19.4綜合與實(shí)踐 多邊形的鑲嵌 教學(xué)目標(biāo) 1. 知識與技能： （1）通過探索平面圖形的鑲嵌，使學(xué)生了解平面圖形鑲嵌的概念，了解任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面圖形，并能運(yùn)用這幾種圖形進(jìn)行簡單的平面圖形鑲嵌設(shè)計(jì)； （2）培養(yǎng)學(xué)生觀察、動手操作能力。 2. 過程與方法： 引導(dǎo)學(xué)生在圖形鑲嵌和拼圖解題的過程中，通過觀察、判斷、歸納、總結(jié)并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去解決一些實(shí)際問題，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。 3. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀： （1）讓學(xué)生進(jìn)一步體會平面圖形在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用； （2）開發(fā)、培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力、創(chuàng)新意識和團(tuán)結(jié)協(xié)作精神； （3）讓學(xué)生在活動中感受數(shù)學(xué)的美，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的審美情趣。 教材分析 “平面圖形的鑲嵌”是第19章四邊形后面的課題學(xué)習(xí),要求學(xué)生對多邊形內(nèi)角和其及圖形的變換有較深的認(rèn)識,會利用圖形的變換進(jìn)行平面圖形的鑲嵌設(shè)計(jì),是第19章四邊形的拓展與引申. 教學(xué)重點(diǎn) 探索多邊形鑲嵌的條件的過程以及多邊形鑲嵌的條件。 教學(xué)難點(diǎn) 尋找多邊形鑲嵌的條件,并如何運(yùn)用鑲嵌的條件解決問題。 教學(xué)過程 一、欣賞圖案，引入課題概念 1、用多媒體展示一組美麗的平面圖形鑲嵌的圖案，讓學(xué)生欣賞(如圖1). 提問學(xué)生這些圖案有什么共同特征？讓同學(xué)們分組討論、交流. 共同特征：①這些圖案是用一種或幾種形狀相同的圖形組成的; ②這些圖形不但是形狀相同，而且大小也一樣,也就是全等的圖形; ③這些圖形與圖形之間沒有縫隙，也沒有重疊。 2、引入本課課題及“多邊形的鑲嵌”的概念 歸納:這些圖案是“用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此間不留空隙、不重疊地鋪成一片”，這就是數(shù)學(xué)上“平面圖形的鑲嵌”，又稱做“平面圖形的密鋪”。這節(jié)課，我們一起來進(jìn)行課題學(xué)習(xí)“多邊形的鑲嵌”。 多媒體投影本課課題及“多邊形的鑲嵌”的概念: 用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這叫做平面圖形的鑲嵌，或平面圖形的密鋪. 3、 讓學(xué)生舉出一些生活中身邊的鑲嵌圖案 在我們生活中，有許多圖案是“平面圖形的鑲嵌”。不知同學(xué)們是否曾留意過身邊的一些鑲嵌圖案？你能舉出你身邊的鑲嵌圖案嗎？讓同學(xué)們議論. 如:家里的地板圖案,,人行道上地磚鋪成的圖案,一些房間里墻紙上的花紋圖案, …… 二、合作探究 探究一 僅用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面區(qū)域？ 1、用正三角形、正方形、正六邊形硬紙片模擬鋪地面磚 近年來，隨著社會經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，人民生活水平的不斷提高，往房條件越來越好.用室內(nèi)裝飾的事例導(dǎo)入。 請兩位同學(xué)在黑板上分別用正方形、正六邊形硬紙片和雙面膠拼接圖形,彼此間不留空隙、不重疊地鋪成一片（如圖2）,其他同學(xué)分組同步拼接, 老師在一旁指導(dǎo). 我們常見到正方形、正六邊形的鋪地材料，為什么用這種形狀能鋪成平整、無空隙的地板呢？ 讓學(xué)生想一想下列問題, 分組討論、交流, 探索多邊形鑲嵌的條件 （1）觀察圖3, 全等的正六邊形能密鋪.