考生注意：
1．本試卷共25題．
2．試卷滿分150分．考試時間100分鐘．
3．答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．
4．除第一、二大題外，其余各題如無特殊說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計算的主要步驟．
一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】
1. 二次根式有意義，則x的取值范圍是（ ▲ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
2. 如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，那么實數(shù)m的值是（ ▲ ）（A）； （B）； （C）； （D）．
3. 下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（ ▲ ）
（A）； （B）； （C）； （D）.
4. 先后兩次拋擲同一枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩次都是正面向上的概率是（ ▲ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
5. 上海發(fā)布微信公眾號可查詢到上海市實時空氣質(zhì)量狀況.下面是三月某一周連續(xù)七天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)：28，26，26，37，33，40，117，這組數(shù)據(jù)的下列統(tǒng)計量中，能比較客觀地反映這一周空氣質(zhì)量平均水平的是（ ▲ ）
（A）平均數(shù)； （B）中位數(shù)； （C）眾數(shù)； （D）方差．
圖1
6. 如圖1，△ABC中，∠C=90°，AB=5，，如果以點C為圓心，半徑為R的⊙C與線段AB有兩個交點，那么⊙C的半徑R的取值范圍是（ ▲ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）．
二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】
7. 計算：＝ ▲ .
8. 因式分解：m2－3m＝ ▲ .
9. 不等式 eq \f(x－1,2)＜0的解集是 ▲ .
10. 方程的解是 ▲ .
11. 我國天文學(xué)家算出了仙女星系“體重”.仙女星系是距離銀河系最近的大型漩渦星系，是研究星系形成和演化的絕佳案例.計算得到仙女星系質(zhì)量約為11400億倍太陽質(zhì)量.把數(shù)據(jù)11400億用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)是 ▲ .
12. 某廠生產(chǎn)了1000只燈泡．為了解這1000只燈泡的使用壽命，從中隨機(jī)抽取了50只燈泡進(jìn)行檢測，結(jié)果有28只燈泡的使用壽命超過了2500小時，那么估計這1000只燈泡中使用壽命超過2500小時的燈泡的數(shù)量為 ▲ 只.
13. 《孫子算經(jīng)》記載了這樣一個題目：今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木多出1尺．那么長木的長度為 ▲ 尺.
14. 如圖2，街心花園有A、B、C三座小亭子，A、C兩亭被池塘隔開，A、B、C三亭所在的點不共線.設(shè)AB、BC的中點分別為M、N.如果MN=3米，那么AC= ▲ 米.
15. 如圖3，正六邊形ABCDEF，連接OE、OD，如果那么 ▲ .
圖2
圖4
圖3
16. 為傳承海派文化，社區(qū)準(zhǔn)備舉辦滬劇愛好者觀摩演出活動.把某場館的一個正方形區(qū)域改造成一個由矩形和半圓形組成的活動場地（如圖4），矩形ABCD是觀眾觀演區(qū)，陰影部分是舞臺，CD是半圓O的直徑，弦EF與CD平行．已知EF長8米，舞臺區(qū)域最大深度為2米，如果每平方米最多可以坐3名觀眾，那么觀演區(qū)可容納 ▲ 名觀眾.
17. 如圖5，邊長分別為5，3，2的三個正方形拼接在一起，它們的一邊在同一直線上，那么圖中陰影三角形①和②的面積之比的比值為_______．
18. 如圖6，菱形ABCD的邊長為5，csB＝，E是邊CD上一點（不與點C、D重合），把△ADE沿著直線AE翻折，如果點D落在菱形一條邊的延長線上，那么CE的長為
圖6
圖5
▲ .
