一、指數(shù)的運算性質(zhì)
當a>0，b>0時，有
(1)aman=am+n(m,n?R)；(2)( m,n?R)
(3)(am)n=amn(m,n?R)；(4)(ab)m=ambm(m?R)；
(5)(p?Q)(6)(m,n?N+)
二、指數(shù)函數(shù)
(1)一般地，形如y=ax(a>0且a?1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)；
(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a?1)的圖像和性質(zhì)如表2-6所示.
三、對數(shù)概念
，叫做以為底的對數(shù).
注：①，負數(shù)和零沒有對數(shù)；
②；
③.
四、對數(shù)的運算性質(zhì)
特殊地
五、對數(shù)函數(shù)
（1）一般地，形如的函數(shù)叫對數(shù)函數(shù).
（2）對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，如表2-7所示.
六、冪函數(shù)的定義
一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).
注：判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)，關(guān)鍵是看其系數(shù)是否為1，底數(shù)是否為變量.
七、冪函數(shù)的圖像
冪函數(shù)的圖像一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四項縣內(nèi)，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖像如果與坐標軸相交，則交點一定是原點.
當時，在同一坐標系內(nèi)的函數(shù)圖像如圖所示.
八、冪函數(shù)的性質(zhì)
當時，冪函數(shù)在上是增函數(shù)，當時，函數(shù)圖像是向下凸的；當時，圖像是向上凸的，恒過點；當時，冪函數(shù)在上是減函數(shù).冪函數(shù)的圖像恒過點.
【典型例題】
例1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)則（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·全國·高三專題練習）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（ ）．
A．lg32B．C．lg23D．
例3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（且），其中a，b均為實數(shù).
（1）若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，求函數(shù)的解析式；
（2）如果函數(shù)的定義域和值域都是，求的值.
例4．（2022·全國·高三專題練習）（1）計算；
（2）若，求的值．
例5．（2022·全國·高三專題練習）化簡求值
（1）；
（2）；.
（3）；．
（4）.
例6．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù).
（1）判斷在其定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；
（2）解關(guān)于的不等式.
例7．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，
（1）當時，求的值域；
（2）若對，成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若對，，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．
例8．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在實數(shù)上的偶函數(shù)，且，當時，，函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）證明：對任意，都有；
（3）在同一坐標系中作出與的大致圖象并判斷其交點的個數(shù)．
【技能提升訓練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)和都是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·高三專題練習）化簡的結(jié)果為（ ）
A．－B．－
C．－D．－6ab
3．（2022·浙江·高三專題練習）已知，則（ ）
A．1B．2C．3D．15
4．（2022·全國·高三專題練習）若是指數(shù)函數(shù)，則有（ ）
A．或B．
C．D．且
5．（2022·全國·高三專題練習（文））已知，則（ ）
A．B．C．D．3
6．（2022·浙江·高三專題練習）函數(shù)，且a≠1)的圖象經(jīng)過點，則f(-2)= （ ）
A．B．C．D．9
7．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)＝，則此函數(shù)圖象上關(guān)于原點對稱的點有（ ）
A．0對B．1對
C．2對D．3對
8．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全國·高三專題練習）若滿足不等式，則函數(shù)的值域是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全國·高三專題練習）定義運算，若函數(shù)，則的值域是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的值域為（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·全國·高三專題練習）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：，.已知，則函數(shù)的值域為（ ）
A．B．，C．，，D．，0，
14．（2022·全國·高三專題練習）已知是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且函數(shù).若實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)（，且）在上最大值與最小值的差為2，則（ ）
A．或2B．2C．D．
16．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)2a＝5b＝m，且，則m等于（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）若，則x，y，z之間滿足（ ）
A．B．
C．D．
18．（2022·全國·高三專題練習）若，且，則的值可能為（ ）
A．B．C．7D．10
19．（2022·全國·高三專題練習（理））已知，則（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·全國·高三專題練習）已知，且，則（ ）
A．2B．4C．6D．9
21．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù) 為對數(shù)函數(shù)，則等于
A．3B．C．D．
22．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)對恒有意義，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