正六邊形的每個內(nèi)角是多少度? 在一個頂點(diǎn)處的三個正六邊形,分別有一個內(nèi)角,它們彼此相鄰,這三個內(nèi)角的和是多少度?正三角形、正方形呢? 讓學(xué)生討論得出: 因?yàn)檎呅蔚拿恳粋€內(nèi)角是1200，在每一個頂點(diǎn)處有3個正六邊形, 分別有一個內(nèi)角,它們彼此相鄰,這三個內(nèi)角的和是360°。 如圖4,正三角形、正方形密鋪也滿足以拼接點(diǎn)為頂點(diǎn)的各角之和為360o。 （2）從第① 題看出,如果一種平面圖形能密鋪,那么這種圖形的若干個內(nèi)角的和是多少度? 讓學(xué)生討論得出: 如果一種平面圖形能密鋪,那么這種圖形的若干個內(nèi)角的和是360°. （3）正五邊形的每個內(nèi)角是多少度?它的若干個內(nèi)角的和能等于360o嗎?想一想,全等的正五邊形能密鋪嗎? 讓學(xué)生討論得出: 不能。因?yàn)檎暹呅蔚拿恳粋€內(nèi)角是1080，不存在正整數(shù)，使成立，所以只用正五邊形不能進(jìn)行密鋪。(如圖5) 由上得出多邊形鑲嵌的條件: 以拼接點(diǎn)為頂點(diǎn)的各角之和為360度 探究（二） 用兩種正多邊形鑲嵌，哪些能鑲嵌成一個平面區(qū)域? 1、我們知道，任意四邊形的內(nèi)角和為度，全等的四邊形對應(yīng)邊相等，根據(jù)這個道理，把一批形狀、大小完全相同（即全等），但不規(guī)則的四邊形邊用來鋪地板，按照圖6那樣拼接四邊形，就可以不留空隙，鋪成一大片（演示圖6拼法）。 2、讓學(xué)生用彩色紙剪成一些全等的不規(guī)則的四邊形，然后模擬鋪地板（模擬招標(biāo)選用技術(shù)好的工程隊(duì)施工的事例，培養(yǎng)學(xué)生的競爭意識、實(shí)踐應(yīng)用能力和交往協(xié)作能力）。 用膠水貼在硬紙板上，要求顏色相間、邊與邊稍留縫隙，做到平整、美觀,在規(guī)定時間內(nèi)，貼一塊計(jì)一分，不平整（有空隙或重疊）非不規(guī)則四邊形不計(jì)分，不美觀適當(dāng)扣分，事后評選出小組一、二、三名. 3、請將兩個大小和形狀完全相同的四邊形剪開，然后拼成一個平行四邊形.（提示后學(xué)生動手剪拼） 由于所給的兩個四邊形的對應(yīng)邊相等，四個內(nèi)角的和剛好為360°，這就有可能拼成一個平行四邊形，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可以如圖7所示將分得的 探究（三）僅用同一種形狀、大小完全相同的多邊形能進(jìn)行平面鑲嵌嗎？ 上面我們討論的一般三角形和四邊形都可以平面鑲嵌，因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°它們的內(nèi)角和是整數(shù)倍都是360°，那么其它的一般多邊形能進(jìn)行鑲嵌嗎？ 例如：在五邊形中，內(nèi)角和540°，已經(jīng)超過360°，即每一個內(nèi)角拼接在一起時有重疊部分，不符合平面鑲嵌的含義。當(dāng)邊數(shù)越大時，內(nèi)角和也越大，更不符合要求，因此邊數(shù)大于4的一般多邊形不可以平面鑲嵌。 三、課堂小節(jié),鞏固鑲嵌知識 提問學(xué)生：想一想，學(xué)習(xí)了這節(jié)課后，你了解了哪些知識？明白了哪些道理？有什么感受和收獲？ … … 四、課后作業(yè) 1. 動手操作：用一些全等的三角形邊腳余料，鋪成無空隙的地板. 2. 用紙剪一些邊長相同的正八邊形和正方形,鋪在桌面上,能否密鋪? 3. 我們常見到如圖9那樣圖案的地面，它們分別是全用正方形和全用正六邊形形狀的材料鋪成的，這樣形狀的材料能鋪成平整、無空隙的地面.現(xiàn)在，問： 像上面那樣鋪地面，能否全用正五邊形的材料，為什么？ 你能不能另外想出一個用一種多邊形（不一定是正多邊形）的材料鋪地的方案？把你想到的方案畫成草圖. 請你再畫出一個用兩種不同的正多邊形材料鋪地的草圖. （安徽中考題） 教學(xué)反思 1、在動手操作中導(dǎo)入新課 課的導(dǎo)入設(shè)計(jì)得妙，就能使學(xué)生引起“疑”.疑則思，就能激發(fā)學(xué)生的求知欲望、學(xué)習(xí)興趣和愉悅的學(xué)習(xí)情感.如“三角形的內(nèi)切圓”導(dǎo)入：我先把一些三角形邊腳余料（全等的不等邊三角形紙片）發(fā)給每個同學(xué)，要求裁下一塊圓形的用料，即在上面畫一個面積盡可能大的圓，然后剪下這個圓，比較哪位同學(xué)的圓最大，怎樣才能使圓的面積最大而導(dǎo)入新課.