E
D
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19. （本題滿分10分）計算：．
20. （本題滿分10分）解方程：．
（本題滿分10分，第(1)小題滿分5分，第(2)小題滿分5分）
x
O
B
A
y
圖7
C
如圖7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸、y軸分別交于點A、B，與反比例函數(shù)的圖像交于點C(2，m)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）過點C作x軸的平行線l，如果點D在直線l上，
且CD=3，求△ABD的面積．
22.（本題滿分10分）
小明家院內(nèi)靠墻安裝了一個遮陽篷（如圖8），圖9是它的側(cè)面示意圖，遮陽篷長AC＝6米，與水平面的夾角為17.5°，靠墻端A離地高度AB＝5米，已知該地區(qū)冬至正午太陽光照入射角∠CDF＝36.9°，夏至正午太陽光照入射角∠CEF＝82.4°，因此，點D、E之間的區(qū)域是一年四季中陽光不一定照射到的區(qū)域，求該區(qū)域深度DE的長．（結(jié)果精確到0.1米）
參考數(shù)據(jù)：sin17.5°≈0.3，cs17.5°≈0.95，tan17.5°≈0.32；
sin36.9°≈0.6，cs36.9°≈0.8，tan36.9°≈0.75；
sin82.4°≈0.99，cs82.4°≈0.13，tan82.4°≈7.5.
圖8
圖9
23.（本題滿分12分，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分6分）
圖10
如圖10，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為點E，聯(lián)結(jié)AC、DO，延長DO交AC于點F．
（1）求證：AF2＝OF·DF；
（2）如果CD＝8，BE＝2，求OF的長．
24.（本題滿分12分，第(1)小題滿分4分,第(2)小題滿分4分，第(3)小題滿分4分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖11），已知開口向下的拋物線經(jīng)過點
P（0，4），頂點為A．
（1）求直線PA的表達(dá)式；
（2）如果將△POA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點A落在拋物線上的點Q處，求拋物線的表達(dá)式；
x
O
P(0, 4)
y
圖11
（3）將（2）中得到的拋物線沿射線PA平移，平移后拋物線的頂點為B，與y軸交于點C.如果，求的值．
25.（本題滿分14分，第(1)小題①滿分4分，第(1)小題②滿分4分，第(2)小題滿分6分）
已知AB是半圓O的直徑，C是半圓O上不與A、B重合的點，將弧AC沿直線AC翻折，翻折所得的弧交直徑AB于點D，E是點D關(guān)于直線AC的對稱點．
（1）如圖12，點D恰好落在點O處.
① 用尺規(guī)作圖在圖12中作出點E（保留作圖痕跡），
聯(lián)結(jié)AE、CE、CD，求證：四邊形ADCE是菱形；
② 聯(lián)結(jié)BE，與AC、CD分別交于點F、G，求的值；
（2）如果AB＝10，OD＝1，求折痕AC的長．
圖12
備用圖
上海市寶山區(qū)2023學(xué)年第二學(xué)期期中考試九年級
數(shù)學(xué)試卷
考生注意：
1．本試卷共25題．
2．試卷滿分150分．考試時間100分鐘．
3．答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．
4．除第一、二大題外，其余各題如無特殊說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計算的主要步驟．
一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】
1. 二次根式有意義，則x的取值范圍是（ ▲ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
【答案】D
【分析】本題考查二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)要≥0.
【詳解】由題意得，
∴
所以答案選D
2. 如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，那么實數(shù)m的值是（ ▲ ）（A）； （B）； （C）； （D）．
【答案】B
【分析】本題考查一元二次方程根的情況，根據(jù)一元二次方程判別式與根情況的關(guān)系，列代數(shù)式求解即可．
，方程有兩個不相等的實數(shù)根；
當(dāng)，方程有兩個相等的實數(shù)根；
當(dāng)，方程沒有實數(shù)根．
【詳解】
∵一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根
∴
∴1+4m=0
∴m=
∴答案選B
3. 下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（ ▲ ）
（A）； （B）； （C）； （D）.
