考點分類講解
考點一：空間直線、平面位置關系的判定
判斷空間直線、平面位置關系的常用方法
(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質定理逐項判斷，解決問題．
(2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型觀察線、面的位置關系，并結合有關定理進行判斷．
規(guī)律方法 對于線面關系的存在性問題，一般先假設存在，然后再在該假設條件下，利用線面位置關系的相關定理、性質進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足，則假設成立；若得出矛盾，則假設不成立．
【例1】（多選）(2023·廣州模擬)已知直線m與平面α有公共點，則下列結論一定正確的是( )
A．平面α內(nèi)存在直線l與直線m平行
B．平面α內(nèi)存在直線l與直線m垂直
C．存在平面β與直線m和平面α都平行
D．存在過直線m的平面β與平面α垂直
【變式1】（2024·吉林白山·二模）已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，且，則下列說法正確的是（ ）
A．“//”是“”的充分不必要條件
B．“”是“”的必要不充分條件
C．若異面，則有公共點
D．若有公共點，則有公共點
【變式2】（2024·江西鷹潭·一模）設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，，則
C．若，，則D．若，，則
【變式3】（22-23高三上·河南安陽·階段練習）已知平面，交于直線 ，直線，滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
考點二：空間平行、垂直關系
平行關系及垂直關系的轉化
考向1 平行、垂直關系的證明
規(guī)律方法 (1)證明線線平行的常用方法
①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質定理；④面面平行的性質定理．
(2)證明線線垂直的常用方法
①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質證線線垂直．
【例2】(2023·全國甲卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)設AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高．
【變式1】（2023·全國·模擬預測）已知是兩個不同的平面，是平面外兩條不同的直線，給出四個條件：①；②；③；④，以下四個推理與證明中，其中正確的是 .（填寫正確推理與證明的序號）
（1）已知②③④，則①成立
（2）已知①③④，則②成立
（3）已知①②④，則③成立
（4）已知①②③，則④成立
【變式2】（23-24高三上·遼寧·期末）如圖，在五棱錐中，平面，，，，，，.

(1)求證：平面平面；
(2)已知直線與平面所成的角為，求點到平面的距離.
考向2 翻折問題
翻折問題，關鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關系的變與不變，一般地，位于“折痕”同側的點、線、面之間的位置和數(shù)量關系不變，而位于“折痕”兩側的點、線、面之間的位置關系會發(fā)生變化；對于不變的關系應在平面圖形中處理，而對于變化的關系則要在立體圖形中解決．
易錯提醒 注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關系．對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關系與數(shù)量關系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關系．
【例3】（多選）(2023·山東名校大聯(lián)考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻折的過程中，下面四個命題中正確的是( )
A．BM的長是定值 B．點M的運動軌跡在某個圓周上
C．存在某個位置，使DE⊥A1C D．A1不在底面BCD上時，MB∥平面A1DE
【變式1】（多選）（23-24高三上·福建莆田·階段練習）如圖，在邊長為的正方形中，為中點，現(xiàn)分別沿將翻折，使點重合，記為點，翻折后得到三棱錐，則（ ）

A．三棱錐的體積為
B．直線與直線所成角的余弦值為
C．直線與平面所成角為
D．三棱錐外接球的表面積為
【變式2】（多選）（2024高三·全國·專題練習）M，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點，將菱形沿對角線AC折起，使點D不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過程中，下列結論正確的有（ ）
A．平面ABD
B．異面直線AC與MN所成的角為定值
C．設菱形ABCD邊長為a，，當二面角為120°時，棱錐的外接球表面積為
D．若存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直，則∠ABC的取值范圍是
【變式3】（多選）（23-24高三上·廣東佛山·階段練習）如圖，平面四邊形ABCD中，是等邊三角形，且，M是AD的中點．沿BD將翻折，折成三棱錐，翻折過程中下列結論正確的是（ ）
A．當平面平面BDC時，三棱錐的外接球的表面積是
B．棱CD上存在一點N，使得平面ABC
C．存在某個位置，使得CM與BD所成角為銳角
D．三棱錐的體積最大時，二面角的正切值為
強化訓練
一、單選題
1．（23-24高三上·江蘇南京·期中）設，，是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，有下列命題中，真命題為（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
2．（2024·山東煙臺·一模）設為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若與所成的角相等，則
C．若，則
D．若，則
3．（22-23高三下·河北承德·階段練習）已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
4．（2023·河南新鄉(xiāng)·二模）在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·浙江嘉興·二模）已知正方體的棱長為為空間內(nèi)一點且滿足平面，過作與平行的平面，與交于點，則（ ）
A．1B．C．D．
6．（2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點，且，點在線段上，則點到直線距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．E．均不是
7．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知正方體的棱長為為棱的中點，為側面的中心，過點的平面垂直于，則平面截正方體所得的截面面積為（ ）
A．B．
C．D．
8．（22-23高三·江西·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，點滿足，，其中，在下列說法中正確的是（ ）
①存在，使得
②存在，使得平面
③當時，取最小值
④當時，存在，使得
A．①②B．②③C．③④D．②④
二、多選題
1．（2023·安徽安慶·三模）如圖，已知四邊形是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，，將沿對角線翻折到在翻折的過程中，下列結論中正確的是（ ）

A．
B．與可能垂直
C．四面體的體積的最大值是
D．直線與平面所成角的最大值是
2．（2023·全國·模擬預測）在直角梯形中，，，，，，在上，，在上，．將沿直線翻折至的位置，將四邊形沿翻折至四邊形的位置，使，則（ ）
A．與所成的角為
B．平面平面
C．直線與平面所成的角為
D．四棱錐的體積
3．（2023·浙江嘉興·模擬預測）如圖，在中，，，，過中點的直線與線段交于點．將沿直線翻折至，且點在平面內(nèi)的射影在線段上，連接交于點，是直線上異于的任意一點，則（ ）

A．
B．
C．點的軌跡的長度為
D．直線與平面所成角的余弦值的最小值為
三、填空題
1．（22-23高三·全國·課時練習）若直線l與直線m垂直，平面，則l與的位置關系是 ．
2．（2024高三·全國·專題練習）以下四個命題中，真命題的個數(shù)為 ．
（1）不共面的四點中，其中任意三點不共線；
（2）若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；
（3）若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；
（4）依次首尾相接的四條線段必共面．
3．（2023高三·全國·專題練習）設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：
①若，∥，則；
②若，，∥，則；
③若∥，，則∥；
④若，，則∥.
其中正確命題的序號有 ．
四、解答題
1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，對角線交于點平面，平面是過直線的一個平面，與棱交于點，且．求證：；

2．（2024高三·全國·專題練習）在正方體中，E和F分別為BC和的中點．
(1)判斷直線EF和直線的位置關系，并說明理由；
(2)判斷直線和直線的位置關系，并說明理由．
3．（23-24高三上·福建龍巖·期中）如圖，在正三棱錐中，分別為的中點．
(1)求證：四邊形為矩形．
(2)若四邊形為正方形，求直線與平面所成角的正弦值．
4．（2024高三·全國·專題練習）如圖，四面體中，，，，為的中點．

(1)證明：平面平面；
(2)設，，點在上；
①點為中點，求與所成角的余弦值；
②當?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．
5．（2023高三·全國·專題練習）利用定義法、向量法證明直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．

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