【典型例題】
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè){an}為等比數(shù)列，{bn}為等差數(shù)列，且b1=0，cn=an+bn，若數(shù)列{cn}是1，1，2，…，則數(shù)列{cn}的前10項和為（ ）
A．978B．557C．467D．979
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知首項為最小正整數(shù)，公差不為零的等差數(shù)列中，，，依次成等比數(shù)列，則的值是（ ）
A．B．C．D．58
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是正項等比數(shù)列，若，，則（ ）
A．B．C．D．
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列，滿足，，，則數(shù)列的前n項和為（ ）
A．B．C．D．
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，且a1，a3，a4成等比數(shù)列，則Sn取最大值時n的值為（ ）
A．4B．5C．4或5D．5或6
例6．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，．
（1）求數(shù)列，的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，求．
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知各項均為整數(shù)的數(shù)列滿足，，前6項依次成等差數(shù)列， 從第5項起依次成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求出所有的正整數(shù)m ，使得．
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項等差數(shù)列和正項等比數(shù)列}，，是，的等差中項，是，的等比中項，則下列關(guān)系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，中滿足，，，若前項之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)是（ ）.
A．8B．9C．11D．10
3．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）2013年9月7日，習(xí)近平總書記在哈薩克斯坦納扎爾巴耶夫大學(xué)發(fā)表演講并回答學(xué)生們提出的問題，在談到環(huán)境保護問題時他指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山.寧要綠水青山，不要金山銀山，而且綠水青山就是金山銀山.”“綠水青山就是金山銀山”這一科學(xué)論斷，成為樹立生態(tài)文明觀、引領(lǐng)中國走向綠色發(fā)展之路的理論之基.某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，從2020年開始每年投入資金比上一年增加10%，到2024年底該市生態(tài)環(huán)境建設(shè)投資總額大約為（ ）
A．2655萬元B．2970萬元C．3005萬元D．3040萬元
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，若，，成等比數(shù)列，則（ ）
A．11B．13C．15D．17
5．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知各項均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足，，成等差數(shù)列．其前項和為，且，則（ ）
A．B．
C．D．
6．（2019·山東·青島二中高三階段練習(xí)（文））已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，其公比且，若，，則（ ）
A．B．
C．D．或
7．（2021·廣東·紅嶺中學(xué)二模）已知等差數(shù)列的公差為，且、、成等比數(shù)列，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（2021·北京育英中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的值是（ ）
A．B．C．或D．
9．（2020·寧夏·銀川二中一模（理））設(shè)等比數(shù)列的前項和為,已知成等差數(shù)列,且,則（ ）
A．3B．6C．8D．9
二、多選題
10．（2020·江蘇南通·高三期中）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個選項中不正確的有（ ）
A．若數(shù)列的前項和，，為常數(shù)）則數(shù)列為等差數(shù)列
B．若數(shù)列的前項和，則數(shù)列為等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，為前項和，則，，，仍為等差數(shù)列
D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，為前項和，則，，，仍為等比數(shù)列；
11．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項為1，公差，前n項和為，則下列結(jié)論成立的有
A．?dāng)?shù)列的前10項和為100
B．若成等比數(shù)列，則
C．若，則n的最小值為6
D．若，則的最小值為
三、填空題
12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則其公比q等于________．
13．（2019·江蘇·無錫市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)等比數(shù)列的前項和為.若，，成等差數(shù)列，且，則的值為________．
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中公比，若，，記數(shù)列的前n項和為，則的最大值為_______
15．（2021·內(nèi)蒙古·赤峰二中高三階段練習(xí)（理））設(shè)數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則________.
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則_______.
17．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）為公差不為0的等差數(shù)列，且恰為等比數(shù)列，其中，則為_______．
18．（2021·全國·高三專題練習(xí)）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列，記是數(shù)列的前n項和，則________.
19．（2021·河南·高三階段練習(xí)（理））設(shè)為等比數(shù)列的前n項和，若，且成等差數(shù)列，則_________.
20．（2021·甘肅省民樂縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若數(shù)列是等差數(shù)列，，滿足，且，則數(shù)列的通項公式為______.
