一、函數(shù)的零點(diǎn)
對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).
二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系
方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).
三、零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
對(duì)于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.
五、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟
（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度.
（2）求區(qū)間的中點(diǎn).
（3）計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）.若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）
（4）判斷是否達(dá)到精確度，即若，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.
六、已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
【典型例題】
例1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，2)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
例2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個(gè)零點(diǎn)是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)為（ ）
A．0或B．0C．D．0或
例3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)為（ ）
A．B．，0C．D．0
例4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)一定位于下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)（ ）
A．B．C．D．
例5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．（－∞，－1）D．（－∞，－1）∪
例6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示：
那么函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)近似值（精確度為0.1）為（ ）
A．0.45B．0.57C．0.78D．0.89
例8．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在藥物代謝動(dòng)力學(xué)中，注射藥物后瞬時(shí)藥物濃度（單位：）與時(shí)間（單位：）的關(guān)系式為，其中為時(shí)的藥物濃度，為常數(shù).已知給某患者注射某劑量為的藥物后，測(cè)得不同時(shí)間藥物濃度如下：
則該藥物的的值大約為（ ）
A．0.287B．0.312C．0.323D．0.356
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)是（ ）
A．0，2B．0，C．0，D．2，
2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））函數(shù)的零點(diǎn)是（ ）
A．(-1，0)B．x=0C．-1D．1
3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)為（ ）
A．B．，0C．D．0
4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)之和為（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知函數(shù)的圖象是連續(xù)的曲線(xiàn)，且部分對(duì)應(yīng)值表如下：
則方程必存在有根的一個(gè)區(qū)間是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）用二分法求方程的近似解時(shí)，可以取的一個(gè)區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知函數(shù)，則下列區(qū)間中，的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間，上，則（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間（－1，1）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．（2，＋∞）D．（0，2）
15．（2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間和區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
16．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)()的一個(gè)零點(diǎn)附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表:
由二分法,方程的近似解(精確度0.05)可能是（ ）
A．0.625B．-0.009C．0.5625D．0.066
18．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）某學(xué)校開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，某同學(xué)獲得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：
對(duì)于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線(xiàn)，其中擬合程度最好的是（ ）
A．B．C．D．
19．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度x（單位：）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）.若該食品在0 的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22 的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33 的保鮮時(shí)間是（ ）
A．16小時(shí)B．20小時(shí)C．24小時(shí)D．28小時(shí)
20．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“百日沖刺”是各個(gè)學(xué)校針對(duì)高三學(xué)生進(jìn)行的高考前的激情教育，它能在短時(shí)間內(nèi)最大限度激發(fā)一個(gè)人的潛能，使成績(jī)?cè)谠瓉?lái)的基礎(chǔ)上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人滿(mǎn)意的成績(jī)，特別對(duì)于成績(jī)?cè)谥械绕碌膶W(xué)生來(lái)講，其增加分?jǐn)?shù)的空間尤其大．現(xiàn)有某班主任老師根據(jù)歷年成績(jī)?cè)谥械绕碌膶W(xué)生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績(jī)變化，構(gòu)造了一個(gè)經(jīng)過(guò)時(shí)間（單位：天），增加總分?jǐn)?shù)（單位：分）的函數(shù)模型：，為增分轉(zhuǎn)化系數(shù)，為“百日沖刺”前的最后一次?？伎偡?，且．現(xiàn)有某學(xué)生在高考前天的最后一次?？伎偡譃榉?，依據(jù)此模型估計(jì)此學(xué)生在高考中可能取得的總分約為（ ）（）
A．分B．分C．分D．分
21．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）為了研究疫情有關(guān)指標(biāo)的變化，現(xiàn)有學(xué)者給出了如下的模型：假定初始時(shí)刻的病例數(shù)為N0，平均每個(gè)病人可傳染給K個(gè)人，平均每個(gè)病人可以直接傳染給其他人的時(shí)間為L(zhǎng)天，在L天之內(nèi)，病例數(shù)目的增長(zhǎng)隨時(shí)間t(單位：天)的關(guān)系式為N(t)=N0(1+K)t，若N0=2，K=2.4，則利用此模型預(yù)測(cè)第5天的病例數(shù)大約為（ ）(參考數(shù)據(jù)：lg1.4454≈18，lg2.4454≈7，lg3.4454≈5)
A．260B．580C．910D．1200
二、多選題
22．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列區(qū)間中含零點(diǎn)的是（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m可以是（ ）
A．B．0C．1D．2
三、填空題
24．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上，則k的值為_(kāi)__________.
