（滿分150分，考試時(shí)間100分鐘）
注意：
1．本練習(xí)卷含三個(gè)大題，共25題．答題時(shí)，請(qǐng)務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本練習(xí)卷上答題一律無(wú)效．
2．除第一、二大題外，其余各題如無(wú)特別說(shuō)明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫(xiě)出證明或計(jì)算的主要步驟．
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
［下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上．］
1. 下列各數(shù)中，無(wú)理數(shù)是（ ）
A. B. 3.14159C. D.
2. 關(guān)于的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知二次函數(shù)，如果函數(shù)值隨自變量的增大而減小，那么的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
4. 下列事件中，必然事件（ ）
A. 隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)一張電影票，座位號(hào)恰好是偶數(shù)
B. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后反面朝上
C. 在只裝有2個(gè)黃球和3個(gè)白球的盒子中，摸出一個(gè)球是紅球
D. 在平面內(nèi)畫(huà)一個(gè)三角形，該三角形的內(nèi)角和等于
5. 如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊和上，，，如果，那么面積為（ ）

A. 6B. 8C. 10D. 12
6. 在中，，．如果以頂點(diǎn)為圓心，為半徑作，那么與邊所在直線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 3個(gè)B. 2個(gè)C. 1個(gè)D. 0個(gè)．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
［請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置］
7. 計(jì)算：=___．
8. 分解因式：_______．
9. 解不等式：，的解集為_(kāi)_______.
10. 函數(shù)的定義域是
11. 將拋物線先向右平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位后，所得到的新拋物線的表達(dá)式為_(kāi)_______．
12. 在一個(gè)不透明袋子中，裝有2個(gè)紅球和一些白球，這些球除顏色外其他都一樣，如果從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅球的概率為，那么白球的個(gè)數(shù)是________．
13. 某校為了解該校1200名學(xué)生參加家務(wù)勞動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取40名學(xué)生，調(diào)查了他們的周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間并制作成頻數(shù)分布直方圖，那么估計(jì)該校周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生大約有________名．
14. 一根蠟燭長(zhǎng)30厘米，點(diǎn)燃后勻速燃燒，經(jīng)過(guò)50分鐘其長(zhǎng)度恰為原長(zhǎng)的一半．在燃燒的過(guò)程中，如果設(shè)蠟燭的長(zhǎng)為（厘米），燃燒的時(shí)間為（分鐘），那么關(guān)于的函數(shù)解析式為_(kāi)_______（不寫(xiě)定義域）．
15. 如圖，正六邊形螺帽的邊長(zhǎng)是，那么這個(gè)扳手的開(kāi)口的值是______．
16. 如圖，在梯形中，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接，設(shè)，，那么用向量、表示向量________．
17. 如圖，在中，，，．點(diǎn)在邊上，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作．點(diǎn)在邊上，以點(diǎn)為圓心，為半徑作．如果和外切，那么的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

18. 如圖，在扇形中，，，點(diǎn)在半徑上，將沿著翻折，點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好落在弧上，再將弧沿著翻折至?。c(diǎn)是點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)），那么的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
20. 解方程組：
21. 如圖，一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交一次函數(shù)圖像于點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求的面積．
22. 根據(jù)以下素材，完成探索任務(wù)．
23. 如圖，在中，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)、分別作，，與相交于點(diǎn)，連接．
（1）求證：；
（2）連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．如果，求證：．
24. 新定義：已知拋物線（其中），我們把拋物線稱(chēng)為“輪換拋物線”．例如：拋物線的“輪換拋物線”為．
已知拋物線：的“輪換拋物線”為，拋物線、與軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，拋物線的頂點(diǎn)為．
（1）如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，求拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線相交于點(diǎn)，如果四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的值．
25. 在梯形中，，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，連接、相交于點(diǎn)，．
（1）如圖①，如果，點(diǎn)、分別邊、上．求證：；
（2）如圖②，如果，，，．在射線的下方，以為直徑作半圓，半圓與的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)．設(shè)與弧的交點(diǎn)為．
①當(dāng)時(shí)，求和的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)．
虹口區(qū)2023學(xué)年度初三年級(jí)第二次學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷練習(xí)