四、解答題
21．（2021·河南·濮陽一高高三階段練習(xí)（理））已知Sn是等差數(shù)列的前n項和，從以下3個條件中任選一條，回答問題.①，，②公差，③，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若等比數(shù)列滿足公比，，求數(shù)列的前n項和.
22．（2021·黑龍江·牡丹江一中高三期中（理））已知等比數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，其中.
（1）分別求數(shù)列和的通項公式；
（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.
23．（2021·廣東惠州·一模）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，.
（1）求和的通項公式；
（2）數(shù)列和中的所有項分別構(gòu)成集合，，將的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個新數(shù)列，求數(shù)列的前60項和.
24．（2021·江蘇·高三開學(xué)考試）已知集合，，將中所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項和為．
（1）若，求m的值；
（2）求的值．
25．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知正項等差數(shù)列的前項和為，若構(gòu)成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式.
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證:
26．（2022·河北·高三專題練習(xí)）已知正項等差數(shù)列滿足，且、、成等比數(shù)列，數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
27．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，=1，且，，成等差數(shù)列．
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）
已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0， ，.
（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；
（2）求{an}和{bn}的通項公式.
第15講 等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合運用
【知識點總結(jié)】
【典型例題】
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè){an}為等比數(shù)列，{bn}為等差數(shù)列，且b1=0，cn=an+bn，若數(shù)列{cn}是1，1，2，…，則數(shù)列{cn}的前10項和為（ ）
A．978B．557C．467D．979
【答案】A
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，等差數(shù)列{bn}的公差為d.
∵cn=an+bn，
解得，∴cn=2n-1+(1-n).
∴{cn}的前10項和為．
故選：A
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知首項為最小正整數(shù)，公差不為零的等差數(shù)列中，，，依次成等比數(shù)列，則的值是（ ）
A．B．C．D．58
【答案】A
【詳解】
設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的公差為d，則有，
因為，，依次成等比數(shù)列，，
所以有，即，整理得，
因為，所以，，
因此，
故選：A.
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是正項等比數(shù)列，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，，圖象中的孤立的點在一條直線上，
而等比數(shù)列的通項公式是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)形式，圖象中孤立的點在指數(shù)函數(shù)圖象上，
如圖所示當(dāng)時，如下圖所示，
當(dāng)公差時，如下圖所示，
如圖可知當(dāng)時，，，，.
故選：D
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列，滿足，，，則數(shù)列的前n項和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】
由題意，數(shù)列，滿足，，，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差是2，是等比數(shù)列，且公比是2，
又因為，所以
所以，
設(shè)，所以，則，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為4，首項為4．
由等比數(shù)列的前n項和的公式，可得數(shù)列前n項的和為
故選：B.
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，且a1，a3，a4成等比數(shù)列，則Sn取最大值時n的值為（ ）
A．4B．5C．4或5D．5或6
【答案】C
【詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
成等比數(shù)列，即，則，
，
所以當(dāng)或時，取得最大值.
故選：C.
例6．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，．
（1）求數(shù)列，的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，求．
【詳解】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因為，所以，
所以．
所以．
又，即，所以
所以．
（2）由（1），
即是數(shù)列中的第項．
設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，
因為，，
所以數(shù)列的前100項是由數(shù)列的前107項去掉數(shù)列的前7項后構(gòu)成的，
所以
．
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知各項均為整數(shù)的數(shù)列滿足，，前6項依次成等差數(shù)列， 從第5項起依次成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求出所有的正整數(shù)m ，使得．
【詳解】
（1）設(shè)數(shù)列前項的公差為，則，(為整數(shù))
又∵，，成等比數(shù)列，∴，即，得或（舍去），
當(dāng) 時，， 6 分 ∴，，數(shù)列從第項起構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為，
∴當(dāng)時，，故，
（2）由（1）知，當(dāng)時等式成立，即，
當(dāng)時等式成立，即，
當(dāng)或時等式不成立，
當(dāng)時，，
若，則，∴，
，，從而方程無解，∴ .