25．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)有四個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是___________．
26．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝，若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________.
27．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)f（x）=（x-2）2-lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．
28．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代有一則家喻戶(hù)曉的神話(huà)故事——后羿射日，在《淮南子?本經(jīng)訓(xùn)》和《山海經(jīng)?海內(nèi)經(jīng)》都有一定記載.如果被射下來(lái)的九個(gè)太陽(yáng)中有一個(gè)距離地球約3500光年，如果將“3500光年”的單位“光年”換算成以”米”為單位，所得結(jié)果的數(shù)量級(jí)是___________（光年是指光在宇宙真空中沿直線(xiàn)經(jīng)過(guò)一年時(shí)間的距離，光速；通常情況下，數(shù)量級(jí)是指一系列10的冪，例如數(shù)字的數(shù)量級(jí)是3）.
29．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來(lái)描述：設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t(單位：min)后的溫度是T，則T－Ta＝，其中Ta稱(chēng)為環(huán)境溫度，h稱(chēng)為半衰期，現(xiàn)有一杯用85℃熱水沖的速溶咖啡，放在21℃的房間中，如果咖啡降到37℃需要16min，那么這杯咖啡要從37℃降到29℃，還需要________ min．
x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6321
0.2776
0.0897
1.0
2.0
109.78
80.35
1
2
3
4
5
1.4
3.5
5.4
－5.5
－6.7
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099
第08講 函數(shù)的應(yīng)用
【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】
一、函數(shù)的零點(diǎn)
對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).
二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系
方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).
三、零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
對(duì)于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.
五、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟
（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度.
（2）求區(qū)間的中點(diǎn).
（3）計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）.若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）
（4）判斷是否達(dá)到精確度，即若，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.
六、已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
【典型例題】
例1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，2)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x，y＝x3在R上均為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在R上為增函數(shù)，
又f(0)＜0，f（2）＞0，故函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，2)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．
故選：A.
例2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個(gè)零點(diǎn)是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)為（ ）
A．0或B．0C．D．0或
【答案】A
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ax＋b有一個(gè)零點(diǎn)是2，
所以b＝－2a，
所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．
令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－．
故選：A
例3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)為（ ）
A．B．，0C．D．0
【答案】D
【詳解】
函數(shù)
當(dāng)時(shí)，
令，解得
當(dāng)時(shí)，
令，解得（舍去）
綜上函數(shù)的零點(diǎn)為0.
故選：D.
例4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)一定位于下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】
解：解不等式得或，
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)椋?
，，，，
所以，
所以根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理得在區(qū)間上必有零點(diǎn)，
所以函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間內(nèi).
故選：C
例5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．（－∞，－1）D．（－∞，－1）∪
【答案】D
【詳解】
當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝1與x軸無(wú)交點(diǎn)，不合題意，所以a≠0；
函數(shù)f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，
所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，
解得a＜－1或a＞.
故選：D.
例6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，
所以與圖像只有一個(gè)交點(diǎn).
對(duì)于，求導(dǎo)得.令，得或.
所以當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極大值，當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值.
作與的圖像如下圖所示.
由圖可知，當(dāng)與圖像只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，或，即或.
故選:D
例7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示：
那么函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)近似值（精確度為0.1）為（ ）
A．0.45B．0.57C．0.78D．0.89
【答案】B
【詳解】
根據(jù)給的數(shù)據(jù)知道方程的根在區(qū)間內(nèi)，所以近似解為0.57
故選：B
例8．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在藥物代謝動(dòng)力學(xué)中，注射藥物后瞬時(shí)藥物濃度（單位：）與時(shí)間（單位：）的關(guān)系式為，其中為時(shí)的藥物濃度，為常數(shù).已知給某患者注射某劑量為的藥物后，測(cè)得不同時(shí)間藥物濃度如下：
則該藥物的的值大約為（ ）
A．0.287B．0.312C．0.323D．0.356
【答案】B
【詳解】
由題得，，
兩式相除得，所以.
故選：B.
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)是（ ）
A．0，2B．0，C．0，D．2，
【答案】C
【分析】
轉(zhuǎn)化條件為，解方程即可得解.
【詳解】
函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴，
∴，
令，則
所以函數(shù)的零點(diǎn)是0和．
故選：C.