【答案】D
【分析】本題考查一次函數(shù)，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)
【詳解】
A選項，二次函數(shù)，在對稱軸左側(cè)，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而減小，右側(cè)不滿足題意，故A錯；
B選項，二次函數(shù)，開口向下，在對稱軸左側(cè)，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大，不滿足題意，故B錯；
C選項，一次函數(shù)，k＞0，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大，故C錯；
D選項，一次函數(shù)，k＜0，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而減小，故D正確。
正確答案為D
4. 先后兩次拋擲同一枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩次都是正面向上的概率是（ ▲ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
【答案】A
【分析】本題考查學(xué)生對概率的理解掌握情況
【詳解】拋擲同一枚質(zhì)地均勻的硬幣，每次正面向上的概率都為，
那么先后兩次拋擲同一枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩次都是正面向上的概率是
正確答案為A
5. 上海發(fā)布微信公眾號可查詢到上海市實時空氣質(zhì)量狀況.下面是三月某一周連續(xù)七天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)：28，26，26，37，33，40，117，這組數(shù)據(jù)的下列統(tǒng)計量中，能比較客觀地反映這一周空氣質(zhì)量平均水平的是（ ▲ ）
（A）平均數(shù)； （B）中位數(shù)； （C）眾數(shù)； （D）方差．
【答案】B
【分析】本題考查學(xué)生對統(tǒng)計的一些概念的理解
【詳解】根據(jù)中位數(shù)的定義先確定從小到大或者從大到小排列，所以中位數(shù)能比較客觀地反映這一周空氣質(zhì)量平均水平；
標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算數(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用“s”表示，即
方差、標(biāo)準(zhǔn)差都反映一組數(shù)據(jù)波動大??；
平均數(shù)：一般地，如果有個數(shù)那么，叫做這n個數(shù)的平均數(shù)；
眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
根據(jù)定義，容易得到答案為B
圖1
6. 如圖1，△ABC中，∠C=90°，AB=5，，如果以點C為圓心，半徑為R的⊙C與線段AB有兩個交點，那么⊙C的半徑R的取值范圍是（ ▲ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）．
【答案】A
【分析】
【詳解】
過C作CD⊥AB，交AB于點D，
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=5，
∴
在Rt△BCD中，
由等面積，得CD=2
∵以點C為圓心，半徑為R的⊙C與線段AB有兩個交點
∴R＞CD，且R≤AC
∴
正確答案為A
二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】
7. 計算：＝ ▲ .
【答案】
【分析】本題考查同底數(shù)冪的除法法則。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。
【詳解】
＝
所以答案為
8. 因式分解：m2－3m＝ ▲ .
【答案】
【分析】本題考查因式分解中的提公因式
【詳解】代數(shù)式提出m,即得到答案
9. 不等式 eq \f(x－1,2)＜0的解集是 ▲ .
【答案】
【分析】本題考查解不等式
【詳解】原不等式可以化為
-1＜0
∴
所以答案為
10. 方程的解是 ▲ .
【答案】
【分析】本題考查無理方程的解法，及驗根
【詳解】由題意，得≤0
兩邊平方得
解得
經(jīng)檢驗得為增根，舍去
所以方程的解是
11. 我國天文學(xué)家算出了仙女星系“體重”.仙女星系是距離銀河系最近的大型漩渦星系，是研究星系形成和演化的絕佳案例.計算得到仙女星系質(zhì)量約為11400億倍太陽質(zhì)量.把數(shù)據(jù)11400億用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)是 ▲ .
【答案】
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，解題的關(guān)鍵是正確表示和的值．由科學(xué)記數(shù)法的表示方法，表示出和的值，得到答案．
【詳解】答案為
12. 某廠生產(chǎn)了1000只燈泡．為了解這1000只燈泡的使用壽命，從中隨機(jī)抽取了50只燈泡進(jìn)行檢測，結(jié)果有28只燈泡的使用壽命超過了2500小時，那么估計這1000只燈泡中使用壽命超過2500小時的燈泡的數(shù)量為 ▲ 只.
【答案】560
【分析】本題考查概率統(tǒng)計的基本知識點，需要熟練掌握
【詳解】設(shè)1000只燈泡中使用壽命超過2500小時的燈泡的數(shù)量為x只，
由題意，可以列比例式
28:50=:1000
解得=560
所以答案為560
13. 《孫子算經(jīng)》記載了這樣一個題目：今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木多出1尺．那么長木的長度為 ▲ 尺.
