命題范圍：第一章----第四章 指數(shù)函數(shù)
第I卷 選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（2022·四川綿陽·一模（理））已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·廣東·廣州市第一中學(xué)高一期中）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高一期中）設(shè)函數(shù)，則滿的x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·北京通州·高一期中）函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·山西·太原五中高一階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且在上是減函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·廣東·高一期中）已知函數(shù)，，若對于任意，均有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·河南南陽·高一期中）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意，當(dāng)時，都有，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）．
A．B．
C．D．
8．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高一期中）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足下列條件：
①對任意的實數(shù)，都有；
②對任意的實數(shù)，都有；
③.則下列說法正確的有（ ）
A．
B．
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．不等式> 0的解集為
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.
9．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知函數(shù)，則（ ）
A．B．為奇函數(shù)
C．在上單調(diào)遞增D．的圖象關(guān)于點對稱
10．（2022·廣東·東莞四中高一階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則下列說法正確的是（ ）
A．的定義域為B．存在最值
C．是減函數(shù)D．不具有奇偶性
11．（2022·福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則下列選項正確的是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·河南南陽·高一期中）若滿足對任意的實數(shù)a，b都有，且，則下列判斷正確的有（ ）．
A．是奇函數(shù)
B．在定義域上單調(diào)遞減
C．當(dāng)時，函數(shù)
D．
第II卷 非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（2022·江蘇·西安交大蘇州附中高一階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為__________.
14．（2022·天津河?xùn)|·高一期中）已知，，，則a，b，c三者的大小關(guān)系______．
15．（2022·上海市市西中學(xué)高一期中）已知冪函數(shù)，且，則的取值范圍是__________．
16．（2021·四川師范大學(xué)附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（2022·江蘇·宿遷市第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，不等式解的集合為A，集合．
(1)求集合A
(2)若，且是的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．
18．（2022·廣東·高一期中）設(shè)函數(shù).
(1)請判斷并證明的奇偶性；
(2)當(dāng)時，若，且在上的最小值為，求實數(shù)的值.
19．（2022·北京通州·高一期中）已知函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求實數(shù)的值；
(2)用定義證明函數(shù)是增函數(shù)；
(3)解不等式.
20．（2022·廣東·高一期中）某醫(yī)療器械工廠計劃在2022年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款電子儀器，通過分析，生產(chǎn)此款電子儀器全年需投入固定成本200萬元，每生產(chǎn)（千部）電子儀器，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每1千部電子儀器售價500萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的電子儀器當(dāng)年能全部銷售完．
(1)求出2022年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千部）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤＝銷售額－成本）
(2)2022年產(chǎn)量為多少千部時，該生產(chǎn)商所獲利潤最大?最大利潤是多少?
21．（2019·山東·嘉祥縣第一中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)是定義域的奇函數(shù)．
(1)求值；
(2)若，試判斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式在定義域上恒成立的的取值范圍；
(3)若，且在上最小值為，求的值．
22．（2022·湖南省臨澧縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）對任意的函數(shù)滿足對任意的a，b都有，且當(dāng)時，.
(1)判斷的奇偶性，并加以證明；
(2)判斷的單調(diào)性，并加以證明；
(3)對任意的都有不等式恒成立，求的取值范圍.
專題28 高一上學(xué)期期中模擬試卷2(集合--指數(shù)函數(shù)）（B）
命題范圍：第一章----第四章 指數(shù)函數(shù)
第I卷 選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（2022·四川綿陽·一模（理））已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解不等式，再求交集即可.
【詳解】由，可得，
由，可得，
所以.
故選：B
2．（2022·廣東·廣州市第一中學(xué)高一期中）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用充分條件和必要條件的定義求解即可.
【詳解】因為當(dāng)時一定有；當(dāng)時，或，
所以“”是“”充分不必要條件，
故選：A.
3．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高一期中）設(shè)函數(shù)，則滿的x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先畫圖，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，列式求的取值范圍.