2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））函數(shù)的零點(diǎn)是（ ）
A．(-1，0)B．x=0C．-1D．1
【答案】C
【分析】
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，令，即可求解.
【詳解】
由題意，函數(shù)，令，即，解得，
即函數(shù)的零點(diǎn)為.
故選：C.
3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)為（ ）
A．B．，0C．D．0
【答案】D
【分析】
函數(shù)的零點(diǎn)，即令分段求解即可.
【詳解】
函數(shù)
當(dāng)時(shí)，
令，解得
當(dāng)時(shí)，
令，解得（舍去）
綜上函數(shù)的零點(diǎn)為0
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查分段函數(shù)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.
4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)之和為（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
【答案】A
【分析】
根據(jù)分段函數(shù)解析式，分別求得零點(diǎn)，結(jié)合對(duì)數(shù)式運(yùn)算即可求得零點(diǎn)之和.
【詳解】
函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，設(shè)其零點(diǎn)為，則滿(mǎn)足，解得；
當(dāng)時(shí)，，設(shè)其零點(diǎn)為，則滿(mǎn)足，解得；
所以零點(diǎn)之和為
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了分段函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)的定義，對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
在同一坐標(biāo)系中，作出指數(shù)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)存在零點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合法求解.
【詳解】
如圖所示：
指數(shù)函數(shù)，沒(méi)有零點(diǎn)，
有唯一的零點(diǎn)，
所以若函數(shù)存在零點(diǎn)，
須有零點(diǎn)，即，
所以，
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.
6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】
由解出或，根據(jù)解析式分別求出當(dāng)和時(shí)的值，即可判斷實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).
【詳解】
做出圖像如下：
或，
①若時(shí)，
⑴當(dāng)，或，符合題意；
⑵當(dāng)，，符合題意；
②若,
綜上：共有3個(gè)實(shí)數(shù)根．
故選：B．
7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】
轉(zhuǎn)化是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為是函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫(huà)出函數(shù)圖像，利用圖像判斷即可
【詳解】
因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則是函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示，
則當(dāng)時(shí)，在下方，即；
當(dāng)時(shí)，在上方，即，
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想
8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知函數(shù)的圖象是連續(xù)的曲線(xiàn)，且部分對(duì)應(yīng)值表如下：
則方程必存在有根的一個(gè)區(qū)間是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理即可求解.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是連續(xù)的曲線(xiàn)，
且，，
所以，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)必定存在零點(diǎn)位于區(qū)間，
故方程必存在有根的一個(gè)區(qū)間是，
故選：C.
9．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）用二分法求方程的近似解時(shí)，可以取的一個(gè)區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
構(gòu)造函數(shù)并判斷其單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理即可得解.
【詳解】
，
令，在上單調(diào)遞增，并且圖象連續(xù)，，，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，
所以可以取的一個(gè)區(qū)間是.
故選：B
10．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知函數(shù)，則下列區(qū)間中，的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
計(jì)算，得出，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得選項(xiàng).
【詳解】
由函數(shù)，所以，
所以，所以函數(shù)所在零點(diǎn)的區(qū)間為，
故選：C.
11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)零點(diǎn)存在定理得出，代入可得選項(xiàng).
【詳解】
由題可知：函數(shù)單調(diào)遞增，若 一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則需：，
即，解得，
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題考查零點(diǎn)存在定理，屬于基礎(chǔ)題.
12．（2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間，上，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用零點(diǎn)存在定理求得整數(shù)的值，進(jìn)而可求得的值.
【詳解】
易知函數(shù)單調(diào)遞減，又因?yàn)?，?br>由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則.
所以．
故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用零點(diǎn)存在定理求參數(shù)值，同時(shí)也考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
13．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，故代入?yún)^(qū)間端點(diǎn)逐個(gè)計(jì)算，左負(fù)右正即可.
【詳解】
因?yàn)?、為增函?shù)，
所以為增函數(shù)，
且，，，，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).
故選：B
14．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間（－1，1）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．（2，＋∞）D．（0，2）
【答案】B
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題意，列出不等式組，即可求得答案.
【詳解】
因?yàn)闉殚_(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，且對(duì)稱(chēng)軸為，在區(qū)間（－1，1）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以，即，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：B
15．（2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間和區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行列不等式方程組，進(jìn)而求解即可
【詳解】
函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)題意有，
，解得
故選：C
16．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
令（），則原方程等價(jià)于關(guān)于的一元二次方程在上有解，分離，利用基本不等式和不等式的性質(zhì)求值域即可.
