第15講圓錐曲線的方程與性質(zhì)（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）-沖刺985、211名校高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)培優(yōu)全攻略（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)分類講解
考點(diǎn)一:圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
1．圓錐曲線的定義
(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(00)共漸近線bx±ay＝0的雙曲線方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
考向1 橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)
【例2】（2024·山東聊城·一模）設(shè)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若的一條漸近線的傾斜角為，且，則的焦距等于（）
A．1B．C．2D．4
【變式1】（2024·湖北·二模）已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線的傾斜角分別為，則；當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為．
【變式2】（23-24高三上·重慶·期末）已知，分別是雙曲線C：（）的左、右焦點(diǎn)，過作一直線交C于M，N兩點(diǎn)，若，且的周長為1．則C的焦距為．
【變式3】2024高三上·全國·競賽）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，的斜率為2，則的斜率為．
考向2 離心率問題
【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，直線過點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好在橢圓上，且，則的離心率為（）
A．B．C．D．
【變式1】（2024·湖北·二模）已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【變式2】（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線都相交且交點(diǎn)都在軸左側(cè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【變式3】（2024·陜西西安·二模）如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，三點(diǎn)共線，若直線的斜率為，直線的斜率為，則雙曲線的離心率是（）
A．B．C．D．3
考點(diǎn)三：拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用
拋物線的焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常見結(jié)論
設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，弦AB的長最短為2p.
規(guī)律方法利用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，要注意利用定義構(gòu)造與焦半徑相關(guān)的幾何圖形(如三角形、直角梯形等)來溝通已知量與p的關(guān)系，靈活運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)弦的特殊結(jié)論，使問題簡單化且減少數(shù)學(xué)運(yùn)算．
【例4】（22-23高三下·河南安陽·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在拋物線上．若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，．
【變式1】（2024·新疆烏魯木齊·二模）拋物線過點(diǎn)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【變式2】（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)E是C的準(zhǔn)線與C的對(duì)稱軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若，則（）
A．B．C．D．
【變式3】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）焦點(diǎn)為的拋物線上有一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
強(qiáng)化訓(xùn)練
一、單選題
1．（2024·廣東·一模）雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為（）
A．B．1C．D．
2．（23-24高三上·北京西城·期末）已知雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是，漸近線為，則C的方程是（）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三下·貴州·階段練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）
A．7B．9C．13D．15
4．（2023·四川南充·模擬預(yù)測）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距等于，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．或B．或C．D．
5．（2023·甘肅酒泉·三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
6．（23-24高三下·四川·期末）雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，已知到雙曲線H的一條漸近線的距離為，則為（）
A．4B．C．6D．8
7．（2024高三·全國·專題練習(xí)）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，已知，且，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
8．（2024·遼寧·一模）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，且軸，若，則的長軸長為（）
A．B．C．D．
二、多選題
1．（2024·遼寧·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則以下命題正確的是（）
A．的最小值是2
B．
C．當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4時(shí)，存在點(diǎn)，使得
D．若是等邊三角形，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3
2．（2024·安徽阜陽·一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為兩點(diǎn)都在上，，三點(diǎn)共線，（不與重合）為上頂點(diǎn)，則（）
A．的最小值為4B．為定值
C．存在點(diǎn)，使得D．
3．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）點(diǎn)在拋物線上，為其焦點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，，則下列說法正確的是（）
A．的最小值為.
B．周長的最小值為.
C．當(dāng)最大時(shí)，直線的方程為.
D．過作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，的橫坐標(biāo)是1.
三、填空題
1．（2024·陜西榆林·二模）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，寫出的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程： .
2．（23-24高三下·上海·階段練習(xí)）若直線經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且與該雙曲線的一條漸近線平行，則該雙曲線的方程為 .
3．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，一個(gè)酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬，杯深，稱為拋物線酒杯. 在杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的最大值為 .
四、解答題
1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.過點(diǎn)做兩條互相垂直的弦、，設(shè)弦、的中點(diǎn)分別為.
(1)求拋物線的方程；
(2)過焦點(diǎn)作，且垂足為，求的最大值.
2．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線：的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．過的左焦點(diǎn)F作直線交的左支于A、B兩點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若，試問：是否存在直線，使得點(diǎn)M在以為直徑的圓上?請(qǐng)說明理由．
(3)點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．
3．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測）已知橢圓E：過點(diǎn)，離心率為．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過橢圓E的右焦點(diǎn)F作斜率為的直線l交橢圓E于點(diǎn)A，B，直線l交直線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為Q，直線AQ交x軸于C，直線BQ交x軸于D，求證：點(diǎn)F為線段CD的中點(diǎn)．
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓的長軸長為4，離心率為，點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)做橢圓的切線，交軸于點(diǎn)A，直線過點(diǎn)且垂直于，交軸于點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)試判斷以為直徑的圓能否過定點(diǎn)？若能，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知拋物線和圓的公共弦過拋物線的焦點(diǎn)，且弦長為．
(1)求拋物線和圓的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，求面積的最小值．

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