數(shù)學(xué) 練習(xí)卷
（滿分150分，考試時(shí)間100分鐘）
注意：
1．本練習(xí)卷含三個(gè)大題，共25題．答題時(shí)，請(qǐng)務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本練習(xí)卷上答題一律無(wú)效．
2．除第一、二大題外，其余各題如無(wú)特別說(shuō)明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫(xiě)出證明或計(jì)算的主要步驟．
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
［下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上．］
1. 下列各數(shù)中，無(wú)理數(shù)是（ ）
A. B. 3.14159C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查的是對(duì)無(wú)理數(shù)定義的應(yīng)用，熟練掌握理解無(wú)理數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義（無(wú)理數(shù)是指無(wú)限不循環(huán)小數(shù)）判斷即可．
【詳解】解：A、是分?jǐn)?shù)，不是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、3.14159是小數(shù)，不是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)正確；
D、是循環(huán)小數(shù)，不是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選C．
2. 關(guān)于的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程判別式與根情況的關(guān)系，列代數(shù)式求解即可．
【詳解】解：一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
則判別式
解得，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程判別式與根情況的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，一元二次方程的判別式，當(dāng)時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)根．
3. 已知二次函數(shù)，如果函數(shù)值隨自變量的增大而減小，那么的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)，可得函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，函數(shù)值隨自變量的增大而減小，則，得以解答．
【詳解】解：二次函數(shù)，
，
函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，
時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而減小，
故選：A．
4. 下列事件中，必然事件是（ ）
A. 隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)一張電影票，座位號(hào)恰好是偶數(shù)
B. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后反面朝上
C. 在只裝有2個(gè)黃球和3個(gè)白球的盒子中，摸出一個(gè)球是紅球
D. 在平面內(nèi)畫(huà)一個(gè)三角形，該三角形的內(nèi)角和等于
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷．
【詳解】解：A、隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)一張電影票，座位號(hào)是偶數(shù)，是隨機(jī)事件；
B、拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，反面朝下，是隨機(jī)事件；
C、在只裝有2個(gè)黃球和3個(gè)白球的盒子中，摸出一個(gè)球是紅球，是不可能事件；
D、在平面內(nèi)畫(huà)一個(gè)三角形，該三角形的內(nèi)角和等于，是必然事件；
故選D．
5. 如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊和上，，，如果，那么的面積為（ ）

A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形，得到，則，最后根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
6. 在中，，．如果以頂點(diǎn)為圓心，為半徑作，那么與邊所在直線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 3個(gè)B. 2個(gè)C. 1個(gè)D. 0個(gè)．
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的面積，直線與圓的位置關(guān)系d、r法則，熟練掌握法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)面積公式計(jì)算點(diǎn)C到的距離d，比較d與半徑的大小判斷即可．
【詳解】解：如圖，
∵在平行四邊形中，，，
設(shè)點(diǎn)C到的距離為d，
∴點(diǎn)C到的距離，

∴直線與圓C相交，即有2個(gè)交點(diǎn)，
故選：B．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
［請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置］
7. 計(jì)算：=___．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】根據(jù)立方根定義，求數(shù)a的立方根，也就是求一個(gè)數(shù)x，使得x3=a，則x就是a的立方根．
【詳解】∵（－2）3=－8，
∴，
故答案為：-2
8. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平方差公式因式分解即可求解．
【詳解】解：
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
9. 解不等式：，解集為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查的是解一元一次不等式；按照去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟解一元一次不等式即可求解．
【詳解】解：
去括號(hào)，
移項(xiàng)，
合并同類(lèi)項(xiàng)，
化系數(shù)為1，
故答案為：．
10. 函數(shù)的定義域是
【答案】＞
【解析】
【分析】定義域是指該函數(shù)的自變量的取值范圍，根據(jù)二次根號(hào)下被開(kāi)方數(shù)≥0；分式中分母不為0；即可解答.