故所求或．
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項等差數(shù)列和正項等比數(shù)列}，，是，的等差中項，是，的等比中項，則下列關(guān)系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
設(shè)等差數(shù)列公差為d，等比數(shù)列公比為q，由題意可得：，進而可得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)等差數(shù)列公差為d，等比數(shù)列公比為q，
由題意可得：
A. ,故A不正確；
B. ，故B正確；
C. ，故C不正確；
D. ，故D不正確.
故選：B
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，中滿足，，，若前項之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)是（ ）.
A．8B．9C．11D．10
【答案】D
【分析】
由可求得數(shù)列的通項公式，進而求得數(shù)列，表示出，
令，即可得到滿足不等式的最小整數(shù).
【詳解】
解：由題意可知：，
即，
即，
又，
，
即數(shù)列是以首項為9，公比為的等比數(shù)列，
，
即，
，
，
則，
即，
又，
滿足不等式的最小整數(shù)，
即.
故選：D.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項公式.
3．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）2013年9月7日，習(xí)近平總書記在哈薩克斯坦納扎爾巴耶夫大學(xué)發(fā)表演講并回答學(xué)生們提出的問題，在談到環(huán)境保護問題時他指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山.寧要綠水青山，不要金山銀山，而且綠水青山就是金山銀山.”“綠水青山就是金山銀山”這一科學(xué)論斷，成為樹立生態(tài)文明觀、引領(lǐng)中國走向綠色發(fā)展之路的理論之基.某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，從2020年開始每年投入資金比上一年增加10%，到2024年底該市生態(tài)環(huán)境建設(shè)投資總額大約為（ ）
A．2655萬元B．2970萬元C．3005萬元D．3040萬元
【答案】C
【分析】
根據(jù)年每年的投資額成等差數(shù)列、年每年的投資額成等比數(shù)列，利用等差和等比數(shù)列求和公式即可求得結(jié)果.
【詳解】
年每年的投資額成等差數(shù)列，首項為，公差為，
則年的投資總額為：（萬元），
年的投資額為：（萬元）
年每年的投資額成等比數(shù)列，首項為，公比為，
則年的投資總額為：（萬元）；
年的投資總額約為（萬元）
故選：C.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，若，，成等比數(shù)列，則（ ）
A．11B．13C．15D．17
【答案】A
【分析】
先根據(jù)題意求出等差數(shù)列的首項和公差，再根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式求出，再由，，成等比數(shù)列，列出式子求解即可.
【詳解】
解：由，
解得：，
又，
，
，
，
，，成等比數(shù)列，
，
即，
解得：.
故選：A．
5．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知各項均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足，，成等差數(shù)列．其前項和為，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
先根據(jù)，，成等差數(shù)列以及單調(diào)遞減，求出公比，再由即可求出，
再根據(jù)等比數(shù)列通項公式以及前項和公式即可求出.
【詳解】
解：由，，成等差數(shù)列，
得：，
設(shè)的公比為，則，
解得：或，
又單調(diào)遞減，
，
，
解得：，
數(shù)列的通項公式為：，
.
故選：C．
6．（2019·山東·青島二中高三階段練習(xí)（文））已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，其公比且，若，，則（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【分析】
由基本不等式可得，由等號取不到可得答案.
【詳解】
由題意可得四個正數(shù)滿足，，
由等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，
由基本不等式可得，
又公比，故，上式取不到等號，
，即.
故選：A.
【點睛】
本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.
7．（2021·廣東·紅嶺中學(xué)二模）已知等差數(shù)列的公差為，且、、成等比數(shù)列，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計算得到答.
【詳解】
由成等比數(shù)列得，即，
已知，解得.
故選：C.
【點睛】
本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本量的計算.
8．（2021·北京育英中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的值是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【分析】
利用已知等差等比數(shù)列中的項求得公差公比，再計算比值即可.
【詳解】
由題意可知：數(shù)列成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
則4=1+3d，解得d=1，∴a1=1+1=2，a2=1+2d=3.
∵數(shù)列成等比數(shù)列，設(shè)公比為 q，
則4=q4,解得q2=2，∴b2=q2=2.
則.
故選：A.
【點睛】
本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題.