23．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
24．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為（ ）
A．B．
C．D．
25．（2022·全國·高三專題練習）下列各函數(shù)中，值域為的是（ ）
A．B．
C．D．
26．（2022·全國·高三專題練習）已知，，則的值域為（ ）
A．B．C．D．
27．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．(0，2]B．
C．[2，＋∞)D．∪[2，＋∞)
28．（2022·全國·高三專題練習）若冪函數(shù)f（x）的圖象過點（64，2），則f（x）＜f（x2）的解集為（ ）
A．（﹣∞，0）B．（0，1）
C．（1，+∞）D．（0，1）∪（1，+∞）
29．（2022·全國·高三專題練習）冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，則m的值為（ ）
A．﹣6B．1C．6D．1或﹣6
30．（2022·全國·高三專題練習（理））設(shè)，則使函數(shù)的定義域為，且該函數(shù)為奇函數(shù)的值為（ ）
A．或B．或C．或D．、或
31．（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數(shù)的圖象過函數(shù)的圖象所經(jīng)過的定點，則的值等于（ ）
A．B．C．2D．
32．（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(3，)，則f(x)（ ）
A．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)
B．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)
C．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)
D．是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)
33．（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數(shù)的圖象過點，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
34．（2021·全國·高一專題練習）如圖中的曲線C1，C2，C3，C4是指數(shù)函數(shù)的圖象，已知對應函數(shù)的底數(shù)的值可取為，，，，則相應于曲線C1，C2，C3，C4，依次為（）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
35．（2021·全國·）圖中曲線分別表示的圖像，，的關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
36．（2022·全國·高三專題練習）若直線與函數(shù)（，且）的圖象有兩個公共點，則的取值可以是（ ）
A．B．C．D．2
37．（2022·全國·高三專題練習）下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)
B．函數(shù)的值域是
C．若，則
D．函數(shù)的圖像必過定點
38．（2022·全國·高三專題練習（理））對函數(shù)判斷正確的是（ ）
A．增區(qū)間B．增區(qū)間C．值域D．值域
39．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有五個零點，則實數(shù)可取（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
40．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為__.
41．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域為__________．
42．（2022·浙江·高三專題練習）已知函數(shù)，若方程有3個實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是________.
43．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）存在實數(shù)使不等式 在 成立，則的范圍為__________．
44．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù) (為常數(shù))，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是________．
45．（2022·全國·高三專題練習）已知不為的正實數(shù)滿足則下列不等式中一定成立的是 _____.（將所有正確答案的序號都填在橫線上）
①；② ；③；④；⑤．
46．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)恒過點，則函數(shù)在上的最小值是_____.
47．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為N，則M＋N=___．
48．（2022·全國·高三專題練習（文））若，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．
49．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域和值域都是，則_____．
50．（2022·全國·高三專題練習（理））不等式的解集是_______．
51．（2022·全國·高三專題練習（文））已知用表示_____
52．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖象恒過定點,在冪函數(shù)的圖象上，則 ．
53．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）不等式的解集是________.
54．（2022·浙江·高三專題練習）若函數(shù)在上為減函數(shù).則實數(shù)的取值范圍是________．
55．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)y＝lg2（x2+2x﹣3）的單調(diào)增區(qū)間是_____．
56．（2022·全國·高三專題練習（理））函數(shù)，，則函數(shù)的最大值與最小值的和為__________.
57．（2022·全國·高三專題練習（理））函數(shù)的最小值為__________．
y=ax
a>1
00且a?1)的圖像和性質(zhì)如表2-6所示.
三、對數(shù)概念
，叫做以為底的對數(shù).
注：①，負數(shù)和零沒有對數(shù)；
②；
③.
四、對數(shù)的運算性質(zhì)
特殊地
五、對數(shù)函數(shù)
（1）一般地，形如的函數(shù)叫對數(shù)函數(shù).
（2）對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，如表2-7所示.
六、冪函數(shù)的定義
一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).
注：判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)，關(guān)鍵是看其系數(shù)是否為1，底數(shù)是否為變量.
