一、證明不等式常用的方法和思路
作差構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題
二、不等式恒成立問題常用的方法和思路
(1)直接法
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
三、零點(diǎn)問題常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
【典型例題】
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，曲線在處切線的傾斜角的正切值為．
（1）求的值；
（2）證明：．
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的函數(shù)
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)時，
例3．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若對任意的都有成立，求c的取值范圍.
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
（2）若，且在上的最小值為0，求的取值范圍.
例5．（2021·北京市第八中學(xué)怡海分校高三階段練習(xí)）已知函數(shù)（）
（1）求在處的切線方程；
（2）當(dāng)有3個零點(diǎn)時，求的取值范圍．
例6．（2021·黑龍江·牡丹江市第三高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù).
（1）若，求曲線在處切線的方程；
（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.
例7．（2020·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知，函數(shù).
（1）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處的切線互相垂直, 求的值；
（2）設(shè),若對任意的,且,都有，求的取值范圍．
【技能提升訓(xùn)練】
1．（2021·西藏·拉薩中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)在處的極值為2，其中．
（1）求，的值；
（2）對任意的，證明恒有．
2．（2021·新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，，曲線與曲線在處的切線互相平行．
（1）求的值；
（2）求證：在上恒成立．
3．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若且，求證：.
4．（2021·全國·高三階段練習(xí)（文））已知，．
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）若，證明：．
5．（2021·寧夏·青銅峽市高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)（a是常數(shù)）.
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）若，求a的取值范圍；
6．（2021·福建·莆田第二十五中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)在與處都取得極值．
（1）求，的值；
（2）若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
7．（2021·全國·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時，證明：時，當(dāng)恒成立.
8．（2019·山西省平遙中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））已知.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
9．（2021·陜西禮泉·高三開學(xué)考試（文））已知函數(shù)在處取得極值.
（1）求在上的最小值；
（2）若函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，求b的取值范圍.
10．（2021·安徽安慶·一模（理））函數(shù).
（1）討論函數(shù)的極值；
（2）當(dāng)時，求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).
11．（2019·山東日照·高三期中（理））已知函數(shù)．
(1)證明：當(dāng)恒成立；
(2)若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
12．（2020·江西·南昌市第三中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，曲線與曲線在處的切線互相垂直，記.
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若方程有兩個不相等實(shí)根，求的取值范圍；
（3）討論函數(shù)的單調(diào)性.
13．（2020·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)在點(diǎn) 處的切線方程為.
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若過點(diǎn)可做曲線 的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
14．（2021·陜西·西安一中高三期中（文））已知函數(shù).
（1）若在上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）記的兩個極值點(diǎn)為，，求證：.
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））證明ex≥x＋1≥sinx＋1(x≥0)．
16．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
17．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)（是正常數(shù)）.
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）若，，求的取值范圍；
18．（2021·福建省龍巖第一中學(xué)高三期中）已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.
（1）求，的值；
（2）當(dāng)時，證明：對恒成立.
第11講 導(dǎo)數(shù)綜合問題：證明不等式、恒成立問題、零點(diǎn)問題
【知識點(diǎn)總結(jié)】
一、證明不等式常用的方法和思路
作差構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題
二、不等式恒成立問題常用的方法和思路
(1)直接法
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
三、零點(diǎn)問題常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
【典型例題】
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，曲線在處切線的傾斜角的正切值為．
（1）求的值；
（2）證明：．
【詳解】
解：（1）因?yàn)?，所以?br>，解得．
（2）由（1）可得
即證．
令，，于是在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以（取等號）．
又令，則，于是在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以（時取等號）．
所以，即．
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的函數(shù)
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)時，
【詳解】
（1）由得
知當(dāng)時在上單調(diào)遞減
當(dāng)時，
當(dāng)時在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時在上單調(diào)遞減.
（2）由（1）知時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即有，
，
以上各式相加得，
例3．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若對任意的都有成立，求c的取值范圍.
【詳解】
（1）因?yàn)?，所以?
令，解得或，
當(dāng)，即或；當(dāng)，即，.
故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，.
所以，時，有極大值，.
當(dāng)時，有極小值.
（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.
又，，.
所以時，，.
因?yàn)閷θ我獾亩加谐闪?，所?
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
（2）若，且在上的最小值為0，求的取值范圍.
【詳解】
解：（1）當(dāng)時，，
∴，，
∴切線方程為，
即
（2）∵，
∴原條件等價于：在上，恒成立.
