新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)90分講義第16講數(shù)列通項(xiàng)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、觀察法
根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察法歸納出其數(shù)列通項(xiàng).
二、利用遞推公式求通項(xiàng)公式
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①疊加法：形如的解析式，可利用遞推多式相加法求得
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②疊乘法：形如的解析式，可用遞推多式相乘求得
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③構(gòu)造輔助數(shù)列：通過變換遞推公式，將非等差（等比）數(shù)列
構(gòu)造成為等差或等比數(shù)列來求其通項(xiàng)公式.常用的技巧有待定系數(shù)法、取倒數(shù)法和同除以指數(shù)法.
④利用與的關(guān)系求解
形如的關(guān)系，求其通項(xiàng)公式，可依據(jù)
，求出
【典型例題】
（多選）例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，則有（）
A．Sn＝3n－1B．{Sn}為等比數(shù)列
C．a(chǎn)n＝2·3n－1D．
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，滿足，則__________.
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.求的通項(xiàng)公式.
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，求.
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，求的通項(xiàng)公式.
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）
①數(shù)列1，2，3可以表示成，2，；
②數(shù)列，0，1與數(shù)列1，0，是同一數(shù)列；
③數(shù)列的第項(xiàng)是；
④數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號(hào)有關(guān)．
A．①②B．③④C．①③D．②④
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝.據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合而為一.”在某種玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，數(shù)列{an}滿足a1=1，且an=則解下4個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次a4數(shù)為（）
A．7B．10C．12D．22
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則（）
A．B．C．D．
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列{an}滿足，且a1=1，a2=5，則（）
A．69B．105C．204D．205
5．（2020·全國·高三階段練習(xí)（文））在數(shù)列中，，，則（）.
A．B．
C．D．
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）
A．B．C．D．
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，(，)，則數(shù)列的通項(xiàng)（）
A．B．
C．D．
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則等于（）
A．B．C．D．
9．（2021·安徽·高三階段練習(xí)（文））數(shù)列中的前n項(xiàng)和，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）.
A．190B．192C．180D．182
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，則（）
A．B．C．D．
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，則（）
A．B．C．D．
12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等于（）
A．B．
C．D．
13．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））在數(shù)列中，，，，則（）
A．B．C．D．
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是an＝（）
A．B．
C．D．
二、多選題
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則（）
A．a(chǎn)n＝－
B．a(chǎn)n＝
C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列
D．－5050
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么下列選項(xiàng)正確的是（）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為
C．D．
三、填空題
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，，，則________．
18．（2021·河北·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和記作，，則________．
19．（2021·山西省長治市第二中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且滿足，則滿足的最大的正整數(shù)等于_________．
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足，，則______．
21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_________.
22．（2021·江西·高三階段練習(xí)（文））若正項(xiàng)數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是_______．
23．（2021·全國·模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則___________.
24．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足，且，則________________.
25．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角形”.
此表由若干個(gè)數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和.若每行的第一個(gè)數(shù)構(gòu)成有窮數(shù)列，則得到遞推關(guān)系.則___________.
26．（2021·甘肅·西北師大附中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的最小值為___________.
四、解答題
27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知數(shù)列{an}滿足：，求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）在數(shù)列{an}中，已知a1=3，（3n+2）an+1=（3n-1）an（n∈N*），an≠0，求an.
28．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）（1）已知數(shù)列{an}滿足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通項(xiàng)公式an；
（2）設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通項(xiàng)公式an.
29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
30．（2021·山東·濟(jì)寧市教育科學(xué)研究院高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求.
33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
（1）求m的值，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.
35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
第16講數(shù)列通項(xiàng)
【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】
一、觀察法
根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察法歸納出其數(shù)列通項(xiàng).
二、利用遞推公式求通項(xiàng)公式
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①疊加法：形如的解析式，可利用遞推多式相加法求得
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②疊乘法：形如的解析式，可用遞推多式相乘求得
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③構(gòu)造輔助數(shù)列：通過變換遞推公式，將非等差（等比）數(shù)列
構(gòu)造成為等差或等比數(shù)列來求其通項(xiàng)公式.常用的技巧有待定系數(shù)法、取倒數(shù)法和同除以指數(shù)法.