七、冪函數(shù)的圖像
冪函數(shù)的圖像一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四項縣內(nèi)，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖像如果與坐標軸相交，則交點一定是原點.
當時，在同一坐標系內(nèi)的函數(shù)圖像如圖所示.
八、冪函數(shù)的性質(zhì)
當時，冪函數(shù)在上是增函數(shù)，當時，函數(shù)圖像是向下凸的；當時，圖像是向上凸的，恒過點；當時，冪函數(shù)在上是減函數(shù).冪函數(shù)的圖像恒過點.
【典型例題】
例1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】
，，故，
故選：C.
例2．（2022·全國·高三專題練習）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（ ）．
A．lg32B．C．lg23D．
【答案】C
【詳解】
方程4x－2x＋1－3＝0可化為(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，∵2x>0，∴2x＝3，∴x＝lg23.
故選：C
例3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（且），其中a，b均為實數(shù).
（1）若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，求函數(shù)的解析式；
（2）如果函數(shù)的定義域和值域都是，求的值.
（1）因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，
∴，∴
∴函數(shù).
（2）如果函數(shù)的定義域和值域都是，
若，則函數(shù)為增函數(shù)，
∴，無解.
若，則函數(shù)為減函數(shù)，
∴，解得，
∴.
例4．（2022·全國·高三專題練習）（1）計算；
（2）若，求的值．
【詳解】
（1）0.3﹣1﹣36+33+136+27+15．
（2）若，∴x2＝6，x4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．
例5．（2022·全國·高三專題練習）化簡求值
（1）；
（2）；.
（3）；．
（4）.
【詳解】
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
例6．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù).
（1）判斷在其定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；
（2）解關(guān)于的不等式.
【詳解】
（1），則函數(shù)是奇函數(shù)，
則當時，設(shè)，
則
，
，
，即，，
則，即，
則在，上是增函數(shù)，
是上的奇函數(shù)，
在上是增函數(shù).
（2）在上是增函數(shù)，
不等式等價為不等式，
即.
即不等式的解集為.
例7．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，
（1）當時，求的值域；
（2）若對，成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若對，，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．
【詳解】
（1）當時，函數(shù)，
的值域
（2）對，成立，等價于在的最小值大于或等于1．
而在上單調(diào)遞減，所以，即
（3）對，，使得成立，
等價于在的最大值小于或等于在上的最大值9
由，
例8．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在實數(shù)上的偶函數(shù)，且，當時，，函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）證明：對任意，都有；
（3）在同一坐標系中作出與的大致圖象并判斷其交點的個數(shù)．
【詳解】
（1）判斷結(jié)論：為偶函數(shù)．以下證明．
證明：，
．
對于任意的，，，
，
函數(shù)為偶函數(shù)；
（2）函數(shù)是定義在實數(shù)上的偶函數(shù)，
，
，
．
故原命題得證．
（3），
的圖象過點，，關(guān)于軸對稱，
如圖可知：與大致有8個交點．
【技能提升訓練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)和都是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)是定義在上的偶函數(shù)，得到，同時結(jié)合條件為偶函數(shù)，可得到函數(shù)的周期，從而，代入即可求值.
【詳解】
因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，即，
又為定義在上的為偶函數(shù)，所以，
所以，所以函數(shù)的周期，
所以.
故選：B.
2．（2022·全國·高三專題練習）化簡的結(jié)果為（ ）
A．－B．－
C．－D．－6ab
【答案】C
【分析】
根據(jù)指數(shù)冪的運算可得結(jié)果.
【詳解】
原式＝.
故選：C.
3．（2022·浙江·高三專題練習）已知，則（ ）
A．1B．2C．3D．15
【答案】A
【分析】
根據(jù)分段函數(shù)的定義，先求內(nèi)層函數(shù)的值，然后再求外層函數(shù)的值.
【詳解】
解：因為，所以，
所以，
故選：A.
4．（2022·全國·高三專題練習）若是指數(shù)函數(shù)，則有（ ）
A．或B．
C．D．且
【答案】C
【分析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念，由所給解析式，可直接求解.
【詳解】
因為是指數(shù)函數(shù)，
所以，解得.