【答案】6.5
【分析】本題考查學(xué)生設(shè)未知數(shù)，建立等量關(guān)系，及解方程的能力
【詳解】設(shè)繩子的長度為2x, 則長木的長度分別為2x-4.5,x+1,
∴2x-4.5=x+1
∴x=5.5
x+1=6.5
即長木的長度為6.5尺。
14. 如圖2，街心花園有A、B、C三座小亭子，A、C兩亭被池塘隔開，A、B、C三亭所在的點不共線.設(shè)AB、BC的中點分別為M、N.如果MN=3米，那么AC= ▲ 米.
【答案】6
圖2
【分析】本題考查中位線的性質(zhì)知識點及應(yīng)用
【詳解】
A,B，C組成三角形，在△ABC中，MN 為中位線，
AC=2MN=6
所以答案為6
15. 如圖3，正六邊形ABCDEF，連接OE、OD，如果那么 ▲ .
圖3
【答案】
【分析】
【詳解】
∵正六邊形ABCDEF
∴AB∥DE
∴答案為
16. 為傳承海派文化，社區(qū)準(zhǔn)備舉辦滬劇愛好者觀摩演出活動.把某場館的一個正方形區(qū)域改造成一個由矩形和半圓形組成的活動場地（如圖4），矩形ABCD是觀眾觀演區(qū)，陰影部分是舞臺，CD是半圓O的直徑，弦EF與CD平行．已知EF長8米，舞臺區(qū)域最大深度為2米，如果每平方米最多可以坐3名觀眾，那么觀演區(qū)可容納 ▲ 名觀眾.
圖4
【答案】150
【分析】本題考查垂徑定理及面積的計算方法，數(shù)學(xué)知識的實際應(yīng)用
【詳解】聯(lián)結(jié)OE，過O作OH⊥EF于點H，設(shè)OE=r,
由題意得OH=r-2, EH=4，
在Rt△OEH中，由勾股定理得
∴得r=5
∴AB=CD=10 AD=5
所以觀看演出面積為矩形ABCD的面積，即為5×10=50平方米。所以可以容納人數(shù)為50×3=150人。
如圖5，邊長分別為5，3，2的三個正方形拼接在一起，它們的一邊在同一直線上，那么圖中陰影三角形①和②的面積之比的比值為_______．
【答案】
【分析】通過A型和X型，求解得出的比值
【詳解】
A

C
B D

由圖設(shè)AD，BC交于點P，
∵AB∥CD，由比例關(guān)系，
經(jīng)過計算得△①的底邊長為，△②的底邊長為，由面積比等于相似比的平方得
18. 如圖6，菱形ABCD的邊長為5，csB＝，E是邊CD上一點（不與點C、D重合），把△ADE沿著直線AE翻折，如果點D落在菱形一條邊的延長線上，那么CE的長為
▲ .
圖6
【答案】
【分析】本題考查翻折知識點及應(yīng)用，考查解三角形及角平分線定理在求線段長度中的應(yīng)用。需要分類討論
【詳解】①當(dāng)點D落在BC的延長線上時，
落點設(shè)為點F，線段AF交線段DC于點G，
∵由題意得，AD=AF=AB=5,
∴∠B=∠AFB=∠DAF=∠D
∴GA=GD
過A作AH⊥BC于點H，求得AH=3，BH=4，∴CH=1，CF=3，
∵BF∥AD
∴
∵翻折 ∠DAE=∠GAE
②當(dāng)點D落在DC的延長線上時，
落點設(shè)為點F，線段AF交線段DC于點G，
∵AD=AF ∴E為DF的中點
由等腰三角形三線合一，得AE⊥DF
∴CE=DC-DE=5-4=1
綜上，CE的長度為
E
D
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19. （本題滿分10分）計算：．
【答案】
【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，需要對分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，分母有理化，絕對值運算，負(fù)整數(shù)次冪運算要熟練掌握，運算基本功扎實，這個題目容易答對。
【詳解】
原式=
=
20. （本題滿分10分）解方程：．
【答案】.
【分析】本題考查分式方程的解法，需要注意驗根
【詳解】
去分母，方程兩邊同時乘以，得
經(jīng)檢驗都是原方程的根，
所以，原方程的根是.