【詳解】
解：令（），則原方程等價(jià)于在上有解.
則a＝﹣﹣4 ＝﹣（t+）﹣4，
因?yàn)?t+≥4，所以﹣﹣4≤﹣8．當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，即x＝時(shí)取等號(hào)．
所以a的范圍為（﹣∞，﹣8]．
故選：D.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：本題考查有關(guān)二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題，先換元轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解的問(wèn)題，然后再根據(jù)有解問(wèn)題進(jìn)行參變分離解題.
17．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)()的一個(gè)零點(diǎn)附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表:
由二分法,方程的近似解(精確度0.05)可能是（ ）
A．0.625B．-0.009C．0.5625D．0.066
【答案】C
【分析】
按照二分法的方法流程進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)的符號(hào)確定根所在的區(qū)間，當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度小于或等于0.05時(shí)，只需從該區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)即可．
【詳解】
在上單調(diào)遞增.
設(shè)近似值為，
由表格有，
所以
故選：C
【點(diǎn)睛】
本題考查了二分法求近似根的解法步驟，在解題時(shí)要注意先判斷該解區(qū)間是否單調(diào)，然后再進(jìn)行計(jì)算，此類(lèi)題計(jì)算量較大，要避免計(jì)算錯(cuò)誤．屬于基礎(chǔ)題.
18．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）某學(xué)校開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，某同學(xué)獲得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：
對(duì)于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線(xiàn)，其中擬合程度最好的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
作出散點(diǎn)圖，結(jié)合圖形可得出合適的函數(shù)模型.
【詳解】
在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這幾對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，觀(guān)察圖形的變化趨勢(shì)，
這幾個(gè)點(diǎn)在變化趨勢(shì)上是在第一象限單調(diào)遞增，
遞增的速度比較快，排除B、C兩個(gè)選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不符合A選項(xiàng)．
故選：D.
19．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度x（單位：）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）.若該食品在0 的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22 的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33 的保鮮時(shí)間是（ ）
A．16小時(shí)B．20小時(shí)C．24小時(shí)D．28小時(shí)
【答案】C
【分析】
根據(jù)食品在0 的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22 的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，求出k、b，然后再將x＝33代入即可得出答案.
【詳解】
解：由題意，得，即，
于是當(dāng)x＝33時(shí)，＝24(小時(shí)).
故選：C.
20．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“百日沖刺”是各個(gè)學(xué)校針對(duì)高三學(xué)生進(jìn)行的高考前的激情教育，它能在短時(shí)間內(nèi)最大限度激發(fā)一個(gè)人的潛能，使成績(jī)?cè)谠瓉?lái)的基礎(chǔ)上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人滿(mǎn)意的成績(jī)，特別對(duì)于成績(jī)?cè)谥械绕碌膶W(xué)生來(lái)講，其增加分?jǐn)?shù)的空間尤其大．現(xiàn)有某班主任老師根據(jù)歷年成績(jī)?cè)谥械绕碌膶W(xué)生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績(jī)變化，構(gòu)造了一個(gè)經(jīng)過(guò)時(shí)間（單位：天），增加總分?jǐn)?shù)（單位：分）的函數(shù)模型：，為增分轉(zhuǎn)化系數(shù)，為“百日沖刺”前的最后一次模考總分，且．現(xiàn)有某學(xué)生在高考前天的最后一次?？伎偡譃榉?，依據(jù)此模型估計(jì)此學(xué)生在高考中可能取得的總分約為（ ）（）
A．分B．分C．分D．分
【答案】B
【分析】
由可求得，將，，代入中，可求得增加分?jǐn)?shù)，由此可得結(jié)果.
【詳解】
由題意得：，；
，
該學(xué)生在高考中可能取得的總分約為分.
故選：B.
21．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）為了研究疫情有關(guān)指標(biāo)的變化，現(xiàn)有學(xué)者給出了如下的模型：假定初始時(shí)刻的病例數(shù)為N0，平均每個(gè)病人可傳染給K個(gè)人，平均每個(gè)病人可以直接傳染給其他人的時(shí)間為L(zhǎng)天，在L天之內(nèi)，病例數(shù)目的增長(zhǎng)隨時(shí)間t(單位：天)的關(guān)系式為N(t)=N0(1+K)t，若N0=2，K=2.4，則利用此模型預(yù)測(cè)第5天的病例數(shù)大約為（ ）(參考數(shù)據(jù)：lg1.4454≈18，lg2.4454≈7，lg3.4454≈5)
A．260B．580C．910D．1200
【答案】C
【分析】
首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)參考數(shù)據(jù)求解即可.