故選：C．
5．（2022·全國·高三專題練習（文））已知，則（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】
根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，代入自變量，結(jié)合指對數(shù)運算求得結(jié)果.
【詳解】
，
故選：D．
6．（2022·浙江·高三專題練習）函數(shù)，且a≠1)的圖象經(jīng)過點，則f(-2)= （ ）
A．B．C．D．9
【答案】D
【分析】
把點坐標代入解析式可得可得答案.
【詳解】
由，解得，所以．
故選：D.
7．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)＝，則此函數(shù)圖象上關(guān)于原點對稱的點有（ ）
A．0對B．1對
C．2對D．3對
【答案】B
【分析】
首先作出函數(shù)y＝f(x)圖象，在同一坐標系中，再作出－y＝f(－x)，由數(shù)形結(jié)合即可求解.
【詳解】
作出函數(shù)y＝f(x)圖象如圖所示：
再作出－y＝f(－x)，即y＝x2－4x，
恰好與函數(shù)圖象位于y軸左側(cè)部分(對數(shù)函數(shù)的圖象)關(guān)于原點對稱，記為曲線C，
發(fā)現(xiàn)y＝與曲線C有且僅有一個交點，
因此滿足條件的對稱點只有一對，圖中的A、B就是符合題意的點．
故選：B．
8．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域即可．
【詳解】
解：由題意得：，
故，故，
解得：，
故函數(shù)的定義域是，
故選：B．
9．（2022·全國·高三專題練習）若滿足不等式，則函數(shù)的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先將不等式左右兩邊化為底數(shù)相同，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可求得的范圍，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求值域.
【詳解】
由可得，
因為在上單調(diào)遞增，
所以即，解得：，
所以，即函數(shù)的值域是，
故選：B.
10．（2022·全國·高三專題練習）定義運算，若函數(shù)，則的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由定義可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出.
【詳解】
由定義可得，
當時，，則，
當時，，則，
綜上，的值域是.
故選：C.
11．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的值域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求出函數(shù)的定義域，然后利用指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.
【詳解】
由得，函數(shù)，
所以，函數(shù)的值域為.
故選：D.
【點睛】
本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域以及指數(shù)函數(shù)值域的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
12．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
令，可得，求出函數(shù)的對稱軸，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的值域.
【詳解】
解：令，可得，
可得函數(shù)的對稱軸為：，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，故函數(shù)的值域為，
故選：B.
【點睛】
本題主要考查函數(shù)的值域，解題的關(guān)鍵是利用換元法進行換元，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域與二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解.
13．（2022·全國·高三專題練習）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：，.已知，則函數(shù)的值域為（ ）
A．B．，C．，，D．，0，
【答案】B
【分析】
利用常數(shù)分離法將原函數(shù)解析式化為，然后分析函數(shù)的值域，再根據(jù)高斯函數(shù)的含義確定的值域.
【詳解】
，
，，，
，
或0，
的值域為，.
故選：B.
14．（2022·全國·高三專題練習）已知是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且函數(shù).若實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先求出的值，然后把轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)是偶函數(shù)和在區(qū)間上的單調(diào)性脫去“”號，從而求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
因為，所以，
所以，
又因為是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，即.
故選：C.
15．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)（，且）在上最大值與最小值的差為2，則（ ）
A．或2B．2C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)知函數(shù)總是在和2時，取得兩個最值，即得，解方程和即得結(jié)果.
【詳解】
根據(jù)題意，，且，由的單調(diào)性，可知其在上是單調(diào)遞增函數(shù)或單調(diào)遞減函數(shù)，總是在和2時，取得兩個最值，即，即或
當方程成立，即，判別式，該方程無實數(shù)解；
當方程成立，即，解得（舍去），
故選：B．
16．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)2a＝5b＝m，且，則m等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用指數(shù)對數(shù)互化，再利用換底公式及對數(shù)的運算法則即得.
【詳解】
由等式（）兩邊取對數(shù)，
可得，
所以
∴.
故選：D.
17．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）若，則x，y，z之間滿足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)指對互化，再化簡.