【詳解】定義域是指該函數(shù)的自變量的取值范圍，
二次根號(hào)下被開(kāi)方數(shù)≥0；分式中分母不為0；
∴
∴
故答案為
11. 將拋物線先向右平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位后，所得到的新拋物線的表達(dá)式為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．根據(jù)平移規(guī)律“左加右減，上加下減”寫(xiě)出新拋物線解析式．
【詳解】解：拋物線先向右平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位后，所得到的新拋物線的表達(dá)式為，即．
故答案為：．
12. 在一個(gè)不透明袋子中，裝有2個(gè)紅球和一些白球，這些球除顏色外其他都一樣，如果從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅球的概率為，那么白球的個(gè)數(shù)是________．
【答案】6
【解析】
【分析】本題考查了概率的定義．解題的關(guān)鍵與難點(diǎn)在于理解概率的定義，求出球的總數(shù)．隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅球的概率是，可以得到球的總個(gè)數(shù)，進(jìn)而得出白球的個(gè)數(shù)．
【詳解】解：設(shè)紅、白球總共n個(gè)，記摸出一個(gè)球是紅球?yàn)槭录嗀，
，
白球有個(gè)
故答案為：．
13. 某校為了解該校1200名學(xué)生參加家務(wù)勞動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取40名學(xué)生，調(diào)查了他們的周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間并制作成頻數(shù)分布直方圖，那么估計(jì)該校周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生大約有________名．
【答案】780
【解析】
【分析】本題主要考查了用樣本估計(jì)總體，根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖獲取信息是解題的關(guān)鍵．根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖直接得出家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生有26名，進(jìn)而估計(jì)該校1200名學(xué)生參加家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生人數(shù)即可求解．
【詳解】解：由題意得：被調(diào)查的40人中，家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生有26名，
該校周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生大約有（名），
故答案為：780．
14. 一根蠟燭長(zhǎng)30厘米，點(diǎn)燃后勻速燃燒，經(jīng)過(guò)50分鐘其長(zhǎng)度恰為原長(zhǎng)的一半．在燃燒的過(guò)程中，如果設(shè)蠟燭的長(zhǎng)為（厘米），燃燒的時(shí)間為（分鐘），那么關(guān)于的函數(shù)解析式為_(kāi)_______（不寫(xiě)定義域）．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查由實(shí)際問(wèn)題列一次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是理解題意．根據(jù)題意先求出蠟燭燃燒的速度為（厘米/分），即可直接進(jìn)行求解．
【詳解】解：由題意可得：蠟燭長(zhǎng)30厘米，經(jīng)過(guò)50分鐘其長(zhǎng)度恰為原長(zhǎng)的一半，
經(jīng)過(guò)50分鐘蠟燭燃燒的長(zhǎng)度為15厘米，
蠟燭燃燒的速度為（厘米/分），
蠟燭的長(zhǎng)為蠟燭燃燒前長(zhǎng)度減去燃燒的長(zhǎng)度，
，
故答案為：．
15. 如圖，正六邊形螺帽的邊長(zhǎng)是，那么這個(gè)扳手的開(kāi)口的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)．由螺帽是正六邊形，可得是含角的直角三角形，再根據(jù)即可求出和．
【詳解】解：如圖，連接,則，過(guò)點(diǎn)作于
螺帽是正六邊形
，
,
．
故答案為：．
16. 如圖，在梯形中，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接，設(shè)，，那么用向量、表示向量________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了平面向量的問(wèn)題，熟練掌握三角形法則是解題的關(guān)鍵，根據(jù)梯形的中位線定理及向量的三角形法則解答即可．
【詳解】解：，，
，
，
，
,
點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，
，
，
，
故答案為：．
17. 如圖，在中，，，．點(diǎn)在邊上，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作．點(diǎn)在邊上，以點(diǎn)為圓心，為半徑作．如果和外切，那么的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

【答案】##
【解析】
【分析】本題考查的是圓和圓的位置關(guān)系、解直角三角形的知識(shí)，作于點(diǎn)H，連接，先求出，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理列方程即可解決．
【詳解】解：作于點(diǎn)H，連接，

，，
，
在中，，
，
，
設(shè)，
和外切，半徑為2，
，
在中，，
，
解得：，
故答案為：．
18. 如圖，在扇形中，，，點(diǎn)在半徑上，將沿著翻折，點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好落在弧上，再將弧沿著翻折至?。c(diǎn)是點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)），那么的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查翻折性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，連接，由翻折得，證出是等邊三角形，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理列方程并解出進(jìn)而求出結(jié)論．
【詳解】解：連接，
由翻折得：，，
，
是等邊三角形，
，
，
設(shè)，則，
在中，，
，
解得：（舍去），
，
故答案為：．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化，掌握分式的基本性質(zhì)與運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，注意化簡(jiǎn)過(guò)程中能因式分解要先因式分解．先算括號(hào)內(nèi)的減法，把除法變成乘法，算乘法，最后代入求值即可．
【詳解】解：
；
當(dāng)時(shí)，．
20. 解方程組：
【答案】
【解析】
【分析】將第二個(gè)方程進(jìn)行因式分解得到，然后令因式和因式分別為0即可求解.