9．（2020·寧夏·銀川二中一模（理））設(shè)等比數(shù)列的前項和為,已知成等差數(shù)列,且,則（ ）
A．3B．6C．8D．9
【答案】C
【分析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,分與結(jié)合成等差數(shù)列利用等比數(shù)列求和公式求得,再根據(jù)等比數(shù)列各項間的關(guān)系求解即可.
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,首項是,
當(dāng)時,有、、,不滿足成等差數(shù)列；
當(dāng)時,因為成等差數(shù)列,所以,
化簡得,解得或（舍去）,
則,故,
即,故.
故選：C
【點睛】
本題考查等比數(shù)列的前項和公式、通項公式,分類討論思想,使用等比數(shù)列的前項和公式時需要對公比與1的關(guān)系進行討論.同時也考查了等比數(shù)列各項間的關(guān)系,屬于中檔題.
二、多選題
10．（2020·江蘇南通·高三期中）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個選項中不正確的有（ ）
A．若數(shù)列的前項和，，為常數(shù)）則數(shù)列為等差數(shù)列
B．若數(shù)列的前項和，則數(shù)列為等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，為前項和，則，，，仍為等差數(shù)列
D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，為前項和，則，，，仍為等比數(shù)列；
【答案】ABD
【分析】
根據(jù)題意，結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)依次分析選項，綜合即可得的答案.
【詳解】
根據(jù)題意，依次分析選項：
對于，若數(shù)列的前項和，
若，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列為等差數(shù)列，
若，則數(shù)列從第二項起為等差數(shù)列，故不正確；
對于，若數(shù)列的前項和，
可得，，，
則，，成等比數(shù)列，則數(shù)列不為等差數(shù)列，故不正確；
對于，數(shù)列是等差數(shù)列，為前項和，則，，，，即為，，，，
即為為常數(shù)，仍為等差數(shù)列，
故正確；
對于，數(shù)列是等比數(shù)列，為前項和，則，，，不一定為等比數(shù)列，
比如公比，為偶數(shù)，，，，，均為0，不為等比數(shù)列.故不正確.
故選：.
【點睛】
本題考查等差、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于?？碱}.
11．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項為1，公差，前n項和為，則下列結(jié)論成立的有
A．?dāng)?shù)列的前10項和為100
B．若成等比數(shù)列，則
C．若，則n的最小值為6
D．若，則的最小值為
【答案】AB
【分析】
由已知可得:,,,則數(shù)列為等差數(shù)列通過公式即可求得前10項和;通過等比中項可驗證B選項;因為 ,通過裂項求和可求得;由等差的性質(zhì)可知利用基本不等式可驗證選項D錯誤.
【詳解】
由已知可得:,,
,則數(shù)列為等差數(shù)列,則前10項和為.所以A正確;
成等比數(shù)列,則,即,解得故B正確;
因為所以,解得,故的最小值為7,故選項C錯誤;等差的性質(zhì)可知,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,即時取等號,因為,所以不成立,故選項D錯誤.
故選:AB.
【點睛】
本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查裂項求和,等比中項,和基本不等式求最值,難度一般.
三、填空題
12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則其公比q等于________．
【答案】
【分析】
由，，成等差數(shù)列，根據(jù)等差中項的定義結(jié)合等比數(shù)列的通項列出方程，求出q即可.
【詳解】
∵，，成等差數(shù)列，
∴，即，
∴，
∴，
∴或 (舍)．
∴.
故答案為：.
13．（2019·江蘇·無錫市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)等比數(shù)列的前項和為.若，，成等差數(shù)列，且，則的值為________．
【答案】
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列列式，代入等比數(shù)列前項和公式，計算得，從而求解.
【詳解】
∵，，成等差數(shù)列，∴，由題意，
∴，可得，所以
∴.
故答案為：.
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中公比，若，，記數(shù)列的前n項和為，則的最大值為_______
【答案】18
【分析】
根據(jù)題意和等比數(shù)列的性質(zhì)，求得，，進而求得等比數(shù)列的通項公式，得到，在由等差數(shù)列的求和公式，得到，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】
因為為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比，
由，
可得，為方程的兩根，又由，所以，，
得，即，所以，
由，所以為等差數(shù)列，
所以，則，即數(shù)列也為等差數(shù)列，
所以，
結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當(dāng)或9時，最大，最大值為18．
故答案為：18．
15．（2021·內(nèi)蒙古·赤峰二中高三階段練習(xí)（理））設(shè)數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則________.
