（滿分150分，100分鐘完成）
考生注意：
1．本試卷含三個大題，共25題．答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本調(diào)研卷上答題一律無效．
2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計算的主要步驟．
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
[每小題只有一個正確選項，在答題紙相應(yīng)題號的選項上用2B鉛筆正確填涂]
1. 下列各數(shù)中，是無理數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
2. 下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列圖形中，對稱軸條數(shù)最多的是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 正三角形
4. 一次函數(shù)中，如果，那么該函數(shù)的圖像一定不經(jīng)過（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
5. 如圖，菱形的對角線、相交于點，那么下列條件中，能判斷菱形是正方形的為（ ）
A B.
C. D.
6. 對于命題：①如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等；②如果兩個圓心角相等，那么它們所對的弧相等．下列判斷正確的是（ ）
A. ①是真命題，②是假命題B. ①是假命題，②是真命題
C. ①、②都是真命題D. ①、②都是假命題
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
[在答題紙相應(yīng)題號后的空格內(nèi)直接填寫答案]
7. 計算：______．
8. 函數(shù)的定義域是_____．
9. 方程的根為______．
10. 如果一個正多邊形的內(nèi)角和是720°，那么它的中心角是______度．
11. 如果關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，那么a的取值范圍是______．
12. 反比例函數(shù)的圖像在第______象限．
13. 把一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲兩次，兩次正面朝上的概率是____．
14. 一位短跑選手10次100米賽跑的成績?nèi)缦拢?次，1次，3次，4次，那么這10個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______．
15. 在中，點D、E、F分別是邊的中點，設(shè)，那么向量用向量表示為______．
16. 如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與直線交于點，它們的夾角為．直線交x負半軸于點A，直線與x正半軸交于點，那么點A的坐標是______．
17. 如果半徑分別為r和2的兩個圓內(nèi)含，圓心距，那么r的取值范圍是______．
18. 如圖，矩形ABCD中，，將該矩形繞著點A旋轉(zhuǎn)，得到四邊形，使點D在直線上，那么線段的長度是______．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
[將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應(yīng)位置上]
19. 先化簡，再求值：，其中．
20. 解不等式組，并寫出它的整數(shù)解．
21. 已知：如圖，是的直徑，、、是的弦，．

（1）求證：；
（2）如果弦長為8，它與劣弧組成的弓形高為2，求的長．
22. 某區(qū)連續(xù)幾年的GDP（國民生產(chǎn)總值）情況，如下表所示：
我們將這些數(shù)據(jù)，在平面直角坐標系內(nèi)，用坐標形式表示出來，它們分別為點：、、、．如果運用函數(shù)與統(tǒng)計等知識預(yù)測該區(qū)下一年的GDP，可以嘗試選擇直線AB、直線AC等函數(shù)模型來進行分析．
（1）根據(jù)點A、B的坐標，可得直線的表達式為．請根據(jù)點A、C坐標，求出直線的表達式；
（2）假設(shè)經(jīng)濟發(fā)展環(huán)境和條件不變，要預(yù)測該區(qū)第五年的GDP情況，可以參考方差等相關(guān)知識，分析選用哪一函數(shù)模型進行預(yù)測較為合適．
（說明：在計算與繪圖時，當實際數(shù)據(jù)繪制的點與模型上對應(yīng)的點位置越接近時，模型越適宜．我們可通過計算一組GDP所有實際值偏離圖像上對應(yīng)點縱坐標值的程度，即偏離方差，來進行模型分析，一般偏離方差越小越適宜．）
請依據(jù)以上方式，求出關(guān)于直線的偏離方差值：______；
問題：你認為在選用直線與直線進行預(yù)測的兩個方案中，相對哪個較為合適？
請寫出所選直線的表達式：______；
根據(jù)此函數(shù)模型，預(yù)估該區(qū)第五年的GDP約為______百億元．
23. 已知：如圖，直線經(jīng)過矩形頂點，分別過頂點、作垂線，垂足分別為點E和點F，且，連接．
（1）求證：；
（2）連接和，求證：．
24. 如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線關(guān)于直線對稱，且經(jīng)過點和點，橫坐標為4點在此拋物線上．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）聯(lián)結(jié)、、，求的值；