【詳解】由條件畫圖可得，
可知， ，解得：.
故選：D
4．（2022·北京通州·高一期中）函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意要使函數(shù)有意義，則，解之即可.
【詳解】要使函數(shù)有意義，則， ，，
故函數(shù)的定義域為：
故選：C
5．（2022·山西·太原五中高一階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且在上是減函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】結(jié)合冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，運用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.
【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且在上是減函數(shù)可知且為奇數(shù)，又，故，代入得，，由的單調(diào)性得，解得：
故選：B
6．（2022·廣東·高一期中）已知函數(shù)，，若對于任意，均有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】問題等價于在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式可求取范圍.
【詳解】設(shè)，恒成立，即恒成立，
時，恒成立，即恒成立，
時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴的最小值為4．
∴，解得，實數(shù)的取值范圍是．
故選：C．
7．（2022·河南南陽·高一期中）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意，當(dāng)時，都有，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】構(gòu)造函數(shù)，由題設(shè)條件證得在R上單調(diào)遞增，再將題干中不等式轉(zhuǎn)化為，由的單調(diào)性得可，從而求得，即求得所求不等式的解集.
【詳解】因為對任意，當(dāng)時，都有，即，
令，則在R上單調(diào)遞增，
因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，
由得，即，
所以由的單調(diào)性得，即，即，
所以，即的解集為.
故選：B.
8．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高一期中）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足下列條件：
①對任意的實數(shù)，都有；
②對任意的實數(shù)，都有；
③.則下列說法正確的有（ ）
A．
B．
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．不等式> 0的解集為
【答案】A
【分析】選項A，令，代入求解即可判定；選項B，由函數(shù)是奇函數(shù)，可判定；選項C，任取，，結(jié)合，即可判定；選項D，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，以及，即可求解判定.
【詳解】選項A，令，正確；
選項B，由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，錯誤；
選項C，任取，，
即，又，故，
故，即，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，錯誤；
選項D，由選項B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又是定義在R上的奇函數(shù)，故在上也單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時，的解為，當(dāng)時，由，的解為，故不等式> 0的解集為，錯誤.
故選：A
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.
9．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知函數(shù)，則（ ）
A．B．為奇函數(shù)
C．在上單調(diào)遞增D．的圖象關(guān)于點對稱
【答案】AD
【分析】得，再代入求判斷A；由函數(shù)定義域即可判斷求B；由圖象平移可判斷的區(qū)間單調(diào)性和對稱中心，從而判斷C、D.
【詳解】因為，則，故A正確；
由解析式知定義域為，顯然不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)，故B錯誤；
的圖象可看作是由反比例函數(shù)的圖象向右移動1個單位長度得到，
故在上遞減且關(guān)于對稱，故C錯誤，D正確．
故選：AD．
10．（2022·廣東·東莞四中高一階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則下列說法正確的是（ ）
A．的定義域為B．存在最值
C．是減函數(shù)D．不具有奇偶性
【答案】CD
【分析】采用待定系數(shù)法，由可求得解析式；根據(jù)冪函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和奇偶性的判斷方法可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則，解得：，；
對于A，的定義域為，A錯誤；
對于B，的值域為，無最值，B錯誤；
對于C，，在上是減函數(shù)，C正確；
對于D，定義域不關(guān)于原點對稱，不具有奇偶性，D正確.
故選：CD.
11．（2022·福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則下列選項正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】對于AD，當(dāng)時，不成立；對于BC，用作差法比較大小即可.
【詳解】當(dāng)時，A錯誤；
因為，所以，所以，所以B正確；
因為，所以，所以C正確；
當(dāng)時，D錯誤；
故選：BC.