【詳解】
，，.
故選：B
18．（2022·全國·高三專題練習）若，且，則的值可能為（ ）
A．B．C．7D．10
【答案】D
【分析】
設(shè)，把指數(shù)式改為對數(shù)式，利用對數(shù)的運算求解．
【詳解】
設(shè)，則且，
，
，
，所以．
故選：D．
19．（2022·全國·高三專題練習（理））已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
運用對數(shù)運算法則和換底公式進行求解.
【詳解】
由，可得，
所以
.
故選：A
20．（2022·全國·高三專題練習）已知，且，則（ ）
A．2B．4C．6D．9
【答案】C
【分析】
將指數(shù)形式轉(zhuǎn)化為對數(shù)形式，代入到題設(shè)條件中，即可求得參數(shù)值.
【詳解】
由題知，，，
則，
則
故選：C
21．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù) 為對數(shù)函數(shù)，則等于
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】
可以先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來確定的取值范圍，再帶入得出結(jié)果．
【詳解】
因為函數(shù) 為對數(shù)函數(shù)，
所以函數(shù)系數(shù)為1，即即或，
因為對數(shù)函數(shù)底數(shù)大于0，
所以，，
所以．
【點睛】
對數(shù)函數(shù)的系數(shù)等于一、真數(shù)大于0、底數(shù)大于0且不等于1．
22．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)對恒有意義，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及基本不等式求出的取值范圍即可．
【詳解】
解：由題意得：恒成立，
即恒成立，
，當且僅當即時“”成立，
故，
故選：．
23．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由題意可得真數(shù)部分取到所有的正數(shù)，即是函數(shù)的值域的子集，由即可求解.
【詳解】
因為函數(shù)的值域為，
可得真數(shù)部分取到所有的正數(shù)，
即函數(shù)取到所有的正數(shù)，
所以是函數(shù)的值域的子集，
所以解得：或，
所以實數(shù)的取值范圍是：.
故選：A.
24．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
結(jié)合的取值范圍以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得的值域.
【詳解】
由于，且在上遞增，
，
所以的值域為.
故選：B
25．（2022·全國·高三專題練習）下列各函數(shù)中，值域為的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別求出函數(shù)的值域進行判斷即可．
【詳解】
解：∵，∴的值域是R，不滿足條件．
∵，則函數(shù)的值域為，不滿足條件．
∵，即函數(shù)的值域為，滿足條件．
∵，∴，不滿足條件．
故選：C．
26．（2022·全國·高三專題練習）已知，，則的值域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
首先求出的定義域，令，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域.
【詳解】
因為，，
所以的定義域為，
解得，所以該函數(shù)的定義域為；
所以，
所以
，所以，
當時，，當時，，
所以；
所以函數(shù)的值域是．
故選：B．
27．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．(0，2]B．
C．[2，＋∞)D．∪[2，＋∞)
【答案】B
【分析】
由題意得到函數(shù)為的偶函數(shù)，且在上為單調(diào)遞減函數(shù)，令，化簡不等式為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，得的，即，即可求解.
【詳解】
由題意，函數(shù)的定義域為，
且，
所以函數(shù)為的偶函數(shù)，且在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
令，可得，
則不等式可化為，
即，即，
又因為，且在上單調(diào)遞減，在為偶函數(shù)，
所以，即，解得，
所以不等式的解集為.
故選：B.
28．（2022·全國·高三專題練習）若冪函數(shù)f（x）的圖象過點（64，2），則f（x）＜f（x2）的解集為（ ）
A．（﹣∞，0）B．（0，1）
C．（1，+∞）D．（0，1）∪（1，+∞）
【答案】C
【分析】
設(shè)冪函數(shù)f（x）＝xα，由題意求得α的值，可得不等式然后解具體的不等式求得x的范圍．
【詳解】
解：設(shè)冪函數(shù)f（x）＝xα，由于它的圖象過點（64，2），
∴2＝64α，∴α＝，f（x）＝．
則f（x）＜f（x2），即，∴0≤x＜x2，
∴x＞1，故原不等式的解集為（1，+∞），
故選：C．
29．（2022·全國·高三專題練習）冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，則m的值為（ ）
A．﹣6B．1C．6D．1或﹣6
【答案】B
【分析】
由題意可得， ，且為偶數(shù)，由此求得m的值．
【詳解】
∵冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴，且為偶數(shù)
或
當時，滿足條件；當時，，舍去
因此：m＝1
故選：B
30．（2022·全國·高三專題練習（理））設(shè)，則使函數(shù)的定義域為，且該函數(shù)為奇函數(shù)的值為（ ）
A．或B．或C．或D．、或
【答案】A
【分析】
由冪函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)依次驗證得解.