【答案】
【分析】
由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式可得，再由等比數(shù)列的前n項和公式即可得結(jié)果.
【詳解】
由題意可得：，，
所以
故答案為：
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則_______.
【答案】
【分析】
根據(jù)三項成等差數(shù)列可構(gòu)造方程求得等比數(shù)列的公比滿足，將所求式子化為和的形式，化簡可得結(jié)果.
【詳解】
，，成等差數(shù)列
即：，解得：
本題正確結(jié)果：
【點睛】
本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠求解出等比數(shù)列的基本量，屬于基礎(chǔ)題.
17．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）為公差不為0的等差數(shù)列，且恰為等比數(shù)列，其中，則為_______．
【答案】
【分析】
設(shè)數(shù)列為，利用等比中項運算可求出等差數(shù)列的首項以及通項公式，進而由求出的公比，再用可得．
【詳解】
設(shè)數(shù)列為，
則，∵，∴
即，∴，∴，∴，
設(shè)的公比為q，則，∴
即，∴．
故答案為：
18．（2021·全國·高三專題練習(xí)）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列，記是數(shù)列的前n項和，則________.
【答案】126
【分析】
設(shè)等比數(shù)列公比為,再根據(jù),,成等差數(shù)列以及基本量法求解,再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求即可.
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列公比為,因為,,成等差數(shù)列,故,又,故,即,因為,故.故.
故答案為：
【點睛】
本題主要考查了等差等比數(shù)列的綜合運用,包括基本量的用法以及等比數(shù)列求和公式等.屬于中檔題.
19．（2021·河南·高三階段練習(xí)（理））設(shè)為等比數(shù)列的前n項和，若，且成等差數(shù)列，則_________.
【答案】
【分析】
由題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進而可得，由等比數(shù)列的通項公式即可得解.
【詳解】
，，成等差數(shù)列，
即，
，等比數(shù)列的公比，
.
故答案為：.
【點睛】
本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
20．（2021·甘肅省民樂縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若數(shù)列是等差數(shù)列，，滿足，且，則數(shù)列的通項公式為______.
【答案】或
【分析】
設(shè)數(shù)列的公差為，則，根據(jù)，可得，再聯(lián)立，即可求得，即可求出數(shù)列的通項公式.
【詳解】
解：設(shè)數(shù)列的公差為，則
解得
代入已知條件得整理得解得或
或
當(dāng)時；
當(dāng)時
故答案為：或
【點睛】
本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式的計算，屬于基礎(chǔ)題.
四、解答題
21．（2021·河南·濮陽一高高三階段練習(xí)（理））已知Sn是等差數(shù)列的前n項和，從以下3個條件中任選一條，回答問題.①，，②公差，③，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若等比數(shù)列滿足公比，，求數(shù)列的前n項和.
【答案】答案見解析.
【分析】
（Ⅰ）直接利用關(guān)系式的變換求出數(shù)列的首項和公差，進一步求出數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）利用等比數(shù)列的關(guān)系式的變換求出通項公式，進一步利用錯位相減，求出數(shù)列的和.
【詳解】
解;（Ⅰ）選①時，設(shè)數(shù)列的公差為d，
則，，
整理得，
解，故.
選②時，公差，
所以，解得，
故.
選③時，
由，.
得，故，
所以
（Ⅱ）等比數(shù)列滿足公比，，
所以，解得（舍）或，
所以，故.
設(shè)，
所以①，
②，
①﹣②得，
所以.
【點睛】
本題的核心是考查錯位相減求和.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差整理求解．
22．（2021·黑龍江·牡丹江一中高三期中（理））已知等比數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，其中.
（1）分別求數(shù)列和的通項公式；
（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用，和等比數(shù)列的定義即可得出；利用已知條件和累乘法即可得出的通項公式；（2）先利用已知條件得到，，再利用錯位相減法求解即可.