化為
令，
則
令，則
在上，，
∴在上，
故在上，；在上，
∴的最小值為，∴
例5．（2021·北京市第八中學(xué)怡海分校高三階段練習(xí)）已知函數(shù)（）
（1）求在處的切線方程；
（2）當(dāng)有3個零點(diǎn)時，求的取值范圍．
【詳解】
（1），切點(diǎn)為.
，，
所以切線方程為：.
（2），
令，解得，.
，，為增函數(shù)，
，，為減函數(shù)，
，，為增函數(shù)，
所以的極大值為，極小值為.
因?yàn)橛袀€零點(diǎn)時，所以，解得.
例6．（2021·黑龍江·牡丹江市第三高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù).
（1）若，求曲線在處切線的方程；
（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.
【詳解】
（1）由已知，
，
曲線在處切線方程為，即.
（2）.
①當(dāng)時，由于，故，
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.
②當(dāng)時，由，得.
在區(qū)間上，，在區(qū)間上，
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（3）由已知，轉(zhuǎn)化為，
由（2）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋什环项}意.
(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故的極大值即為最大值，，
所以，
解得.
例7．（2020·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知，函數(shù).
（1）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處的切線互相垂直, 求的值；
（2）設(shè),若對任意的,且,都有，求的取值范圍．
【詳解】
（1）,依題意有
,且,可得,解得,或.
（2）.不妨設(shè),
等價于.設(shè),則對任意的,且,
都有,等價于在上是增函數(shù).
,可得,依題意有, 對任意,
有恒成立. 由,可得.
【技能提升訓(xùn)練】
1．（2021·西藏·拉薩中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)在處的極值為2，其中．
（1）求，的值；
（2）對任意的，證明恒有．
【答案】（1）；（2）證明見詳解.
【分析】
（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合極值存在條件即可求解.
（2）由于，要證不等式成立，轉(zhuǎn)化為求解在時的最值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)即可求解.
【詳解】
（1），
由題意可得，
解得.
（2），
令，，
則，
令，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞減且，
所以時，，
所以，即證.
2．（2021·新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，，曲線與曲線在處的切線互相平行．
（1）求的值；
（2）求證：在上恒成立．
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【分析】
（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；
（2）轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)，可證．
【詳解】
解：（1）因?yàn)椋?br>所以，，
由題意得，
所以，解得；
證明（2），
令，，
則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，取得最小值，
所以，
故，
所以．
3．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若且，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則恒成立，分離參變量，利用基本不等式得出最值，可得實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）要證，即證：，構(gòu)造，，分別利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性和最值，即可得原命題成立．
【詳解】
（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，又在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
則恒成立，即恒成立，即，
又當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（2）∵，則，要證，
即證：，
設(shè)，其中，則，當(dāng)時，
故在為增函數(shù)，∴，
設(shè)，其中，
則當(dāng)時，，又，∴，
則，∴恒成立，即原不等式成立.
4．（2021·全國·高三階段練習(xí)（文））已知，．
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）若，證明：．
【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）證明見解析.
【分析】
（Ⅰ）分，進(jìn)行討論，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求解；
（Ⅱ）由結(jié)合（Ⅰ）可得，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得證．
【詳解】
（Ⅰ）由題可知，．
當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，令，解得．
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．
綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）證明：若，則由（Ⅰ）可知，在處取得極大值，
．
令．，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減．
又，，
．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（Ⅱ）問的關(guān)鍵點(diǎn)是：通過構(gòu)造函數(shù)證得.
5．（2021·寧夏·青銅峽市高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)（a是常數(shù)）.
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）若，求a的取值范圍；
【答案】
（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極小值是，無極大值
（2）
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（2）參變分離可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得解；
（1）
解：當(dāng)時，，定義域?yàn)椋?br>，
令，解得，令，解得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極小值是，無極大值.
（2）
解：因?yàn)?，?
設(shè)，可得，
當(dāng)時，當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，即.
6．（2021·福建·莆田第二十五中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)在與處都取得極值．
（1）求，的值；
（2）若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）對求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)列方程組求參數(shù)即可.
（2）由（1）有，進(jìn)而判斷的單調(diào)性并確定最值，結(jié)合不等式恒成立求參數(shù)范圍.
