1. 幾個重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，則 (當且僅當“”時取“”).
特例：同號）.
（3）其他變形：
①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)
②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)
③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)
④重要不等式串：即
調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).
2. 均值定理
已知.
（1）如果(定值)，則(當且僅當“”時取“=”).即“和為定值，積有最大值”.
（2）如果(定值)，則(當且僅當“”時取“=”).即積為定值，和有最小值”.
【典型例題】
例1．（2022·江蘇·高三專題練習）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·全國·高三專題練習（文））若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·全國·高三專題練習）已知a，b，c均為正數(shù)，且abc＝4(a＋b)，則a＋b＋c的最小值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
例4．（2022·全國·高三專題練習）若，，，則的取值范圍是（ ）
A．，B．C．，D．
例5．（2021·山西大同·高三階段練習（理））已知點在直線上，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．4
例6．（2021·四川·樂山市教育科學(xué)研究所一模（文））已知，，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例7．（2021·貴州遵義·高三階段練習（文））已知a，b為正實數(shù)，且滿足，則的最小值為（ ）
A．2B．C．4D．
例8．（2021·重慶·西南大學(xué)附中高三階段練習）已知，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
例9．（2021·江西·高三階段練習（理））已知、，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數(shù)在時取得最小值，則等于（ ）
A．6B．8C．16D．36
2．（2021·黑龍江·大慶實驗中學(xué)高三階段練習（文））三國時期趙爽所制的弦圖由四個全等的直角三角形構(gòu)成，該圖可用來解釋下列哪個不等式（ ）
A．如果，那么；
B．如果，那么；
C．對任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立；
D．如果，，那么．
3．（2020·廣東·普寧市第二中學(xué)高三階段練習）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值為（ ）
A．3B．2C．1D．-1
5．（2022·全國·高三專題練習）若，則有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
6．（2022·浙江·高三專題練習）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．﹣8≤m≤1B．m≤﹣8或m≥1C．﹣1≤m≤8D．m≤﹣1或m≥8
7．（2022·全國·高三專題練習）已知非負數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A．3B．4C．10D．16
8．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)均為正實數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．8B．16C．9D．6
9．（2022·全國·高三專題練習）若正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全國·高三專題練習）若對滿足的任意正數(shù)及任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
12．（2022·江蘇·高三專題練習）已知，，且，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
13．（2022·浙江·高三專題練習）若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是________（填序號）.
①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.
14．（2022·全國·高三專題練習）若，則的最大值是 _______
15．（2022·全國·高三專題練習）若正數(shù)滿足，則的最大值是________．
16．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)（且）的圖象恒過定點A，若點A在直線上，其中，，則mn的最大值為___________.
17．（2022·全國·高三專題練習）當時，的最小值為______．
18．（2022·全國·高三專題練習）已知，，且滿足，則的最小值為_________
19．（2022·全國·高三專題練習）已知，，且，則的最小值為______．
20．（2022·全國·高三專題練習）已知，且，則的最小值為___________.
21．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）若，則的最小值為____________．
22．（2022·全國·高三專題練習）已知，則的最小值是________．
23．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)，，為正實數(shù)，滿足，則的最小值是__________．
24．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域是_______．
25．（2021·四川·成都七中一模（文））已知實數(shù)滿足，則的最大值為___________.
26．（2020·遼寧·開原市第二高級中學(xué)三模）如圖，將一矩形花壇擴建成一個更大的矩形花壇，要求點在上，點在上，且對角線過點，已知，，那么當_______時，矩形花壇的面積最小，最小面積為______.
第13講 基本不等式
【知識點總結(jié)】
1. 幾個重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，則 (當且僅當“”時取“”).
特例：同號）.
（3）其他變形：
①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)
②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)
③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)
④重要不等式串：即
調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).
2. 均值定理
已知.
（1）如果(定值)，則(當且僅當“”時取“=”).即“和為定值，積有最大值”.
（2）如果(定值)，則(當且僅當“”時取“=”).即積為定值，和有最小值”.
【典型例題】
例1．（2022·江蘇·高三專題練習）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】
設(shè)，可得圓的半徑為，
又由，
在直角中，可得，
因為，所以，當且僅當時取等號．
故選：D.
例2．（2022·全國·高三專題練習（文））若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
解：，
又，
，令，
則，
，即，當且僅當時，取等號，
的取值范圍是，．
故選：A．
例3．（2022·全國·高三專題練習）已知a，b，c均為正數(shù)，且abc＝4(a＋b)，則a＋b＋c的最小值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【詳解】
由a，b，c均為正數(shù)，abc＝4(a＋b)，得c＝，
代入得a＋b＋c＝a＋b＋＝＋≥2＋2＝8，
當且僅當a＝b＝2時，等號成立，
所以a＋b＋c的最小值為8.
故選：D
例4．（2022·全國·高三專題練習）若，，，則的取值范圍是（ ）
A．，B．C．，D．
【答案】A
【詳解】
因為，
所以，
即，當且僅當，即時取“”，
所以的取值范圍是，.
故選：A.