④利用與的關(guān)系求解
形如的關(guān)系，求其通項(xiàng)公式，可依據(jù)
，求出
【典型例題】
（多選）例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，則有（）
A．Sn＝3n－1B．{Sn}為等比數(shù)列
C．a(chǎn)n＝2·3n－1D．
【答案】ABD
【詳解】
依題意，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，所以，
所以，
所以.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，符合上式，所以.
，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
所以ABD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABD
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，滿足，則__________.
【答案】
【詳解】
依題意，，
所以
.
故答案為：
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．
【答案】
【詳解】
∵，
∴，
即．又，，
∴數(shù)列是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴，
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式．
故答案為：.
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.求的通項(xiàng)公式.
【詳解】
由，得，
又，所以當(dāng)時(shí)，
，
又也滿足上式，所以；
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】
解：因?yàn)椋?br>所以，，又，
得，所以，又，
所以，.
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，求.
【詳解】
解：因?yàn)椋?br>所以，而，
∴是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，故，
∴.
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，求的通項(xiàng)公式.
【詳解】
，兩邊取倒數(shù)得，即，
又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，故；
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）
①數(shù)列1，2，3可以表示成，2，；
②數(shù)列，0，1與數(shù)列1，0，是同一數(shù)列；
③數(shù)列的第項(xiàng)是；
④數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號(hào)有關(guān)．
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】B
【分析】
利用數(shù)列的基本概念對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．
【詳解】
解：對(duì)于①，是集合，不是數(shù)列，故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，數(shù)列是有序的，故數(shù)列，0，1與數(shù)列1，0，是不同的數(shù)列，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，數(shù)列的第項(xiàng)是，故選項(xiàng)③正確；
對(duì)于④，由數(shù)列的定義可知，數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號(hào)有關(guān)，故選項(xiàng)④正確．
故選：．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝.據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合而為一.”在某種玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，數(shù)列{an}滿足a1=1，且an=則解下4個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次a4數(shù)為（）
A．7B．10C．12D．22
【答案】A
【分析】
根據(jù)通項(xiàng)公式直接求項(xiàng)即得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1=1，且an=
所以a2=2a1-1=2-1=1，所以a3=2a2+2=2×1+2=4，
所以a4=2a3-1=2×4-1=7.
故選:A
【點(diǎn)睛】
本題考查根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)求項(xiàng)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由，利用累加法得出.
【詳解】
由題意可得，
所以，，…，，
上式累加可得
，
又，所以.
故選：B.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列{an}滿足，且a1=1，a2=5，則（）
A．69B．105C．204D．205
【答案】D
【分析】
可將已知適當(dāng)變形成為，可構(gòu)造等差數(shù)列，利用累加法求得
【詳解】
設(shè)，
故構(gòu)成以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
故…………
故選：D
【點(diǎn)睛】
若滿足，可考慮用累加法求通項(xiàng)公式，其原理為
……
……，運(yùn)算化簡即可.
5．（2020·全國·高三階段練習(xí)（文））在數(shù)列中，，，則（）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
通過賦值，利用累加法，即可求得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
，
……
，
以上各式累加得，
即.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
依題意可得，再利用累乘法計(jì)算可得；
【詳解】
解：由，得，
即，則，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故選：D．
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，(，)，則數(shù)列的通項(xiàng)（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
直接利用累乘法的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【詳解】
解：數(shù)列滿足，，
整理得，，，，
所有的項(xiàng)相乘得：，
整理得：，
故選：．
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用求得.
【詳解】
時(shí)，.
時(shí)，，
，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以.
故選：B
9．（2021·安徽·高三階段練習(xí)（文））數(shù)列中的前n項(xiàng)和，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）.
A．190B．192C．180D．182
【答案】B
【分析】
根據(jù)公式計(jì)算通項(xiàng)公式得到，故，求和得到答案.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
經(jīng)檢驗(yàn)不滿足上式，所以，
，則，.
故選：B.
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
令可求得的值，由，由作差法可得出的表達(dá)式，再對(duì)是否滿足的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，則有；
當(dāng)時(shí)，由，①
可得，②
①②可得，所以，，滿足.
故對(duì)任意的，.
故選：D.
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)數(shù)列與的關(guān)系，可得數(shù)列從第項(xiàng)開始是等差數(shù)列，根據(jù)通項(xiàng)公式，即可求解.