（3）如果點P在對稱軸右方的拋物線上，且，過點P作軸，垂足為Q，請說明，并求點P的坐標．
25. 如圖1，中，已知為銳角，．
（1）求的值；
（2）如圖2，點P在邊上，點Q是邊的中點，經(jīng)過點A，與外切，且的直徑不大于，設(shè)的半徑為x，的半徑為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）在第（2）小題條件下，連接，如果是等腰三角形，求的長．
靜安區(qū)2024年初中學業(yè)質(zhì)量調(diào)研
九年級數(shù)學試卷
（滿分150分，100分鐘完成）
考生注意：
1．本試卷含三個大題，共25題．答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本調(diào)研卷上答題一律無效．
2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計算的主要步驟．
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
[每小題只有一個正確選項，在答題紙相應(yīng)題號的選項上用2B鉛筆正確填涂]
1. 下列各數(shù)中，是無理數(shù)的為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是無理數(shù)，零指數(shù)冪及數(shù)的開方法則．根據(jù)無理數(shù)的定義，零指數(shù)冪及數(shù)的開方法則對各選項進行逐一分析即可．
【詳解】解：A、，2有理數(shù)，本選項不符合題意；
B、是無理數(shù)，本選項符合題意；
C、，1是有理數(shù)，本選項不符合題意；
D、是有理數(shù)，本選項不符合題意．
故選：B．
2. 下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查的是同底數(shù)冪的除法，二次根式的性質(zhì)與化簡，冪的乘方與積的乘方，合并同類項．分別根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，二次根式的性質(zhì)與化簡，冪的乘方與積的乘方法則，合并同類項的法則對各選項進行逐一判斷即可．
詳解】解：A、，正確，本選項符合題意；
B、，原計算錯誤，本選項不符合題意；
C、，原計算錯誤，本選項不符合題意；
D、，原計算錯誤，本選項不符合題意．
故選：A．
3. 下列圖形中，對稱軸條數(shù)最多的是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 正三角形
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的概念，即在平面內(nèi)，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．先根據(jù)軸對稱圖形的定義確定各選項圖形的對稱軸條數(shù)，然后比較即可選出對稱軸條數(shù)最多的圖形．
【詳解】A：等腰直角三角形有1條對稱軸；
B：等腰梯形有1條對稱軸；
C：正方形有4條對稱軸；
D：正三角形有3條對稱軸；
綜上所述正方形對稱軸條數(shù)最多，
故選：C．
4. 一次函數(shù)中，如果，那么該函數(shù)的圖像一定不經(jīng)過（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系進行判斷即可．
【詳解】解：當一次函數(shù)中，，該函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第三象限，
故選：C．
5. 如圖，菱形的對角線、相交于點，那么下列條件中，能判斷菱形是正方形的為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查正方形的判定．根據(jù)菱形到現(xiàn)在和正方形的判定定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：A、，，
，
，
四邊形是菱形，
，故不能判斷菱形是正方形；故A不符合題意；
B、四邊形是菱形，
，，
故不能判斷菱形是正方形；故B不符合題意；
C、四邊形是菱形，
，，
，
故不能判斷菱形是正方形；故C不符合題意；
D、四邊形是菱形，
平行于，
，
，
，
菱形是正方形，故D符合題意．
故選：D．
6. 對于命題：①如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等；②如果兩個圓心角相等，那么它們所對的弧相等．下列判斷正確的是（ ）
A. ①真命題，②是假命題B. ①是假命題，②是真命題
C. ①、②都是真命題D. ①、②都是假命題
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理判斷即可．
【詳解】解：①如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，故本小題說法是真命題；
②在同圓或等圓中，如果兩個圓心角相等，那么它們所對弧相等，故本小題說法是假命題
故選：A．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
[在答題紙相應(yīng)題號后的空格內(nèi)直接填寫答案]
7. 計算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查實數(shù)的化簡，運用絕對值垢性質(zhì)進行化簡即可．
【詳解】解：．
故答案為：．
8. 函數(shù)的定義域是_____．
【答案】x≠﹣1
【解析】
【詳解】由題意得：x+1≠0，解得：x≠1，
故答案為x≠1.