【詳解】
因為定義域為，所以，，
又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，則滿足條件的或.
故選:A
31．（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數(shù)的圖象過函數(shù)的圖象所經(jīng)過的定點，則的值等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】
先根據(jù)冪函數(shù)定義得，再確定的圖像所經(jīng)過的定點為，代入解得的值.
【詳解】
由于為冪函數(shù)，則，解得：，則；
函數(shù)，當 時，，
故的圖像所經(jīng)過的定點為，
所以，即，解得：,
故選：B.
32．（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(3，)，則f(x)（ ）
A．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)
B．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)
C．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)
D．是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)
【答案】D
【分析】
利用冪函數(shù)的定義求得指數(shù)的值，得到冪函數(shù)的解析式，進而結(jié)合冪函數(shù)的圖象判定單調(diào)性和奇偶性
【詳解】
設(shè)冪函數(shù)的解析式為，
將點的坐標代入解析式得，解得，
∴，函數(shù)的定義域為,是非奇非偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，
故選：D.
33．（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數(shù)的圖象過點，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先根據(jù)題意得冪函數(shù)解析式為，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得答案.
【詳解】
解：因為冪函數(shù)的圖像過點，
所以，所以，所以，
由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得：．
故的取值范圍是.
故選：C.
【點睛】
本題考查冪函數(shù)的定義，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)冪函數(shù)的系數(shù)為待定系數(shù)求得解析式，進而根據(jù)單調(diào)性解不等式.
34．（2021·全國·高一專題練習）如圖中的曲線C1，C2，C3，C4是指數(shù)函數(shù)的圖象，已知對應函數(shù)的底數(shù)的值可取為，，，，則相應于曲線C1，C2，C3，C4，依次為（）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】D
【分析】
作直線，根據(jù)圖象得出答案.
【詳解】
設(shè)曲線C1，C2，C3，C4對應解析式的底數(shù)為，作直線，如下圖所示
由圖可知，，即曲線C1，C2，C3，C4，依次為，，，
故選：D
35．（2021·全國·）圖中曲線分別表示的圖像，，的關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
在坐標系中，令，根據(jù)與函數(shù)交點的橫坐標的大小得到結(jié)論.
【詳解】
如圖所示：
當時，，
因為，
所以
故選：C
二、多選題
36．（2022·全國·高三專題練習）若直線與函數(shù)（，且）的圖象有兩個公共點，則的取值可以是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】AB
【分析】
對分類討論，利用數(shù)形結(jié)合分析得解.
【詳解】
（1）當時，由題得，
因為，所以此種情況不存在；
（2）當時，由題得，
因為，所以.
故選：AB
【點睛】
方法點睛：取值范圍問題的求解，常用的方法：（1）函數(shù)法；（2）導數(shù)法；（3）數(shù)形結(jié)合法；（4）基本不等式法. 要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.
37．（2022·全國·高三專題練習）下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)
B．函數(shù)的值域是
C．若，則
D．函數(shù)的圖像必過定點
【答案】BD
【分析】
對每一個選項進行逐一判斷其真假，得出答案.
【詳解】
選項A. 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，可得不是指數(shù)函數(shù)，故A 不正確.
選項B. 當時，，故B正確.
選項C. 當時，函數(shù)單調(diào)遞減，由，則，故C不正確.
選項D. 由，可得的圖象恒過點，故D正確.