【詳解】
由得，即，
所以數(shù)列從第項(xiàng)開始是等差數(shù)列，
又因?yàn)?，?br>所以，所以．
故選：B
12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等于（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
先轉(zhuǎn)化為遞推關(guān)系再求解.
【詳解】
由可得：，兩式相減得：，即，，
又由可得：，，
當(dāng)時(shí)，，
綜上，，
故選：.
13．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））在數(shù)列中，，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
對(duì)變形可得，所以為以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，即可得解.
【詳解】
在中，，
由可得，
所以為以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，
所以，
所以，
故選：A.
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是an＝（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)題意，變形數(shù)列的前4項(xiàng)，然后歸納出通項(xiàng)公式．
【詳解】
解：根據(jù)題意，數(shù)列的前4項(xiàng)為，，，，
則有，
，
，
，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為.
故選：D.
二、多選題
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則（）
A．a(chǎn)n＝－
B．a(chǎn)n＝
C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列
D．－5050
【答案】BCD
【分析】
利用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系求解.
【詳解】
Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，
則Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，
整理得－＝－1(常數(shù))，
所以數(shù)列是以＝－1為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列．故C正確；
所以＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－.
所以當(dāng)n≥2時(shí)，
an＝Sn－Sn－1＝－，不適合上式，
故an＝故B正確，A錯(cuò)誤；
所以，
故D正確．
故選：BCD
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么下列選項(xiàng)正確的是（）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為
C．D．
【答案】ABD
【分析】
根據(jù)題設(shè)的關(guān)系，可判斷是否為等比數(shù)列，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式，應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列前n項(xiàng)和得，再寫出通項(xiàng)，應(yīng)用裂項(xiàng)法求，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】
由題設(shè)知：，則且，即是等比數(shù)列；
∴，且，
又，
∴.
故選：ABD.
三、填空題
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，，，則________．
【答案】
【分析】
由條件可得，由累加法可得答案.
【詳解】
由,即

所以
故答案為：
18．（2021·河北·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和記作，，則________．
【答案】
【分析】
由進(jìn)行求解即可．
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，不符合上式．
所以，
故答案為：
19．（2021·山西省長治市第二中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且滿足，則滿足的最大的正整數(shù)等于_________．
【答案】25．
【分析】
由，化簡整理得到，求得，進(jìn)而求得時(shí)，，根據(jù)，得到，即可求解.
【詳解】
由題意數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足，
當(dāng)時(shí)，可得，
整理得，
又由，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，
因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，可得，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
由，即，即，
又由，所以，所以滿足的最大的正整數(shù)等于.
故答案為：.
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足，，則______．
【答案】
【分析】
利用與的關(guān)系，替換，構(gòu)造是等差數(shù)列，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】
因?yàn)椋?br>所以，所以是等差數(shù)列，公差為3，
又，所以，．
故答案為：
21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_________.
【答案】
【分析】
由遞推關(guān)系式可得，構(gòu)造數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.
【詳解】
由，則，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，
故答案為：
22．（2021·江西·高三階段練習(xí)（文））若正項(xiàng)數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是_______．
【答案】
【分析】
根據(jù)給定條件將原等式變形成，再利用構(gòu)造成基本數(shù)列的方法求解即得.
【詳解】
在正項(xiàng)數(shù)列中，，則有，
于是得，而，因此得：數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，
則有，即，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
故答案為：
23．（2021·全國·模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則___________.
【答案】
【分析】
利用求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
則，所以.
故答案為：
24．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足，且，則________________.
【答案】
【分析】
根據(jù)變形得，可構(gòu)造等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可求出，即可求得．
【詳解】
由可得：，因?yàn)椋允且?為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即，故.
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的定義應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
25．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角形”.
此表由若干個(gè)數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和.若每行的第一個(gè)數(shù)構(gòu)成有窮數(shù)列，則得到遞推關(guān)系.則___________.
【答案】256
【分析】
首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的變換求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出結(jié)果.
【詳解】
由有窮數(shù)列，遞推關(guān)系，
整理得：，
整理得：，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，
整理得，
所以，
故答案為：256.
26．（2021·甘肅·西北師大附中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的最小值為___________.