21.（本題滿分10分，第(1)小題滿分5分，第(2)小題滿分5分）
x
O
B
A
y
圖7
C
如圖7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸、y軸分別交于點A、B，與反比例函數(shù)的圖像交于點C(2，m)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）過點C作x軸的平行線l，如果點D在直線l上，
且CD=3，求△ABD的面積．
【答案】（1） （2）
【分析】
由直線解析式求C點坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)，求k,進(jìn)而求解析式；
點D在C點左側(cè)或者右側(cè)，都可以利用△ABD的面積=△ACD的面積-△BCD的面積，求解即可。
【詳解】
（1）由直線經(jīng)過C(2，m)，可得于是C（2，5），
由點C在反比例函數(shù)的圖像上，可得
所以，反比例函數(shù)的解析式是
（2）x
O
B
A
y
圖7
C
點D在過點C且平行于x軸的直線l上，則D（a，5），
E
F
D11
D2
l
過點A作AE⊥l,垂足為點E,直線l與y軸交于點F,
點D在點C左側(cè)或右側(cè)總有
由A（-3，0），B（0，3）
22.（本題滿分10分）
小明家院內(nèi)靠墻安裝了一個遮陽篷（如圖8），圖9是它的側(cè)面示意圖，遮陽篷長AC＝6米，與水平面的夾角為17.5°，靠墻端A離地高度AB＝5米，已知該地區(qū)冬至正午太陽光照入射角∠CDF＝36.9°，夏至正午太陽光照入射角∠CEF＝82.4°，因此，點D、E之間的區(qū)域是一年四季中陽光不一定照射到的區(qū)域，求該區(qū)域深度DE的長．（結(jié)果精確到0.1米）
參考數(shù)據(jù)：sin17.5°≈0.3，cs17.5°≈0.95，tan17.5°≈0.32；
sin36.9°≈0.6，cs36.9°≈0.8，tan36.9°≈0.75；
sin82.4°≈0.99，cs82.4°≈0.13，tan82.4°≈7.5.
圖8
圖9
【答案】DE的長為3.8米.
【分析】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用題。通過添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用給出的角度的三角比的值，進(jìn)行求解得出線段長度。
【詳解】
過點C作CG⊥AB,垂足為點G,
在Rt△ACG中，，
∵AC=6米，∴．
∵AB＝5米，∴BG=3.2米，
∵CG∥BF，AB⊥BF，CH⊥BF，
∴CH=BG=3.2米，
過點C作CH⊥BF，垂足為點H,
在Rt△CDH中，，
∴
在Rt△CEH中，
∴
∴米
答：該區(qū)域深度DE的長為3.8米.
23.（本題滿分12分，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分6分）
圖10
如圖10，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為點E，聯(lián)結(jié)AC、DO，延長DO交AC于點F．
（1）求證：AF2＝OF·DF；
（2）如果CD＝8，BE＝2，求OF的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）聯(lián)結(jié)AD，通過角角相等，證明△AFO∽△AFD，列出比例式即可求證；
（2）通過垂徑定理和勾股定理，及第一問相似三角形列比例式，求出線段OF的長度。
【詳解】（1）證明：聯(lián)結(jié)AD，
∵直徑AB垂直于弦CD,
∴,
∵AB⊥CD，
∴AC=AD，
∵AB⊥CD，
∴∠FAO=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠FAO=∠ODA，
∵∠AFO=∠AFD，
∴△AFO∽△AFD，
∴,
∴AF2＝OF·DF.