故選：BD
【點睛】
本題考查命題真假的判斷，考查指數(shù)函數(shù)的定義、單調(diào)性以及圖象過定點的應用，屬于基礎(chǔ)題.
38．（2022·全國·高三專題練習（理））對函數(shù)判斷正確的是（ ）
A．增區(qū)間B．增區(qū)間C．值域D．值域
【答案】BD
【分析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可以判斷其增區(qū)間為，根據(jù)值域判斷出的值域，最終得出答案.
【詳解】
解:根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，在單調(diào)遞減，
而在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故增區(qū)間為；
值域為，
而在單調(diào)遞減，
故值域為.
故選：BD.
39．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有五個零點，則實數(shù)可?。? ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】
函數(shù)有五個零點等價于與有五個不同的交點，作出圖像，利用圖像求解即可
【詳解】
函數(shù)有五個零點等價于與有五個不同的交點，作出圖像可知，當時，
若與有五個不同的交點，
則，
，
故選：．
三、填空題
40．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為__.
【答案】
【分析】
由給定條件求出點A的坐標即可得出，再利用“1”的妙用即可得解.
【詳解】
函數(shù)中，由可得、，即函數(shù)的圖象恒過定點，
若點在直線上，即有，
于是得，當且僅當時取“=”，
所以時，的最小值為.
故答案為：.
41．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域為__________．
【答案】
【分析】
利用對數(shù)、分式、根式的性質(zhì)列不等式，求的范圍，即得定義域.
【詳解】
由函數(shù)解析式，知：，解得且.
故答案為：.
42．（2022·浙江·高三專題練習）已知函數(shù)，若方程有3個實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是________.
【答案】
【分析】
將問題轉(zhuǎn)化為與有3個交點，根據(jù)分段函數(shù)解析式確定的區(qū)間性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象判斷交點情況，進而求k的范圍.
【詳解】
由題意，方程有3個實數(shù)根，即為與有3個交點，
由的解析式知：當時，；當時，對稱軸為且；圖象如下圖示：
∴當且僅當時，與有3個交點，即有3個實根.
故答案為：
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，應用數(shù)形結(jié)合的方法確定參數(shù)的范圍.
43．（2022·上海·高三專題練習）存在實數(shù)使不等式 在 成立，則的范圍為__________．
【答案】##
【分析】
利用函數(shù)的單調(diào)性求出它在上的最大值即可.
【詳解】
函數(shù)在R上單調(diào)遞減，當時，，
因存在實數(shù)使不等式 在 成立，則.
所以的范圍為.
故答案為：
44．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù) (為常數(shù))，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是________．
【答案】
【分析】
首先根據(jù)題意得到，從而得到當時，函數(shù)為增函數(shù)，再根據(jù)題意即可得到答案.
【詳解】
因為函數(shù)，
當時，函數(shù)為增函數(shù)，
而已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即的取值范圍為．
故答案為：
45．（2022·全國·高三專題練習）已知不為的正實數(shù)滿足則下列不等式中一定成立的是 _____.（將所有正確答案的序號都填在橫線上）
①；② ；③；④；⑤．
【答案】④⑤.
【分析】
根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性先分析出的大小關(guān)系，然后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)以及不等式的性質(zhì)逐項分析.
【詳解】
因為且不為，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，
①當時，，所以，故①不一定成立；
②因為，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,故②不成立；
③當時，，所以，故③不一定成立；
④因為，所以，故④一定成立；
⑤因為，所以，故⑤一定成立；
故答案為：④⑤.
46．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)恒過點，則函數(shù)在上的最小值是_____.
【答案】
【分析】
先利用指數(shù)型函數(shù)恒過定點問題求定點，得到，換元，令，利用二次函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】
函數(shù)恒過點，
則，
區(qū)間變?yōu)椋?br>由函數(shù)，
令，
則，
利用二次函數(shù)的單調(diào)性，
當時，，
則函數(shù)在上的最小值是.
故答案為：.
【點睛】
關(guān)鍵點睛：把指數(shù)型復合函數(shù)求最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題是解決本題的關(guān)鍵.
47．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為N，則M＋N=___．
【答案】
【分析】
將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，易得當時，是增函數(shù)，進而取得M，N即可.