【詳解】
（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由已知，
可得，
兩式相減可得，
即，
整理得，
可知，
已知，
令，
得，
即，
解得，
故等比數(shù)列的通項公式為；
由得：
，
那么，
以上個式子相乘，
可得，
，
又滿足上式，
所以的通項公式.
（2）若在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，
則，
即為，
整理得，
所以，
，
兩式相減得：
，
所以.
【點睛】
方法點睛：
由數(shù)列前項和求通項公式時，一般根據(jù)求解；
數(shù)列求和的方法：
（1）等差等比公式法；（2）裂項相消法；（3）錯位相減法；（4）分組（并項）求和法；（5）倒序相加法.
23．（2021·廣東惠州·一模）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，.
（1）求和的通項公式；
（2）數(shù)列和中的所有項分別構(gòu)成集合，，將的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個新數(shù)列，求數(shù)列的前60項和.
【答案】（1），；（2）.
【詳解】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由，
∴，，
∴，.
（2）當(dāng)?shù)那?0項中含有的前6項時，令，
此時至多有項（不符）.
當(dāng)?shù)那?0項中含有的前7項時，令，
且，，是和的公共項，則的前60項中含有的前7項且含有的前56項，再減去公共的三項.
∴.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是分析新數(shù)列是由和中的哪些選項構(gòu)成的，還要注意去掉公共項.
24．（2021·江蘇·高三開學(xué)考試）已知集合，，將中所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項和為．
（1）若，求m的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）2282.
【分析】
（1）由，則數(shù)列中前m項中含有A中的元素為2，4，6，…，26，共有13項，有B中的元素為3，9，27，共有3項，從而得出答案.
（2）根據(jù)題意可得數(shù)列中前50項中含有B中的元素為3，9，27，81共有4項，數(shù)列中前50項中含有A中的元素為，共有46項，分組可求和.
【詳解】
解：（1）因為，
所以數(shù)列中前m項中含有A中的元素為2，4，6，…，26，共有13項，
數(shù)列中前m項中含有B中的元素為3，9，27，共有3項，
所以．
（2）因為，，
所以數(shù)列中前50項中含有B中的元素為3，9，27，81共有4項
所以數(shù)列中前50項中含有A中的元素為，共有46項，
所以．
25．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知正項等差數(shù)列的前項和為，若構(gòu)成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式.
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證:
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，即可求出通項公式.
（2）利用裂項相消法即可求出數(shù)列的和，進而利用不等式放縮即可證明結(jié)果.
【詳解】
（1）由為等差數(shù)列，
得，則
又構(gòu)成等比數(shù)列，
所以，
即
解得或(舍)，
所以;
（2）因為，
所以
26．（2022·河北·高三專題練習(xí)）已知正項等差數(shù)列滿足，且、、成等比數(shù)列，數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，，成等比數(shù)列，得，再由可求出公差為，從而可求出，則，再由可知數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，從而可求出，進而可得數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）可得，再利用裂項求和法可求出
【詳解】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因為，，成等比數(shù)列，所以．
所以，整理得，
將代入得，解得或，
由于是正項等差數(shù)列，舍去，即．所以，．因為，
所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，即．
（2）因為，，所以，
所以，
故．
所以數(shù)列的前n項和．
27．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，=1，且，，成等差數(shù)列．
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先由已知求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可求出；
（2）由（1）先得到數(shù)列的通項公式，再利用等差等比公式法求和即可．
【詳解】
（1）因為數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，
，，
設(shè)數(shù)列的公比為，
則，
解得，或（舍），
所以；
（2）因為，
由（1）知：，
則，
設(shè)數(shù)列的前n項和為，
則


，
數(shù)列的前n項和為：.
28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）
已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0， ，.
（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；
（2）求{an}和{bn}的通項公式.
【答案】（1）見解析；（2），．
【分析】
(1)可通過題意中的以及對兩式進行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)可通過(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項公式即可得出結(jié)果．
【詳解】
(1)由題意可知，，，，
所以，即，
所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，，
因為，
所以，數(shù)列是首項、公差為的等差數(shù)列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．

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