12．（2022·河南南陽·高一期中）若滿足對任意的實數(shù)a，b都有，且，則下列判斷正確的有（ ）．
A．是奇函數(shù)
B．在定義域上單調(diào)遞減
C．當(dāng)時，函數(shù)
D．
【答案】CD
【分析】利用新定義函數(shù)的性質(zhì)進行判斷，計算出判斷A；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷出；先利用證明對所有的有理數(shù)，都有，然后用無理數(shù)都可以看作一個有理數(shù)的極限，由極限的性質(zhì)得出，這樣就可判斷；根據(jù)定義計算，然后求出選項的和即可.
【詳解】對于選項A，令，則，即，
所以，所以函數(shù)不可能是奇函數(shù)，故A錯誤；
對于選項，對于任意的，，若存在，使得，
則，與矛盾，故對于任意的，，所以任意的，，
因為，所以對于任意的正整數(shù)，，所以，
同理，
對任意正有理數(shù)，顯然有（是互質(zhì)的正整數(shù)），
則，
對任意正無理數(shù)，可看作是某個有理數(shù)的極限，
而，所以是的極限，所以，
綜上，對所有的正實數(shù)，都有，故正確；
對于選項，設(shè)，則，由對選項的分析可知：當(dāng)時，則有，故，所以函數(shù)是增函數(shù)，故錯誤；
對于選項，由已知可知，所以，所以，
故正確，
故選：.
第II卷 非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（2022·江蘇·西安交大蘇州附中高一階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為__________.
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)有意義，列出不等式組，求出定義域.
【詳解】有題意得：，解得：且，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
14．（2022·天津河?xùn)|·高一期中）已知，，，則a，b，c三者的大小關(guān)系______．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小．
【詳解】解：，，
構(gòu)造函數(shù)，為R上的遞增函數(shù)，
，
．
故答案為：．
15．（2022·上海市市西中學(xué)高一期中）已知冪函數(shù)，且，則的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性列不等式組即可求解.
【詳解】,
，
且函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而，
，解得.
故答案為：
16．（2021·四川師范大學(xué)附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可得，令，則是單調(diào)增函數(shù)且，進而可得，對恒成立，結(jié)合一元二次不等式恒成立即可求解.
【詳解】，
，
有，又為單調(diào)增函數(shù)，
令，可得是單調(diào)增函數(shù)，且，
由得，
即，即對恒成立．
當(dāng)時顯然成立；
當(dāng)時，需，解得，
綜上可得．
故答案為：.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（2022·江蘇·宿遷市第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，不等式解的集合為A，集合．
(1)求集合A
(2)若，且是的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)和的大小分類討論得集合；
（2）由（1）得集合，由充分條件得包含關(guān)系，再由集合的包含關(guān)系得不等式組求解．
【詳解】（1）等價于，對應(yīng)方程的根為
①當(dāng)，則；
②當(dāng)，則；
③當(dāng)，則；
（2）因為是的充分條件，所以．
所以， 故a的取值范圍為．
18．（2022·廣東·高一期中）設(shè)函數(shù).
(1)請判斷并證明的奇偶性；
(2)當(dāng)時，若，且在上的最小值為，求實數(shù)的值.
【答案】(1)當(dāng)為正奇數(shù)時，為奇函數(shù).；當(dāng)為正偶數(shù)時，為非奇非偶函數(shù).
(2)1
【分析】（1）分為正奇數(shù)和為正偶數(shù)兩種類型討論，研究函數(shù)定義域，比較和的關(guān)系得出奇偶性的結(jié)論.
（2），設(shè)，在上的最小值為，等價于函數(shù)在上的最小值為，討論函數(shù)單調(diào)性，計算最小值，求實數(shù)的值.
【詳解】（1）當(dāng)為正奇數(shù)時，定義域為，由可得，則有，即為奇函數(shù).；
當(dāng)為正偶數(shù)時，定義域為，由，，
可得且，所以為非奇非偶函數(shù).
（2）當(dāng)時，，
則
設(shè)，因為，所以；
問題等價于函數(shù)在上的最小值為；
一元二次函數(shù)的圖像拋物線開口向上，對稱軸為；
當(dāng)時，有，得；
當(dāng)時，有，得（舍去）；
綜上所述：實數(shù)的值為1.
