二、【教學流程】
三、【板書設計】
四、【教后反思】
教
學
目
標
知識
目標
1.理解根系關系的推導過程.
2.掌握一元二次方程的根和系數(shù)的關系.
能力
目標
1.能不解方程求出一元二次方程的兩根和與兩根積 .
2.能靈活運用一元二次方程的根和系數(shù)的關系解決一些簡單的問題.
情感
目標
體會從特殊到一般，再有一般到特殊的推導思路
教學
重點
根與系數(shù)的關系的推導、運用．
教學
難點
正確歸納、理解、運用根與系數(shù)的關系．
教學環(huán)節(jié)
教學問題設計
師生活動
二次備課
情
景
創(chuàng)
設
前2天悄悄地聽到咱班的鄭帥和董沐青的一段對話，內容如下：
鄭：我說董沐青，我有一個秘密，你想聽嗎？
董：什么秘密？
鄭：你知道咱們可愛的張老師年齡到底有多大嗎？
董：哦？
鄭：呵呵，這絕對是個秘密，我不能直接告訴你，我這么說吧：她的年齡啊是方程x2 – 12x +35 =0的兩根的積，回去你把兩根求出來就知道了.
董：咳，你難不住我，我不用求根就已經(jīng)知道答案了，而且我還告訴你，張老師的年齡啊還是方程x2 -35x -200=0的兩根的和呢.
師：同學們，你們想知道董沐青不解方程，是怎么求出張老師年齡的嗎？
老師創(chuàng)設一段情景對話，調動學生學習興趣.
引導學生完成下面探究.
自
主
探
究
【探究1】
解下列方程，并填寫表格：
方 程
+
-3 x+2=0
-2x-3=0
-5 x+4=0
觀察上面的表格，你能得到什么結論？
若x1、x2為方程關于x的方程的兩個根，結合上表，說明x1+x2與x1·x2與p，q有何關系？請你寫出關系式
方 程
+
【探究2】
關于x的方程的兩根x1+x2與x1·x2與系數(shù)a，b，c之間又有何關系呢？你能證明你的猜想嗎？
引導學生利用求根公式給出證明。
證明：當△＞0時，由求根根式得： ，
∴
通過學生計算一些特殊的一元二次方程的兩根之和與兩根之積，啟發(fā)學生從中發(fā)現(xiàn)存在的一般規(guī)律，滲透特殊到一般的思考方法。
學生通過計算、猜想、交流、總結出根與系數(shù)的關系：
， .
可以先將方程轉化為二次項系數(shù)為1的一元二次方程，再利用上面的結論來研究，即：
∵
∴
∴，.
從理論上加以驗證，讓學生經(jīng)歷從特殊到一般的科學探究過程。
嘗
試
應
用
用法一：直接運用根與系數(shù)關系
例1：不解方程，求下列方程的兩根和與兩根積.
x2 – 6x – 15=0
3x2 +7x – 9=0
5x –1 =4x2
用法二：求關于兩根的對稱式或代數(shù)式的值
例2：若一元二次方程2+ 4x –3=0的兩根是、，求下列各式的值：
（1）+
（2）+
直接應用新知是學生的模仿階段，也是本課教學最基本的知識目標.

學生先獨立求解，再讓小組交流，然后學生代表展示.比較不同解法，引導學生談談有什么啟示？
補
償
提
高
用法三：構造新方程
例3.求一個一元二次方程，使它的兩個根是2和3，且二次項系數(shù)為1.
變式：且二次項系數(shù)為5.
用法四：求方程中的待定系數(shù)
例4.方程+ px –q=0 的兩根同為正數(shù)，求p、q的取值范圍.
變式:方程m-2mx +m–1=0 有一個正根，一個負根，求m的取值范圍.

進一步鞏固根與系數(shù)的關系，體會“整體代入”思想在解題中的運用，可起到簡便運算的作用.
對內容的升華理解認識
小
結
1、這節(jié)課我們學習了什么知識？有何作用？
2、運用本節(jié)課所學知識解決問題時要注意些什么？
3、這節(jié)課我們學到了解決數(shù)學哪些方法？運用了哪些數(shù)學思想？
學生獨立思考，師生梳理本課的知識點及方法
1．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____．
2．如果方程x2+px+q=0（p、q為已知常數(shù)，p2－4ｑ≥0）的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；
以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1） .
注意：根與系數(shù)的關系使用的前提條件____________________.
作
業(yè)
必做：
教科書課后練習.
2.教科書習題21.2第7題.
選作：
1.已知兩個數(shù)的和等于8，積等于9，求這兩個數(shù)？
2.若一元二次方程+ax+2=0的兩根滿足：+=12，求a的值.
教師布置作業(yè)，并提出要求.
學生課下獨立完成，延續(xù)課堂.
考察學生靈活運用知識解決問題能力，讓學生感受到根與系數(shù)的關系在解題中的運用，同時也考察學生思維的嚴密性.
一元二次方程的根與系數(shù)的關系
對于的方程，若，兩根為，.
那么，.
2、根與系數(shù)關系使用的前提是：
（1）是一元二次方程，即.
（2）方程為一般形式。即形如：.
（3）判別式大于等于零，即.
本節(jié)課通過情景對話，調動學生學習興趣，激發(fā)起學生的好奇心和求知欲，在此推動下，引領學生展開探究活動，并將探究根與系數(shù)的關系時分兩個層次（即將二次項系數(shù)為1和非1的一元二次方程分兩次出現(xiàn)）.
收獲：
1. 一元二次方程根與系數(shù)的關系的推導是在求根公式的基礎上進行。它深化了兩根的和與積同系數(shù)之間的關系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為進一步使用打下基礎.
2．以一元二次方程根與系數(shù)的關系的探索與推導，向學生展示認識事物的一般規(guī)律，提倡積極思維，勇于探索的精神，借此鍛煉學生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力.
3.使學生體會解題方法的多樣性，開闊解題思路，優(yōu)化解題方法，增強擇優(yōu)能力。力求讓學生在自主探索和合作交流的過程中進行學習，獲得數(shù)學活動經(jīng)驗.
不足：
學生對于利用根與系數(shù)的關系來解決一些有關一元二次方程的問題還不夠熟練，思路不清， 兩根和、兩根積有小部分同學有些混淆.

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17.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關系

版本： 滬科版

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