，然后根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)即可證明；
（2）過作于E，過作于F，根據(jù)垂徑定理和平行線分線段成比例來證明即可．
【小問1詳解】
連接，如圖：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴為直角三角形，
∴，
由圓周角定理可知，，
∵是與的公共弦，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
過作于E，過作于F，如圖：
∴，
∴，
∴，
由垂徑定理可知，，
∴，
∴．
24. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且頂點(diǎn)在線段上（與點(diǎn)、不重合）．
（1）求、的值；
（2）將拋物線向右平移（）個單位，頂點(diǎn)落在點(diǎn)處，新拋物線與原拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)．
①如果，求 的面積；
②如果，求的值．
【答案】（1），
（2）①
②
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，掌握平移變換后，點(diǎn)以及拋物線變化的規(guī)律是本題解題的關(guān)鍵．
（1）先求出所在直線的表達(dá)式，然后將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)和都在線段上，求解即可．
（2）①根據(jù)拋物線平移的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)以及平移后的拋物線解析式，然后求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出的直線表達(dá)式，最后求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；
②根據(jù)，可知在的垂直平分線上，再過點(diǎn)做與軸平行的直線，與相交于點(diǎn)，由垂直平分線的性質(zhì)可得，，，再由線段與平行，推出，，即， ，得出即垂直平分，，與點(diǎn)關(guān)于對稱，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，由平移的性質(zhì)可得平移后拋物線的表達(dá)式，最后根據(jù)在平移后的拋物線上，求出的值即可．
【小問1詳解】
∵拋物線過點(diǎn) ，
，，
∵ ，，
∴
將，兩點(diǎn)分別代入到所在的一次函數(shù)中，
得，
連列可得解答，
故直線的解析式為：，
又因?yàn)轫旤c(diǎn)在線段上，
∴，
得 (舍去) 或，
，
，．
【小問2詳解】
①，
∴對稱軸為直線，頂點(diǎn)為，
當(dāng)時，，
頂點(diǎn)，
當(dāng)時，，
，
過點(diǎn)，，作軸垂線 垂足分別為，，
，
②由平移的性質(zhì)可知， ，
，
在的垂直平分線上，
如圖，過點(diǎn)做與軸平行的直線，與相交于點(diǎn)，
由垂直平分線的性質(zhì)可得，，
故，
由圖可得線段與平行，
故，，
，
即垂直平分，，與點(diǎn)關(guān)于對稱，
頂點(diǎn)為，
的坐標(biāo)為，
由平移的性質(zhì)可得平移后拋物線的表達(dá)式為：，
將代入平移后的拋物線得：，
解得：或（，舍去），
∴．
25. 如圖，已知矩形中，，，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合）．

（1）當(dāng)是的中點(diǎn)時，求證：；
（2）當(dāng)?shù)拈L度取不同值時，在中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；
（3）延長交邊于點(diǎn)，連接，與能否相似，若能相似，求出此時的長；若不能相似，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，PF的長度不變，
（3）能相似，
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)及判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)的比值關(guān)系等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用角的等量關(guān)系建立邊的比值關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）利用斜邊的中線是斜邊的一半的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，通過角的等量代換得到即可；
（2）通過角的等量代換和相似三角形的判定方法證出，即可根據(jù)比值關(guān)系求解；
（3）連接，過點(diǎn)作，垂足為，通過角的等量代換和邊的比值關(guān)系判定出四邊形是矩形，然后再利用角的等量代換證出，當(dāng)時（均為鈍角）時，可得到，從而得到，再利用勾股定理運(yùn)算求解即可．
【小問1詳解】
解：∵，為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：的長度不變，理由如下：
∵，
∴，
∵四邊形為矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小問3詳解】
連接，過點(diǎn)作，垂足為，如圖所示：
∴，，
由題意可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時（均為鈍角），，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

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