【詳解】解：由題意可知：
對(duì)方程②進(jìn)行因式分解得：
即或
∴原方程組化為 或
解得或
故原方程組的解為：或.
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的方法及二元方程組，熟練掌握常見(jiàn)的二元一次方程組的解法是解決此類(lèi)題的關(guān)鍵.
21. 如圖，一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交一次函數(shù)圖像于點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式；
（2）求的面積．
【答案】（1）反比例函數(shù)為，一次函數(shù)解析式
（2）
【解析】
【分析】此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式，三角形面積．
（）利用待定系數(shù)法求解即可；
（）先分別求出、、的坐標(biāo)，進(jìn)而利用三角形面積公式解答即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)反比例函數(shù)為，
把點(diǎn)代入得，，
∴反比例函數(shù)為，
把點(diǎn)，點(diǎn)代入，得
，，
∴，，
∴點(diǎn)，點(diǎn)，
設(shè)一次函數(shù)解析式，
把點(diǎn)，點(diǎn)代入得
，
解得，
∴一次函數(shù)解析式；
【小問(wèn)2詳解】
∵一次函數(shù)解析式，
∴
把點(diǎn)代入，得，
∴，
∴點(diǎn)，
∵軸，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
把代入得，
∴
∴，
∴
22. 根據(jù)以下素材，完成探索任務(wù)．
【答案】任務(wù)一：斜坡的坡比；任務(wù)二：米
【解析】
【分析】本題考查的是解直角三角形坡度坡角問(wèn)題及相似三角形判定與性質(zhì)，矩形判定與性質(zhì)，任務(wù)一：根據(jù)勾股定理求出第三邊進(jìn)而求出坡度；任務(wù)二：作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)R，通過(guò)解直角三角形結(jié)合矩形判定與性質(zhì)求出相關(guān)線段長(zhǎng)度，再證明，根據(jù)性質(zhì)求出結(jié)論即可．
【詳解】解：任務(wù)一：如圖①，
由題意得：在中，為25米，斜坡長(zhǎng)為65米，
（米），
斜坡的坡比；
任務(wù)二：如圖③，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)R，
則四邊形為矩形，四邊形為矩形，
米，
米，
，為米，
，
解得：米，
米，
米，米，
，
，
，
，
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
米．
23. 如圖，在中，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)、分別作，，與相交于點(diǎn)，連接．
（1）求證：；
（2）連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．如果，求證：．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形和矩形的判定方法．
（1）先證四邊形是平行四邊形，得出從而證出四邊形是矩形，即可證明結(jié)論；
（2）設(shè)，算出，證明，求出 ，進(jìn)而證出結(jié)論；
【小問(wèn)1詳解】
證明：，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
又，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，
，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是矩形，
；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖，

四邊形是平行四邊形，
，
設(shè)，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
．
24. 新定義：已知拋物線（其中），我們把拋物線稱(chēng)為的“輪換拋物線”．例如：拋物線的“輪換拋物線”為．
已知拋物線：的“輪換拋物線”為，拋物線、與軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，拋物線的頂點(diǎn)為．
（1）如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，求拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線相交于點(diǎn)，如果四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，重點(diǎn)考查二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形性質(zhì)及相似三角形性質(zhì)，
（1）將點(diǎn)代入表達(dá)式，求出m的值，根據(jù)“輪換拋物線”定義寫(xiě)出即可；
（2）根據(jù)輪換拋物線定義得出拋物線表達(dá)式及點(diǎn)E、F坐標(biāo)，并求出P、Q坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出列方程并解出m值，進(jìn)而解決問(wèn)題；