【詳解】
（1）由題設(shè)，，又，，解得，．
（2）由，知，即，
當(dāng)時，，隨的變化情況如下表：
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時，為極大值，又，則為在上的最大值，
要使對任意恒成立，則只需，解得或，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．
7．（2021·全國·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時，證明：時，當(dāng)恒成立.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）證明見解析.
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性即可.
（2）由分析法：只需證即可，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論得證.
【詳解】
（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時，，
∴，，
∴當(dāng)或時，，在，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，， 在單調(diào)遞增.
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，.
（2）要證，只需證，
∵，，
∴，
設(shè)，則，
∴在單調(diào)遞增，，
∴，得證.
8．（2019·山西省平遙中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））已知.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；（2）.
【分析】
（1）求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)存在性問題轉(zhuǎn)化為求，結(jié)合函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
【詳解】
解：（1）∵，∴
∴.
則當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，，
∴的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.
（2）若存在使成立，則，
由（1）可知.
∴.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．
9．（2021·陜西禮泉·高三開學(xué)考試（文））已知函數(shù)在處取得極值.
（1）求在上的最小值；
（2）若函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，求b的取值范圍.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，即可求出函數(shù)解析式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的最小值；
（2）依題意有唯一解，即函數(shù)與只有1個交點(diǎn)，由（1）可得函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出參數(shù)的取值范圍；
（1）
解：因?yàn)?，所以?br>在處取得極值，，即解得，
，所以，所以當(dāng)或時，當(dāng)時，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，
在上的最小值為.
（2）
解：由（1）知，，
若函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，
則方程有唯一解，即有唯一解，
由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，函數(shù)圖象如下所示：
或，得或，
即b的取值范圍為.
10．（2021·安徽安慶·一模（理））函數(shù).
（1）討論函數(shù)的極值；
（2）當(dāng)時，求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.
【分析】
（1）求得，分和兩種情況，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，即可求解；
（2）由（1）得到當(dāng)時，的單調(diào)性和極小值，結(jié)合與的關(guān)系，三種情況討論，即可求解.
【詳解】
（1）由題意，函數(shù)，可得，
當(dāng)時，，在上為單調(diào)增函數(shù)，此時無極值；
當(dāng)時，令，解得，
所以在上為單調(diào)增函數(shù)，
令，解得，在上為單調(diào)減函數(shù)，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，無極大值.
綜上所述：
當(dāng)時，無極值，
當(dāng)時，，無極大值.
（2）由（1）知當(dāng)時，在上為單調(diào)增函數(shù)，在上為單調(diào)減函數(shù)，且，
又由，若時，；
若時，；
當(dāng)，即時，無零點(diǎn)；
當(dāng)，即時，有1個零點(diǎn)；
當(dāng)，即時，有2個零點(diǎn).
綜上：當(dāng)時，無零點(diǎn)；
當(dāng)時，有1個零點(diǎn)；
當(dāng)時，有2個零點(diǎn).
11．（2019·山東日照·高三期中（理））已知函數(shù)．
(1)證明：當(dāng)恒成立；
(2)若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）見解析；（2）或
【分析】
（1）令，要證在上恒成立，只需證，；
（2）函數(shù)，定義域?yàn)?，．對a分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，以確定圖象與x軸的交點(diǎn)情況.
【詳解】
（1）證明：令，
要證在上恒成立，
只需證，，
因?yàn)椋?br>所以.
令，
則，
因?yàn)?，所以?br>所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以在上單調(diào)遞增，
所以，，
故在上恒成立.
（2）函數(shù)，定義域?yàn)椋?br>．
①當(dāng)時，無零點(diǎn).
②當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
取，則，（或：因?yàn)榍視r，所以．）
因?yàn)椋?，此時函數(shù)有一個零點(diǎn)．
③當(dāng)時，令，解得．
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．
所以 .
若，即時，
取，，即函數(shù)在區(qū)間上存在一個零點(diǎn)；
當(dāng)時，因?yàn)?，所以?br>則有，，必然存在 ，使得，即函數(shù)在區(qū)間存在一個零點(diǎn)；
故當(dāng)時，函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，不符合題意.……11分
所以當(dāng)時，要使函數(shù)有一個零點(diǎn)，必有，
即．
綜上所述，若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，則或.
【點(diǎn)睛】
已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
12．（2020·江西·南昌市第三中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，曲線與曲線在處的切線互相垂直，記.
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若方程有兩個不相等實(shí)根，求的取值范圍；
（3）討論函數(shù)的單調(diào)性.