19．（2022·北京通州·高一期中）已知函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求實數(shù)的值；
(2)用定義證明函數(shù)是增函數(shù)；
(3)解不等式.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)可得；
（2）利用定義法直接證明函數(shù)的單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解不等式.
【詳解】（1）由函數(shù)是奇函數(shù)，
得，
解得；經(jīng)檢驗成立
（2）由（1）得，
任取，，且，即，，
則，
即，
所以函數(shù)是增函數(shù)；
（3）由（1）得，函數(shù)為奇函數(shù)，，
則，
又由（2）得，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，即，
解得，
所以該不等式的解集為.
20．（2022·廣東·高一期中）某醫(yī)療器械工廠計劃在2022年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款電子儀器，通過分析，生產(chǎn)此款電子儀器全年需投入固定成本200萬元，每生產(chǎn)（千部）電子儀器，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每1千部電子儀器售價500萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的電子儀器當(dāng)年能全部銷售完．
(1)求出2022年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千部）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤＝銷售額－成本）
(2)2022年產(chǎn)量為多少千部時，該生產(chǎn)商所獲利潤最大?最大利潤是多少?
【答案】(1)
(2)2022年產(chǎn)量為千部時，該生產(chǎn)商所獲利潤最大，最大利潤是3800萬元
【分析】（1）根據(jù)題意，建立分段函數(shù)模型得；
（2）結(jié)合（1）的函數(shù)模型，分類討論求解最值即可得答案．
【詳解】（1）銷售千部手機獲得的銷售額為：
當(dāng)時，
當(dāng)時，
故
（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立
因為，
所以當(dāng)(千部)時，所獲利潤最大，最大利潤為3800萬元．
21．（2019·山東·嘉祥縣第一中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)是定義域的奇函數(shù)．
(1)求值；
(2)若，試判斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式在定義域上恒成立的的取值范圍；
(3)若，且在上最小值為，求的值．
【答案】(1)
(2)在上單調(diào)遞增；
(3)
【分析】（1）由函數(shù)為奇函數(shù)得，解方程即可；
（2）由確定的取值范圍，進而判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得二次不等式恒成立，求得參賽范圍；
（3）由可得，進而可得函數(shù)，再利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，分情況討論二次函數(shù)最值即可.
（1）
是定義域為的奇函數(shù)，
，即，
解得；經(jīng)檢驗成立
（2）
因為函數(shù)（且），
又，
，又，
，
由于單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，
不等式化為．
，即恒成立，
，解得；
（3）
由已知，得，即，解得，或（舍去），
，
令，是增函數(shù)，
，，
則，
若，當(dāng)時，，解得,不成立；
若，當(dāng)時，，解得，成立；
所以．
22．（2022·湖南省臨澧縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）對任意的函數(shù)滿足對任意的a，b都有，且當(dāng)時，.
(1)判斷的奇偶性，并加以證明；
(2)判斷的單調(diào)性，并加以證明；
(3)對任意的都有不等式恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）首先函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱且，得證；
（2）先設(shè)，，結(jié)合題意可證在上單調(diào)遞增.，再由為偶函數(shù)，可證得在上單調(diào)遞減；
（3）根據(jù)已知和單調(diào)性去掉函數(shù)符號，然后分離參數(shù)，解不等式即可得出答案.
【詳解】（1）為偶函數(shù)，證明如下：
∵函數(shù)的定義域為，令，
，
令，所以，解得：，
令，所以，解得：，
所以，∴為偶函數(shù).
（2）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 證明如下：
證明：且
因為，
所以，
，，，
即，在上單調(diào)遞增.
由（1）知，為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.
（3）對任意的都有不等式恒成立,
所以對任意的恒成立,
因為為偶函數(shù)，由（2）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以對任意的恒成立，
當(dāng)時，，
所以，
則或.
故的取值范圍為.

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