（3）先求，結(jié)合求出的點(diǎn)P、E、F坐標(biāo)得出及，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出關(guān)于m的方程，解方程即可解決．
【小問(wèn)1詳解】
解：拋物線：與軸交于點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)，代入，得，
，
拋物線表達(dá)式為，
拋物線的“輪換拋物線”為表達(dá)式為；
【小問(wèn)2詳解】
解：拋物線：，
當(dāng)時(shí)，，即與y軸交點(diǎn)為，
拋物線：的“輪換拋物線”為，
拋物線表達(dá)式為，
同理拋物線與y軸交點(diǎn)為，
拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線，
當(dāng)時(shí)，，
拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線交點(diǎn)，
點(diǎn)在點(diǎn)的上方，
，
解得：，
，
四邊形為平行四邊形，
，即，
解得：，
；
【小問(wèn)3詳解】
解：點(diǎn)在拋物線上，
當(dāng)時(shí)，，即，
點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，
，，
，
，
，
，
解得：．
25. 在梯形中，，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，連接、相交于點(diǎn)，．
（1）如圖①，如果，點(diǎn)、分別在邊、上．求證：；
（2）如圖②，如果，，，．在射線的下方，以為直徑作半圓，半圓與的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)．設(shè)與弧的交點(diǎn)為．
①當(dāng)時(shí)，求和的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）①；；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得，，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出，進(jìn)而可得，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；
（2）①同（1）證明，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，得出，，解直角三角形，分別求得，，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)；
②根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)題意可設(shè)，，則，得出，設(shè)，則，則，在中，得出，根據(jù)得出，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵梯形中，，，
∴，，，
又∵，
∴
∴，
∴；
小問(wèn)2詳解】
解：∵，
∵，則
∴
∴
∵
∴
又∵
∴，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
∵，
∴，則，，
∵
∴
∵
∴
又∵
∴，
在中，
∴
∴，
∵為直徑
∴
∴，
∴，，則，
∵
∴
∴
②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵
∴
∵
∴
設(shè)，，則
∵，則
設(shè)，則
∴
∵
∴
設(shè)，則，
∴，
在中，
∴
又∵
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．探究斜坡上兩車(chē)之間距離
素材1
圖①是某高架入口的橫斷面示意圖．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面離地面的距離為25米，斜坡長(zhǎng)為65米．
素材2
如圖②，矩形為一輛大巴車(chē)的側(cè)面示意圖，長(zhǎng)為10米，長(zhǎng)為米．如圖③，該大巴車(chē)遇堵車(chē)后停在素材1中的斜坡上，矩形的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與指示路牌底端點(diǎn)之間的距離為米，且．小張駕駛一輛小轎車(chē)跟隨大巴車(chē)行駛，小張的眼睛到斜坡的距離為1米．
問(wèn)題解決
任務(wù)一
如圖①，求斜坡的坡比．
任務(wù)二
如圖③，當(dāng)小張正好可以看到整個(gè)指示路牌（即、、在同一條直線上）時(shí)，試求小張距大巴車(chē)尾的距離．
探究斜坡上兩車(chē)之間距離
素材1
圖①是某高架入口的橫斷面示意圖．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面離地面的距離為25米，斜坡長(zhǎng)為65米．
素材2
如圖②，矩形為一輛大巴車(chē)的側(cè)面示意圖，長(zhǎng)為10米，長(zhǎng)為米．如圖③，該大巴車(chē)遇堵車(chē)后停在素材1中的斜坡上，矩形的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與指示路牌底端點(diǎn)之間的距離為米，且．小張駕駛一輛小轎車(chē)跟隨大巴車(chē)行駛，小張的眼睛到斜坡的距離為1米．
問(wèn)題解決
任務(wù)一
如圖①，求斜坡的坡比．
任務(wù)二
如圖③，當(dāng)小張正好可以看到整個(gè)指示路牌（即、、在同一條直線上）時(shí)，試求小張距大巴車(chē)尾的距離．

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