【答案】（1）1；（2）；（3）在上單調(diào)遞減.
【分析】
（1）求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)即可求解.
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得的值域，從而可得，
（3）求出，再求導(dǎo)函數(shù)，判斷的符號即可求解.
【詳解】
（1），，
由題意得，，即，∴
（2）由，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時 ，有最小值，
又時，；時，，
函數(shù)的大致圖像，如圖：
若方程有兩個不相等實(shí)根，則有.
（3）由（1）可知，，，
，，
易知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以
即恒成立，所以在上單調(diào)遞減.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、方程的根，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的值域、單調(diào)性，作出函數(shù)的大致圖像，考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想.
13．（2020·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)在點(diǎn) 處的切線方程為.
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若過點(diǎn)可做曲線 的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)切線方程可知和，由此構(gòu)造方程組求得；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為與有三個不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可得到的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.
【詳解】
（1）由切線方程知：，，又，
，解得：.
（2）由（1）知：，則，
，不在上，
又，可知切點(diǎn)橫坐標(biāo)不為，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，
則切線斜率，整理得：，
過可作三條不同的切線，有三個不為的解；
令，則，
當(dāng)和時，；
當(dāng)時，，
在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由此可得圖象如下圖所示：
有三個不為的解等價于與有三個不同的交點(diǎn)，
由圖象可知：，
實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到根據(jù)切線方程求解函數(shù)解析式、根據(jù)過某一點(diǎn)曲線切線的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題；關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)問題，從而利用數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.
14．（2021·陜西·西安一中高三期中（文））已知函數(shù).
（1）若在上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）記的兩個極值點(diǎn)為，，求證：.
【答案】
（1）；
（2）證明見解析.
【分析】
（1）對求導(dǎo)得，由題設(shè)將問題轉(zhuǎn)化為()恒成立，即可求a的取值范圍；
（2）由（1）有，是的兩個根，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系易得，，進(jìn)而可得，即可證結(jié)論.
（1）
的定義域?yàn)?，，又單調(diào)，
∴對恒成立，即()恒成立，
而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
∴.
（2）
由（1）知：，是的兩個根，則，，且，
∴，故，
，而，
∴，得證.
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））證明ex≥x＋1≥sinx＋1(x≥0)．
【答案】證明見解析
【分析】
構(gòu)造f(x)＝ex－x－1(x≥0)，利用導(dǎo)數(shù)判斷f(x)的單調(diào)性，求得最小值，即可得證；構(gòu)造g(x)＝x－sinx(x≥0)，利用導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的單調(diào)性，求得最小值，即可得證；
【詳解】
證明：令f(x)＝ex－x－1(x≥0)，則f′(x)＝ex－1≥0，
∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴對任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，
∴f(x)≥0，即ex≥x＋1，
令g(x)＝x－sinx(x≥0)，則g′(x)＝1－csx≥0，
∴g(x)≥g(0)，而g(0)=0，
∴x－sinx≥0，
∴x＋1≥sinx＋1(x≥0)，
綜上，ex≥x＋1≥sinx＋1．
16．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】.
【分析】
對函數(shù)求導(dǎo)得，利用給定單調(diào)性列出恒成立的不等式即可推理作答.
【詳解】
定義域?yàn)椋?br>由得，
因函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
于是得在恒成立，
即在恒成立，
而，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，則，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
17．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)（是正常數(shù)）.
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）若，，求的取值范圍；
【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值是，無極小值；（2）.
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）依題意可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得解；
【詳解】
解：（1）當(dāng)時，，定義域?yàn)?，，令，解得，令，解得，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值是，無極小值.
（2）因?yàn)?，，即恒成立，?
設(shè)，可得，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.
18．（2021·福建省龍巖第一中學(xué)高三期中）已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.
（1）求，的值；
（2）當(dāng)時，證明：對恒成立.
【答案】（1），；（2）證明見解析.
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先由求出的值，再由求出的值，
（2）要證對恒成立，只需證對恒成立，所以構(gòu)造函數(shù)（），然后利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值小于零即可
【詳解】
（1）解：因?yàn)椋?br>所以，
解得，
則，解得.
（2）證明：因?yàn)?，所以要證對恒成立，
只需證對恒成立.
設(shè)函數(shù)（），
則.
因?yàn)?，所以?br>所以在上單調(diào)遞減，
從而，
則對恒成立，
故當(dāng)時，對恒成立.
1
+
0
-
0
+
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增

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