你是否注意到每個(gè)方程中的兩根之間的關(guān)系？?jī)筛停▁1 + x2）、兩根之積（x1x2）與該方程的各項(xiàng)系數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？填寫(xiě)下表，然后觀察根與系數(shù)的關(guān)系：
猜想：方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的根如果是 x1、x2，那么 x1+x2 =_____，x1x2 =_____.
我們知道，一元二次方 ax2+ bx + c = 0 （a ≠ 0）的兩根為
當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為 1 時(shí)，它的標(biāo)準(zhǔn)形式為 x2 + px + q = 0. 設(shè)它的兩個(gè)根為 x1，x2，這時(shí)韋達(dá)定理應(yīng)是：x1 + x2 = –p，x1x2 = q.
不解方程，求下列方程兩根的和與積.
x2 – 3x = 15； 5x2 – 1 = 4x2 + x
解：x1 + x2 = 3 x1x2 = –15
解：化簡(jiǎn)得 x2 – x – 1 = 0 x1 + x2 = 1 x1x2 = –1
例 1 已知關(guān)于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 的一個(gè)根是 –4，求它的另一個(gè)根及 k 的值.
解 設(shè)方程的另一個(gè)根是 x2，則
解 將 x = –4 代入方程，得
2×（ –4 ）2 +（ –4 ）k – 4 = 0.
例 2 方程 2x2 – 3x + 1 = 0 的兩個(gè)根記作x1，x2，不解方程，求 x1 – x2 的值.
（x1 – x2）2 =（x1 + x2）2 – 4x1x2
引申：若 ax2 ? bx ? c ? 0（a ? 0 ? ? 0）（1）若兩根互為相反數(shù)，則 b ? 0；（2）若兩根互為倒數(shù)，則 a ? c；（3）若一根為 0，則 c ? 0；（4）若一根為 1，則 a ? b ? c ? 0；（5）若一根為 ?1，則 a ? b ? c ? 0；（6）若 a、c 異號(hào)，方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
1. 關(guān)于 x 的方程 x2 + px + q = 0 的根為 x1 = 1+ ，x2 = 1 – ，則 p = ，q= . 2. 已知方程 5x2 + kx – 6 = 0 的一根是 2，則另一根是 ， k＝ .
3. 求下列方程的兩根 x1，x2 的和與積： （1）x2 – 3x + 2 = 0； （2）x2 + x = 5x + 6
解：x1 + x2 = 3 x1x2 = 2
解：化簡(jiǎn)得 x2 – 4x – 6 = 0 x1 + x2 = 4 x1x2 = – 6
4. x1，x2 是方程 x2 – 5x – 7 = 0 的兩根，不解方程求下列各式的值： （1） ；（2） .
解：∵ x1，x2 是方程 x2 – 5x – 7 = 0 的兩根. 則 x1 + x2 = 5，x1x2 = – 7 .
5. 已知關(guān)于 x 的方程 x2 –（2m + 3）x + m2 = 0 的兩根之和等于兩根之積，求 m 的值.
解：設(shè)方程 x2 – （2m + 3）x + m2 = 0 的兩根為 x1，x2. ∴ x1 + x2 = 2m + 3，x1x2 = m2. 根據(jù)題意得 m2 = 2m +3，解得 m1= 3，m2 = – 1. 當(dāng) m = 3 時(shí)，原方程為 x2 – 9x + 9 = 0，b2 – 4ac = 45 > 0. 方程有實(shí)數(shù)根. 當(dāng) m = –1 時(shí)，原方程為 x2 – x + 1 = 0，b2 – 4ac = – 3 < 0. 方程無(wú)實(shí)數(shù)根，此 m 值舍去. ∴ m 的值為 3.

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初中數(shù)學(xué)滬科版八年級(jí)下冊(cè)電子課本

17.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

版本： 滬科版

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