（2）∵，CD＝8，
∴CE=DE=4，
在Rt△DEO中，，
由BE＝2，設(shè)OD=OB=r，則OE=r-2，，r=5，
∴OE=3，AE=8，
在Rt△ADE中，，
∵△AFO∽△AFD，
∴,
設(shè)AF=y，OF=x，
∴,
解得，
∴
24.（本題滿分12分，第(1)小題滿分4分,第(2)小題滿分4分，第(3)小題滿分4分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖11），已知開口向下的拋物線經(jīng)過點
P（0，4），頂點為A．
（1）求直線PA的表達(dá)式；
（2）如果將△POA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點A落在拋物線上的點Q處，求拋物線的表達(dá)式；
x
O
P(0, 4)
y
圖11
（3）將（2）中得到的拋物線沿射線PA平移，平移后拋物線的頂點為B，與y軸交于點C.如果，求的值．
【答案】（1）；（2） ； （3）
【分析】本題考查拋物線相關(guān)的旋轉(zhuǎn)，一線三等角，線段長度，角度的求解。
配方得到A點坐標(biāo)，代入求解；
作輔助線，構(gòu)造全等三角形，求得Q點坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求值，進(jìn)而求得拋物線解析式；
寫出平移后拋物線解析式，利用直角三角形勾股定理，求得線段長度，進(jìn)一步求得∠PBC的正切值。
【詳解】
（1）由，可得，
由題意設(shè)直線PA的表達(dá)式為，
代入得，，，
所以，直線PA的表達(dá)式為.
（2）由拋物線開口向下且過點P（0，4），△POA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點A的對應(yīng)點Q如圖所示，分別過點A、Q作AM⊥y軸，QN⊥y軸，垂足分別為點M、N,
于是△AOM≌△QON，則由得，
代入得，
，或，
所以，a的值為.
∴拋物線表達(dá)式為
（3）由（2）得，，
設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為，
則，，
點B在點A的上方,點C在點P的下方，如圖所示,
于是，，
，
由，可得，
解得
于是，
過點C作CD⊥PA，垂足為點D，
在Rt△CDP中，∠DPC=45°，PC=4，可得,
,于是,
所以，在Rt△CDB中，
25.（本題滿分14分，第(1)小題①滿分4分，第(1)小題②滿分4分，第(2)小題滿分6分）
已知AB是半圓O的直徑，C是半圓O上不與A、B重合的點，將弧AC沿直線AC翻折，翻折所得的弧交直徑AB于點D，E是點D關(guān)于直線AC的對稱點．
（1）如圖12，點D恰好落在點O處.
① 用尺規(guī)作圖在圖12中作出點E（保留作圖痕跡），
聯(lián)結(jié)AE、CE、CD，求證：四邊形ADCE是菱形；
② 聯(lián)結(jié)BE，與AC、CD分別交于點F、G，求的值；
（2）如果AB＝10，OD＝1，求折痕AC的長．
圖12
備用圖
【答案】（1）①尺規(guī)作圖略，證明見解析；
②
（2）或
【分析】（1）①考查尺規(guī)作圖，O，E關(guān)于直線AC對稱；
②利用菱形的性質(zhì)，通過平行線，得出比例線段，求值即可；
（2）依題意，分兩類進(jìn)行討論，分當(dāng)點D在點O左側(cè)，右側(cè)進(jìn)行，分析圖形，得出邊角關(guān)系，構(gòu)造直角三角形，通過勾股定理等進(jìn)行求解。
【詳解】
（1）①尺規(guī)作圖略
證明：∵E是點D關(guān)于直線AC的對稱點，
∴AE=AD，CE=CD，
∵AD=CD， ∴AE=AD=CE=CD，
∴四邊形ADCE是菱形
②∵四邊形ADCE是菱形，
∴CD∥AE，
（2）①當(dāng)點D在點O右側(cè)，
作點D關(guān)于直線AC的對稱點E，聯(lián)結(jié)DE、AE,
過點O作OG⊥AE，垂足為點G，過點C作CH⊥AB，垂足為點H，
∴，
∵AE=AD，DE⊥AC,∴，
∵AO=CO，∴，
∴，
∵
∴，
∵AO=CO，∴，∴AG=OH，
∵AB=10，OD=1，∴AD=AE=6，
∵OG⊥AE,∴，
∴OH=3，AH=8，
在Rt△COH中，
在Rt△ACH中，
②當(dāng)點D在點O左側(cè)，經(jīng)過計算，同理可得AC=
綜上所述：折痕AC的長為．

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