這樣通過學(xué)生動手操作，可以集中學(xué)生的注意力，啟發(fā)他們的學(xué)習(xí)動機(jī)，使學(xué)生聽課能抓住重點(diǎn)，產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望. 2、在動手操作中講授新課 讓學(xué)生動手操作，把抽象的理論直觀化，這不僅能豐富學(xué)生的感性認(rèn)識，而且能使學(xué)生在觀察、動手操作的過程中，加深對理論的理解. 例如在講“等腰三角形的性質(zhì)”時，我就讓學(xué)生都在紙上用尺規(guī)畫一個等腰三角形.先用量角器量兩底角的大小，比較得出：等腰三角形兩底角相等，再請大家用剪刀剪下這個三角形然后對折，同樣發(fā)現(xiàn)：等腰三角形兩底角相等，最后通過折疊后的折痕的提示，啟發(fā)學(xué)生證明這個結(jié)論. 又如在講“三角形三條邊的關(guān)系”時，我要求學(xué)生課前準(zhǔn)備好長度分別為15cm、22cm、10cm、10cm、10cm的五根木條，從中任取三根首尾順次相接，拼湊成三角形，并對下列問題相互展開討論：（1）任意的三根木條是否能拼成一個三角形？（2）哪樣的三根木條能拼成一個三角形？哪樣的不能？（3）各個三角形的3條邊邊長之間有什么特點(diǎn)？（4）各三角形中任意兩邊的長度和與第3邊的長度之間有何關(guān)系？ 這樣，通過學(xué)生的實(shí)踐活動，讓他們展開討論、探索發(fā)現(xiàn)，得出結(jié)論，自己去獲取知識，是培養(yǎng)學(xué)生能力，開發(fā)學(xué)生智力的主渠道，也是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的重要途徑. 3. 在動手操作中復(fù)習(xí)鞏固和應(yīng)用 數(shù)學(xué)實(shí)踐，不僅有利于學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識，提高分析問題、解決問題的能力，而且能培養(yǎng)教學(xué)應(yīng)用意識和應(yīng)用能力、創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力，如“平面圖形的鑲嵌”中的實(shí)踐活動不僅復(fù)習(xí)鞏固了四邊形、多邊形的內(nèi)角和，平行四邊形和等邊三角形的判定等數(shù)學(xué)知識，還從模擬鋪地板的分組競賽中培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識和協(xié)作能力，培養(yǎng)了競爭意識和進(jìn)行美育教育.從剪拼平行四邊形和割拼證題中培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力. 這樣，讓學(xué)生動手操作，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，熟練掌握所學(xué)數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐能力. 教學(xué)實(shí)踐證明，在課程標(biāo)準(zhǔn)允許的范圍內(nèi)，要大量滲透數(shù)學(xué)實(shí)踐的材料，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力，這也是在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中實(shí)施素質(zhì)教育的重要手段.為此，精心設(shè)計(jì)好一堂課的動手材料最為關(guān)鍵，教學(xué)中讓學(xué)生動手操作，對活躍課堂氣氛，啟迪學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生能力，提高教學(xué)質(zhì)量有著十分重要的作用.

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19.4 綜合與實(shí)踐 多邊形的鑲嵌

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