9. 方程的根為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了無理方程的意義．依據(jù)題意，，從而，可得，進而計算可以得解．
【詳解】解：由題意得，，
．
．
．
．
．
故答案為：．
10. 如果一個正多邊形的內(nèi)角和是720°，那么它的中心角是______度．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和、邊數(shù)、中心角，先根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和求出邊數(shù)，再求其中心角的度數(shù)即可．
【詳解】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為，
由題意得，，
解得，
正六邊形的中心角是，
故答案為：．
11. 如果關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，那么a的取值范圍是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本題主要考查一元二次方程定義和根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的判別式可進行求解．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，
∴，而且
解得：且；
故答案為：且．
12. 反比例函數(shù)的圖像在第______象限．
【答案】一、三
【解析】
【分析】根據(jù)＞0，判定函數(shù)圖像的分布即可．
【詳解】解：∵＞0，
反比例函數(shù)的圖像在第一、三象限．
故答案為：一、三．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像分布，熟練判定反比例函數(shù)系數(shù)的正負性是解題的關(guān)鍵．
13. 把一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲兩次，兩次正面朝上的概率是____．
【答案】
【解析】
【分析】舉出所有情況，看正面都朝上的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．
【詳解】解：共4種情況，正面都朝上的情況數(shù)有1種，所以概率是．
故答案為：．
考點：列表法與樹狀圖法．
14. 一位短跑選手10次100米賽跑的成績?nèi)缦拢?次，1次，3次，4次，那么這10個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查中位數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．據(jù)此求解即可．
【詳解】解：這組數(shù)據(jù)中第5、6個數(shù)據(jù)分別為，，
所以這10個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，
故答案為：．
15. 在中，點D、E、F分別是邊的中點，設(shè)，那么向量用向量表示為______．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用三角形中位線定理求得，則；然后由三角形法則求得．代入求值即可．
【詳解】解：在中，點、分別是邊、的中點，

是的中位線．
．
．
，，
．
．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了平面向量和三角形中位線定理，解題的突破口是利用三角形法則求得．
16. 如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與直線交于點，它們的夾角為．直線交x負半軸于點A，直線與x正半軸交于點，那么點A的坐標是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了兩直線相交的問題，點的坐標，相似三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)已知條件證得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出的長，從而得出點的坐標．
【詳解】解：，
，
軸軸，
，
，
，
，
，
點，點，
，，
，
，
點在軸的負半軸，
點的坐標是，
故答案為：．
17. 如果半徑分別為r和2的兩個圓內(nèi)含，圓心距，那么r的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圓心距與兩圓內(nèi)含的性質(zhì)得出的取值范圍即可．本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，當時，兩圓外離；當時，兩圓外切；當時，兩圓相交；當時，兩圓內(nèi)切；當時，兩圓內(nèi)含；
【詳解】解：半徑分別為和2的兩個圓內(nèi)含，圓心距，
，
，
，
∴
的取值范圍是，
故答案為：．
18. 如圖，矩形ABCD中，，將該矩形繞著點A旋轉(zhuǎn)，得到四邊形，使點D在直線上，那么線段的長度是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解三角形，注意分類討論，正確畫出圖形是解題關(guān)鍵．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，再由解三角形求出，，進而在中求出線段的長度．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，當點D在線段上時，如圖1，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
當點D在線段延長線上時，如圖2，
同理可得：，
∴，
故答案為：或．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
[將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應(yīng)位置上]
19. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】本題考查的是分式的化簡求值．根據(jù)分式的除法法則、減法法則把原式化簡，把的值代入計算即可．
【詳解】解：
，
當時，原式．
20. 解不等式組，并寫出它的整數(shù)解．
【答案】不等式組的解集為，不等式組的整數(shù)解為：0，1，2，3．
【解析】
【分析】本題考查求不等式組的整數(shù)解．用到的知識點為：求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．求出每個不等式的解集，進而得到不等式組的公共解集，從公共解集中找到整數(shù)解即可．
【詳解】解：．
解不等式①得：，
．
解不等式②得：，
，
．
不等式組的解集為：．
不等式組的整數(shù)解為：0，1，2，3．
21. 已知：如圖，是的直徑，、、是的弦，．

（1）求證：；
（2）如果弦長為8，它與劣弧組成的弓形高為2，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）10
【解析】
【分析】本題主要考查垂徑定理，勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì)：
（1）作于點E，交于點F，連接運用證明，可得出結(jié)論；
（2）設(shè)的半徑為，在中，運用勾股定理列出方程求出的值即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
解：作于點E，交于點F，連接如圖，

∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：設(shè)的半徑為，則，
又，
∴，
在中，，
即：，
解得，，
∴.