例5．（2021·山西大同·高三階段練習（理））已知點在直線上，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】C
【詳解】
∵點在直線上，
∴，
所以
當且僅當時，等號成立
故選：C.
例6．（2021·四川·樂山市教育科學(xué)研究所一模（文））已知，，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
由題可知，乘“”得，當且僅當時，取等號，則的最小值為.
故選：A
例7．（2021·貴州遵義·高三階段練習（文））已知a，b為正實數(shù)，且滿足，則的最小值為（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【詳解】
由，可得，
，
當且僅當且，即時等號成立．
故選：C．
例8．（2021·重慶·西南大學(xué)附中高三階段練習）已知，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【詳解】
解：因為，所以，
即，則，
所以，又，所以，所以最大為3.
故選：C.
例9．（2021·江西·高三階段練習（理））已知、，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
因為、，由已知可得，
因為，當且僅當時等號成立，
故實數(shù)的取值范圍為，
故選：D．
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數(shù)在時取得最小值，則等于（ ）
A．6B．8C．16D．36
【答案】D
【分析】
利用基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可
【詳解】
因為，故，當且僅當，即時取等號，故
故選：D
【點睛】
均值不等式：
一正：，二定：為定值，三相等：當且僅當時等號成立
2．（2021·黑龍江·大慶實驗中學(xué)高三階段練習（文））三國時期趙爽所制的弦圖由四個全等的直角三角形構(gòu)成，該圖可用來解釋下列哪個不等式（ ）
A．如果，那么；
B．如果，那么；
C．對任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立；
D．如果，，那么．
【答案】C
【分析】
設(shè)圖中直角三角形的直角邊長分別為，則斜邊長為，進而可表示出陰影面積以及外圍正方形的面積，由圖可得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)圖中全等的直角三角形的直角邊長分別為，則斜邊長為.
圖中四個直角三角形的面積和為，外圍正方形的面積為.
由圖可知，四個直角三角形的面積之和不超過外圍正方形的面積，所以，當且僅當時，等號成立.
故選：C.
3．（2020·廣東·普寧市第二中學(xué)高三階段練習）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
應(yīng)用特殊值法，即可判斷A、B、D的正誤，作差法有，即可確定C的正誤.
【詳解】
A：當時，有，故不等式不一定成立；
B：當，即時，有，故不等式不一定成立；
C：恒成立；
D：當時，有，故不等式不一定成立；
故選：C
4．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值為（ ）
A．3B．2C．1D．-1
【答案】D
【分析】
將函數(shù)的解析式進行變形，再利用基本不等式，即可得答案；
【詳解】
，
當且僅當,即等號成立.
故選：D.
【點睛】
本題考查基本不等式求最值，考查運算求解能力，求解時注意等號成立的條件.
5．（2022·全國·高三專題練習）若，則有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
【答案】D
【分析】
構(gòu)造基本不等式即可得結(jié)果.
【詳解】
∵，∴，
∴，
當且僅當，即時，等號成立，即有最小值2.
故選：D.
【點睛】
本題主要考查通過構(gòu)造基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.
6．（2022·浙江·高三專題練習）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．﹣8≤m≤1B．m≤﹣8或m≥1C．﹣1≤m≤8D．m≤﹣1或m≥8
【答案】A
【分析】
由題意可得（x+2y）（）4≥4+28，不等式m2+7m成立?m2+7m＜（）min，即可求得實數(shù)m的取值范圍．
【詳解】
解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，
∴（x+2y）（）4≥4+28．（當，即x＝2y時取等號），
∵不等式m2+7m成立，
∴m2+7m≤8，
求得﹣8≤m≤1．
故選：A．
7．（2022·全國·高三專題練習）已知非負數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A．3B．4C．10D．16
【答案】B
【分析】
根據(jù)基本不等式，結(jié)合“1”的妙用即可得解.
【詳解】
由，可得，
當且僅當取等號，
故選：B
8．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)均為正實數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．8B．16C．9D．6
【答案】A
【分析】
根據(jù)題中條件，將所求式子化為，展開后，再利用基本不等式，即可得出結(jié)果.
【詳解】
因為均為正實數(shù)，
所以，當且僅當，即時取等號.
因此的最小值為.
故選：A.
【點睛】
易錯點睛：
利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.
9．（2022·全國·高三專題練習）若正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
將已知條件化簡得到，然后將變換成，然后化簡整理結(jié)合均值不等式求解即可.
【詳解】
由，有，所以，
則，
當且僅當，即時，等號成立.
故選：D.
10．（2022·全國·高三專題練習）若對滿足的任意正數(shù)及任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問題，利用判別式求得實數(shù)的取值范圍即可.
【詳解】
∵正數(shù)滿足，
∴，，
當且僅當，即，時，等號成立，
∴，即對任意實數(shù)恒成立，
∴，解得．
故選：A．
【點睛】
在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．
11．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由得，再利用基本等式“1”的代換進行求解.
【詳解】
由得，
，
當且僅當，即時取等號，
故選：D.
【點睛】
在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．
二、多選題
12．（2022·江蘇·高三專題練習）已知，，且，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】
利用基本不等式逐一判斷四個選項的正誤即可得正確答案.