【詳解】
，
因?yàn)?，所以?br>所以.
故選：C
二、多選題
22．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列區(qū)間中含零點(diǎn)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】
計(jì)算出各端點(diǎn)處的函數(shù)值，若兩端一正一負(fù)即可判斷出存在零點(diǎn).
【詳解】
，，
，，
，
根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知和存在零點(diǎn).
故選：AD.
【點(diǎn)睛】
本題考查零點(diǎn)的存在性定理，屬于基礎(chǔ)題.
23．（2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m可以是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】ABC
【分析】
轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線(xiàn)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可得解.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，
所以函數(shù)的圖象與直線(xiàn)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，
畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖：
由圖可知，或，結(jié)合選項(xiàng)，因此可以為-1，0，1．
故選：ABC．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
三、填空題
24．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上，則k的值為_(kāi)__________.
【答案】3
【分析】
利用零點(diǎn)存在性定理即可得到答案.
【詳解】
易知函數(shù)在其定義域（1，+∞）上連續(xù)不斷，
而，，則函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間（3，4）上，故k=3.
故答案為：3.
25．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)有四個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是___________．
【答案】
【分析】
直線(xiàn)與曲線(xiàn)有四個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于方程有四個(gè)解，即直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，借助圖形求解即得.
【詳解】
直線(xiàn)與曲線(xiàn)有四個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于方程，即有四個(gè)解，
等價(jià)于直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出它們的圖象，如圖，
觀(guān)察圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)，
所以a的取值范圍是：.
故答案為：
26．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝，若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________.
【答案】(0，1)
【分析】
畫(huà)出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.
【詳解】
作出函數(shù)y＝f(x)與y＝k的圖象，如圖所示，
由圖可知k∈(0，1).
故答案為：
27．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)f（x）=（x-2）2-lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．
【答案】2
【分析】
令，得到，將等號(hào)左右兩邊看成兩個(gè)函數(shù)，在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出圖像，找到它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即得到的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)，的圖象，由函數(shù)圖象的交點(diǎn)可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．
故答案為2．
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題與交點(diǎn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于簡(jiǎn)單題.
28．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代有一則家喻戶(hù)曉的神話(huà)故事——后羿射日，在《淮南子?本經(jīng)訓(xùn)》和《山海經(jīng)?海內(nèi)經(jīng)》都有一定記載.如果被射下來(lái)的九個(gè)太陽(yáng)中有一個(gè)距離地球約3500光年，如果將“3500光年”的單位“光年”換算成以”米”為單位，所得結(jié)果的數(shù)量級(jí)是___________（光年是指光在宇宙真空中沿直線(xiàn)經(jīng)過(guò)一年時(shí)間的距離，光速；通常情況下，數(shù)量級(jí)是指一系列10的冪，例如數(shù)字的數(shù)量級(jí)是3）.
【答案】19
【分析】
根據(jù)題意得到距離地球約3500光年，一年走過(guò)的路程為，3500光年走過(guò)的路程為計(jì)算出結(jié)果即可.
【詳解】
根據(jù)題意得到距離地球約3500光年，一年有秒，光速，
一年走過(guò)的路程為
3500光年走過(guò)的路程為
數(shù)量級(jí)為19.
故答案為：19.
29．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來(lái)描述：設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t(單位：min)后的溫度是T，則T－Ta＝，其中Ta稱(chēng)為環(huán)境溫度，h稱(chēng)為半衰期，現(xiàn)有一杯用85℃熱水沖的速溶咖啡，放在21℃的房間中，如果咖啡降到37℃需要16min，那么這杯咖啡要從37℃降到29℃，還需要________ min．
【答案】16
【分析】
根據(jù)所給函數(shù)模型，由Ta＝21℃．令T0＝85℃，T＝37℃，求得，然后令T0＝37℃，T＝29℃，求得．
【詳解】
由題意知Ta＝21℃．令T0＝85℃，T＝37℃，得37－21＝，∴h＝8．
令T0＝37℃，T＝29℃，則29－21＝，∴t＝16．
故答案為：16．
x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6321
0.2776
0.0897
1.0
2.0
109.78
80.35
1
2
3
4
5
1.4
3.5
5.4
－5.5
－6.7
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099

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