【詳解】
，
因為，
所以是增函數(shù)，
所以 是增函數(shù)，
所以當 時， 取得最小值 ，
當 時， 取得最大值 ，
所以 ，
故答案為：3
48．（2022·全國·高三專題練習（文））若，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【分析】
設(shè)，將原不等式轉(zhuǎn)化成恒成立，從而求出的范圍．
【詳解】
令，∵，∴，
∵恒成立，∴恒成立，
∵，當且僅當時，即時，表達式取得最小值，
∴，
故答案為．
【點睛】
本題考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)不等式的恒成立問題，可換元后轉(zhuǎn)為含參數(shù)的一元二次不等式的恒成立問題，再利用參變分離可求參數(shù)的取值范圍，此題需要學生有較好的邏輯分析能力，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．
49．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域和值域都是，則_____．
【答案】4
【詳解】
當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)過點(-1,-1)和點(0,0)，所以無解；
當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)過點(-1,0)和點(0,-1)，所以，解得.
所以
50．（2022·全國·高三專題練習（理））不等式的解集是_______．
【答案】
【分析】
由對數(shù)的運算法則，將不等式化簡整理為，即可求出結(jié)果．
【詳解】
因為可化為
即原不等式的解集為：．
故答案為：
51．（2022·全國·高三專題練習（文））已知用表示_____
【答案】
【分析】
利用對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式以及即可得出．
【詳解】
，，
，．
，
，
解得．
故答案為：.
52．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖象恒過定點,在冪函數(shù)的圖象上，則 ．
【答案】3
【詳解】
由題意有：，
因此滿足，則
所以．
故答案為3.
53．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）不等式的解集是________.
【答案】
【分析】
由對數(shù)運算法則得，把作為一個整體解一元二次方程，再由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得解．
【詳解】
由得，．
故答案為：
54．（2022·浙江·高三專題練習）若函數(shù)在上為減函數(shù).則實數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【分析】
由題意可得，在單調(diào)遞減，且，即，即可求解.
【詳解】
是由，復合而成，
因為，開口向下，對稱軸為，所以在上為減函數(shù)，
因為函數(shù)在上為減函數(shù)，
所以為增函數(shù)，
所以，
又因為對于恒成立了，所以，解得：，
綜上所述：實數(shù)的取值范圍是，
故答案為：
【點睛】
本題主要考查了復合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.
55．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)y＝lg2（x2+2x﹣3）的單調(diào)增區(qū)間是_____．
【答案】（1，+∞）
【分析】
由真數(shù)大于0求出函數(shù)的定義域，由復合函數(shù)的單調(diào)性，外層函數(shù)單調(diào)遞增，故內(nèi)層函數(shù)的增區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間．
【詳解】
由x2+2x﹣3＞0，得x＜﹣3或x＞1．
故函數(shù)的定義域為：
令t＝x2+2x﹣3，
由于在單調(diào)遞增，
又t＝x2+2x﹣3的對稱軸為
t＝x2+2x﹣3在（1，+∞）上為增函數(shù)，由復合函數(shù)單調(diào)性
∴y＝lg2（x2+2x﹣3）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．
故答案為：（1，+∞）
56．（2022·全國·高三專題練習（理））函數(shù)，，則函數(shù)的最大值與最小值的和為__________.
【答案】
【分析】
將函數(shù)的解析式化為，然后換元，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值之和來處理，然后利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求解.
【詳解】
，，令，
設(shè)，其中，
二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線，
當時，函數(shù)取得最小值，即.
當或時，函數(shù)取得最大值，即.
因此，函數(shù)的最大值和最小值之和為.
故答案為.
【點睛】
本題考查對數(shù)型函數(shù)在定區(qū)間上的最大值和最小值之和，利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于中等題.
57．（2022·全國·高三專題練習（理））函數(shù)的最小值為__________．
【答案】
【詳解】
試題分析：
所以，當，即時，取得最小值.
所以答案應填：.
考點：1、對數(shù)的運算；2、二次函數(shù)的最值.
y=ax
a>1
0

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