【詳解】
對于選項A：，所以，當且僅當時等號成立，故選項A正確；
對于選項B：，因為，所以，所以，當且僅當時等號成立，故選項B不正確；
對于選項C：，故選項C正確；
對于選項D：因為，所以，，當且僅當時等號成立，故選項D正確；
故選：ACD
三、填空題
13．（2022·浙江·高三專題練習）若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是________（填序號）.
①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.
【答案】④
【分析】
結(jié)合基本不等式進行逐個判定，①③直接利用基本不等式可判定正誤，②④通過變形可得正誤.
【詳解】
因為（當且僅當a＝b時，等號成立），
即≤2，ab≤4，，故①③不成立；
，故②不成立；
故④成立.
故答案為：④.
14．（2022·全國·高三專題練習）若，則的最大值是 _______
【答案】
【分析】
即可求得最值.
【詳解】
，故，則，
當且僅當即時取“=”，
故答案為：.
15．（2022·全國·高三專題練習）若正數(shù)滿足，則的最大值是________．
【答案】2
【分析】
利用基本不等式進行轉(zhuǎn)化即可得解.
【詳解】
由，得 ，
當且僅當時等號成立，
∴ ，即，
∴ 的最大值為．
故答案為：2
16．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)（且）的圖象恒過定點A，若點A在直線上，其中，，則mn的最大值為___________.
【答案】
【分析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)求出A點坐標，代入直線方程，利用均值不等式即可求解.
【詳解】
解：函數(shù)（且）的圖象恒過定點A，
，
點A在直線上，
，
又，，
，
，當且僅當，即時等號成立，
所以mn的最大值為，
故答案為：.
17．（2022·全國·高三專題練習）當時，的最小值為______．
【答案】
【分析】
將所求代數(shù)式變形為，利用基本不等式即可求解.
【詳解】
因為，所以，
所以，
當且僅當即時等號成立，
所以的最小值為，
故答案為：.
18．（2022·全國·高三專題練習）已知，，且滿足，則的最小值為_________
【答案】
【分析】
將展開利用基本不等式即可求解.
【詳解】
因為，
所以
，
當且僅當即時等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
19．（2022·全國·高三專題練習）已知，，且，則的最小值為______．
【答案】18
【分析】
等式變形為，則根據(jù)基本不等式即可得到答案．
【詳解】
解：已知，，且．
，即：．
則，
當且僅當，時取等號，
所以的最小值為18．
故答案為：18．
20．（2022·全國·高三專題練習）已知，且，則的最小值為___________.
【答案】
【分析】
首先根據(jù)題意得到，再利用基本不等式求解即可.
【詳解】
由得，
所以，
當且僅當，即，時取等號.
故答案為：
21．（2022·上海·高三專題練習）若，則的最小值為____________．
【答案】
【分析】
兩次利用基本不等式即可求出.
【詳解】
，
，
當且僅當且，即時等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
22．（2022·全國·高三專題練習）已知，則的最小值是________．
【答案】
【分析】
將函數(shù)的解析式變形為，然后利用基本不等式可求得該函數(shù)的最小值.
【詳解】
當時，，，
當且僅當，即當時，等號成立，
因此，函數(shù)的最小值為.
故答案為：.
【點睛】
本題考查利用基本不等式求解函數(shù)的最小值，解答的關(guān)鍵就是對函數(shù)解析式進行化簡變形，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
23．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)，，為正實數(shù)，滿足，則的最小值是__________．
【答案】8
【詳解】
解：由題意可得： ，則：
，
當且僅當 時等號成立，即：的最小值是8.
點睛：應(yīng)用基本不等式要有兩個防范意識：一是在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．對于公式a＋b≥2，，要弄清它們的作用、使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個公式也體現(xiàn)了ab和a＋b的轉(zhuǎn)化關(guān)系．二是在利用不等式求最值時，一定要盡量避免多次使用基本不等式．若必須多次使用，則一定要保證它們等號成立的條件一致.
24．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域是_______．
【答案】
【分析】
將函數(shù)進行化簡，得到，分別對和，利用基本不等式，得到答案.
【詳解】
函數(shù)
，
當，由基本不等式得，
當且僅當，即時，等號成立，
當時，由基本不等式得，
當且僅當，即時，等號成立，
所以函數(shù)的值域為，
故答案為.
【點睛】
本題考查求具體函數(shù)的值域，屬于簡單題.
25．（2021·四川·成都七中一模（文））已知實數(shù)滿足，則的最大值為___________.
【答案】
【分析】
利用基本不等式，即可求解.
【詳解】
解：
，
即，(當且僅當，即時，取等號)
故答案為：
26．（2020·遼寧·開原市第二高級中學(xué)三模）如圖，將一矩形花壇擴建成一個更大的矩形花壇，要求點在上，點在上，且對角線過點，已知，，那么當_______時，矩形花壇的面積最小，最小面積為______.
【答案】4 48
【分析】
設(shè)，則，則，結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】
解：設(shè)，則，則，
則，
當且僅當，即時等號成立，故矩形花壇的面積最小值為．
即當時，矩形花壇的面積最小，最小面積為48.
故答案為：4；48.

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