【答案】
【分析】
利用數(shù)列遞推式，可得數(shù)列是以10為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，可得數(shù)列的通項(xiàng)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求的最小值．
【詳解】
解：
，
數(shù)列是以10為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
時(shí)，取得最小值為
故答案為：
四、解答題
27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知數(shù)列{an}滿足：，求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）在數(shù)列{an}中，已知a1=3，（3n+2）an+1=（3n-1）an（n∈N*），an≠0，求an.
【答案】（1）an=；（2）an=.
【分析】
（1）對(duì)an+1=兩邊“取倒數(shù)”，得到，再利用累加法求解；
（2）由（3n+2）an+1=（3n-1）an，得到，然后利用累乘法求解.
【詳解】
（1）對(duì)an+1=兩邊“取倒數(shù)”，得
，即=2n+，
∴.
∴n≥2時(shí)，，
將以上各式累加得，
，
所以，
所以，當(dāng)n=1也滿足，
所以.
（2）因an≠0，由（3n+2）an+1=（3n-1）an，得
，
∴n≥2時(shí)，，
逐項(xiàng)累乘，得，
∴，當(dāng)n=1也滿足，
∴.
28．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）（1）已知數(shù)列{an}滿足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通項(xiàng)公式an；
（2）設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通項(xiàng)公式an.
【答案】（1）an＝－ (n∈N*)；（2）an＝ (n∈N*)．
【分析】
（1）由已知條件可得an＋1－an＝，然后利用累加法可求出通項(xiàng)公式an.
（2）由an＝an－1，可得＝，然后利用累乘法可求出通項(xiàng)公式
【詳解】
（1）∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝.
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－.
∴an＋1＝1－，
∴an＝－ (n≥2)．
又∵n＝1時(shí)，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－ (n∈N*)．
（2）∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，
an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.
又∵n＝1時(shí)，a1＝1，符合上式，∴an＝ (n∈N*)．
29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】
【分析】
將題中條件變形為，再利用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】
由，得，
所以當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)闀r(shí)，滿足上式，
所以
30．（2021·山東·濟(jì)寧市教育科學(xué)研究院高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根據(jù)所給條件先求出首項(xiàng)，然后仿寫，作差即可得到的通項(xiàng)公式;
（2）根據(jù)（1）求出的通項(xiàng)公式，觀察是由一個(gè)等差數(shù)列加一個(gè)等比數(shù)列得到，要求其前項(xiàng)和，需采用分組求和法，即可求出前項(xiàng)和．
（1）
∵，①
當(dāng)時(shí)，，即
當(dāng)時(shí)，．②
由①－②得，即
∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列．
∴
（2）
由（1）知
∴，
∴．
31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】
【分析】
當(dāng)時(shí)，得到，當(dāng)時(shí)，得到，從而得到.
【詳解】
①，
當(dāng)時(shí)，解得，
當(dāng)時(shí)，②，
①減②得，
化簡得：，
則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，即.
32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減可得，從而可求出，當(dāng)時(shí)，，求出，進(jìn)而可出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，從而可求出
【詳解】
解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則
由，得
相減得即，
又，所以，
由，得，
解得，(舍去)
由，得；
（2）
.
33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)，得，兩式作差可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，進(jìn)一步可求通項(xiàng)；
（2）運(yùn)用裂項(xiàng)求和來求和.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，即，解得或（舍）.
當(dāng)時(shí)，，
，
兩式相減得，
又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，所以，
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.
所以.
（2）
.
所以
.
34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
（1）求m的值，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）法一：由已知求、，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)確定的值，進(jìn)而求出，寫出通項(xiàng)公式；法二：由與的關(guān)系，結(jié)合已知求得、，，再根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)求，寫出通項(xiàng)公式；
（2）由（1）寫出通項(xiàng)公式，由奇偶項(xiàng)和為定值，應(yīng)用并項(xiàng)求和法求.
【詳解】
（1）法一：當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
∵是等比數(shù)列，
∴，即，解得
綜上，的值為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
法二：∵，，
∵是等比數(shù)列，
∴，即，解得，
設(shè)的公比為，
∴，，則.
（2）∵，
∴.
35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）證明見解析；；（2）．
【分析】
（1）由帶入整理即可得解；
（2）由（1）可得，再利用和之間的關(guān)系，可得，利用等比數(shù)列，直接求和即可得解.
【詳解】
（1）由已知，整理得，，
所以，當(dāng)時(shí)，，
所以是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以，所以；
（2）由（1）知，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，故
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，對(duì)也滿足．
故．

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