22. 某區(qū)連續(xù)幾年的GDP（國民生產(chǎn)總值）情況，如下表所示：
我們將這些數(shù)據(jù)，在平面直角坐標系內(nèi)，用坐標形式表示出來，它們分別為點：、、、．如果運用函數(shù)與統(tǒng)計等知識預(yù)測該區(qū)下一年的GDP，可以嘗試選擇直線AB、直線AC等函數(shù)模型來進行分析．
（1）根據(jù)點A、B的坐標，可得直線的表達式為．請根據(jù)點A、C坐標，求出直線的表達式；
（2）假設(shè)經(jīng)濟發(fā)展環(huán)境和條件不變，要預(yù)測該區(qū)第五年的GDP情況，可以參考方差等相關(guān)知識，分析選用哪一函數(shù)模型進行預(yù)測較為合適．
（說明：在計算與繪圖時，當實際數(shù)據(jù)繪制的點與模型上對應(yīng)的點位置越接近時，模型越適宜．我們可通過計算一組GDP所有實際值偏離圖像上對應(yīng)點縱坐標值的程度，即偏離方差，來進行模型分析，一般偏離方差越小越適宜．）
請依據(jù)以上方式，求出關(guān)于直線的偏離方差值：______；
問題：你認為在選用直線與直線進行預(yù)測的兩個方案中，相對哪個較為合適？
請寫出所選直線的表達式：______；
根據(jù)此函數(shù)模型，預(yù)估該區(qū)第五年的GDP約為______百億元．
【答案】（1）
（2）0.0125，，14.8
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)和方差的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確運用．
（1）設(shè)直線的表達式為，代入即可作答；
（2）分析直線，即，分別求出，，，，進而求出偏離方差；根據(jù)偏離方差的實際意義即可寫出所選直線的表達式；根據(jù)函數(shù)模型代入，作答即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)直線的表達式為，
根據(jù)題意，
解得，
直線的表達式為；
【小問2詳解】
分析直線，即，
，
，
，
偏離方差，
，
直線更合適，
當時， ，
故答案為：0.0125，，14.8．
23. 已知：如圖，直線經(jīng)過矩形頂點，分別過頂點、作的垂線，垂足分別為點E和點F，且，連接．
（1）求證：；
（2）連接和，求證：．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)梯形中位線定理得出是解題關(guān)鍵．
（1）連接交于點O，得是梯形的中位線，進而可得，再證明，由相似三角形性質(zhì)即可得出結(jié)論，
（2）根據(jù)垂直平分即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
證明：如圖，連接交于點O，
∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
【小問2詳解】
由（1）得，，
∴，
又∵，
∴
24. 如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線關(guān)于直線對稱，且經(jīng)過點和點，橫坐標為4的點在此拋物線上．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）聯(lián)結(jié)、、，求的值；
（3）如果點P在對稱軸右方的拋物線上，且，過點P作軸，垂足為Q，請說明，并求點P的坐標．
【答案】（1）該拋物線的表達式為；
（2）
（3）點的坐標為．
【解析】
【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）先證得是等腰直角三角形，可得，，過點作軸于，則，，，進而證得是等腰直角三角形，可得，，推出，再運用三角函數(shù)定義即可求得答案；
（3）連接，先證得，得出，即，設(shè)，則，可得，得出，代入拋物線解析式求得，即可求得答案．
【小問1詳解】
解：拋物線關(guān)于直線對稱，
設(shè)拋物線的解析式為，把、代入，
得：，
解得：，
，
該拋物線的表達式為；
【小問2詳解】
解：在中，令，得，
，
、，
，
是等腰直角三角形，
，，
如圖，過點作軸于，則，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
；
【小問3詳解】
證明：如圖，連接，
由（2）知是等腰直角三角形，
，
，
，
軸，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
點在對稱軸右方的拋物線上，
，且，
解得：，
當時，，
點的坐標為．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識是解題關(guān)鍵．
25. 如圖1，中，已知為銳角，．
（1）求的值；
（2）如圖2，點P在邊上，點Q是邊的中點，經(jīng)過點A，與外切，且的直徑不大于，設(shè)的半徑為x，的半徑為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）在第（2）小題條件下，連接，如果是等腰三角形，求的長．
【答案】（1）
（2）
（3）的長為或3
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形、勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）構(gòu)建直角三角形，根據(jù)，得出，根據(jù)勾股定理，得出，然后，再運用正弦的定義列式計算，即可作答．
（2）設(shè)的半徑為，的半徑為，作圖，根據(jù)已有的條件得出，結(jié)合勾股定理，得出，，在中，，代入數(shù)值進行計算，即可作答．
（3）因為是等腰三角形，所以進行分類討論，分為,以及 ，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)以及線段的和差運算，列式作答即可．
【小問1詳解】
解：過點A作
∵為銳角，．
∴在
解得
∴
∵
∴
∴在
∴；
【小問2詳解】
解：如圖：
∵與外切，設(shè)的半徑為，的半徑為
∴
∵
∴
∵，點Q是邊的中點
∴
過點P作于點G
∵
∴
則
在中，
則
∴
當時，則，得出；
當時，則，得出；
∵
∴
則
【小問3詳解】
解：∵是等腰三角形，
∴當時，，
∴當時，，
則，
∵點Q是邊的中點，
∴點P是邊的中點，
∴，
∴當時，，
此時
∴
解出（舍去）
綜上：是等腰三角形，的長為或3
年份
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
GDP（百億元）
10.0
11.0
12.4
13.5
■
例如，分析直線，即上點：可知，求得偏離方差．
年份
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
GDP（百億元）
10.0
11.0
12.4
13.5
■
例如，分析直線，即上的點：可知，求得偏離方差．

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