考點分類講解
考點一：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算
等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)
(1)等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d，
an＝am＋(n－m)d.
(2)等比數(shù)列的通項公式：an＝a1qn－1，
an＝am·qn－m.
(3)等差數(shù)列的求和公式：
Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d.
(4)等比數(shù)列的求和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a1?1－qn?,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))
規(guī)律方法 等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略
(1)抓住基本量，首項a1、公差d或公比q.
(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項公式為an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列．
(3)由于等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進行相關(guān)計算．
【例1】（23-24高三下·甘肅張掖·階段練習(xí)）已知正項等差數(shù)列滿足，則（ ）
A．39B．63C．75D．99
【答案】B
【分析】利用等差數(shù)列的通項公式列方程組求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因為，所以，
解得或（舍去），
所以.
故選：B.
【變式1】（2024·廣東深圳·一模）已知數(shù)列滿足，，若為數(shù)列的前項和，則（ ）
A．624B．625C．626D．650
【答案】C
【分析】根據(jù)給定的遞推公式，按奇偶分類求和即得.
【詳解】數(shù)列中，，，
當(dāng)時，，即數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成等差數(shù)列，其首項為1，公差為2，
則，
當(dāng)時，，即數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成等比數(shù)列，其首項為1，公比為，
則，
所以.
故選：C
【變式2】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，若，，則 ．
【答案】8
【分析】判斷數(shù)列為等比數(shù)列，求出，結(jié)合，即可求得答案.
【詳解】由于數(shù)列滿足，故數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，
又，，故，
故，
故答案為：8
【變式3】(2023·全國甲卷)設(shè)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，則S4等于( )
A.eq \f(15,8) B.eq \f(65,8) C．15 D．40
【答案】C
【解析】方法一 若該數(shù)列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，
有5＝5×3－4，不成立，
所以q≠1.
由eq \f(1－q5,1－q)＝5×eq \f(1－q3,1－q)－4，
化簡得q4－5q2＋4＝0，
所以q2＝1(舍)或q2＝4，
由于此數(shù)列各項均為正數(shù)，
所以q＝2，所以S4＝eq \f(1－q4,1－q)＝15.
方法二 由題知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，
即q3＋q4＝4q＋4q2，
即q3＋q2－4q－4＝0，
即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.
由題知q>0，所以q＝2.
所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.
【變式4】(2023·安康模擬)中國古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，則該馬第五天行走的里程數(shù)約為( )
A．2.76 B．5.51
C．11.02 D．22.05
【答案】D
【解析】設(shè)該馬第n(n∈N*)天行走的里程數(shù)為an，
由題意可知，數(shù)列{an}是公比為eq \f(1,2)的等比數(shù)列，
所以該馬七天所走的里程為eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,27))),1－\f(1,2))＝eq \f(127a1,64)＝700，解得a1＝eq \f(27×350,127).
故該馬第五天行走的里程數(shù)為a5＝a1·eq \f(1,24)＝eq \f(27×350,127)×eq \f(1,24)＝eq \f(2800,127)≈22.05.
【變式5】(2023·河南聯(lián)考)《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，前三個節(jié)氣日影長之和為28.5尺，最后三個節(jié)氣日影長之和為1.5尺，則春分時節(jié)的日影長為( )
A．4.5尺 B．3.5尺
C．2.5尺 D．1.5尺
【答案】A
【解析】冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣日影長構(gòu)成等差數(shù)列{an}，設(shè)公差為d，由題意得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＝28.5，,a10＋a11＋a12＝1.5，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝10.5，,d＝－1，))
所以an＝a1＋(n－1)d＝11.5－n，
所以a7＝11.5－7＝4.5，
即春分時節(jié)的日影長為4.5尺．
【變式6】(2023·石家莊質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝4，S3＝84，則lg2a1a2a3…a8的值為( )
A．70 B．72 C．74 D．76
【答案】B
【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q>0，S3＝a1(1＋q＋q2)＝4(1＋q＋q2)＝84，
整理可得q2＋q－20＝0，解得q＝4(負值舍去)，
所以an＝a1qn－1＝4n，
所以lg2a1a2a3…a8＝lg2(41×42×43×…×48)
＝2×(1＋2＋3＋…＋8)＝eq \f(2×?1＋8?×8,2)＝72.
考點二：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)
1．通項性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；對于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝aeq \\al(2,k).
2．前n項和的性質(zhì)：
(1)對于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)時除外)．
(2)對于等差數(shù)列有S2n－1＝(2n－1)an.
規(guī)律方法 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)問題的求解策略
(1)抓關(guān)系，抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進行求解．
(2)用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題．
【例2】（2024·吉林白山·二模）記等差數(shù)列的前項和為，若，，則的公差為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】由等差數(shù)列的前項和公式表示，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求得，進而求解公差.
【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，，
得，故，則.
故選：.
【變式1】（2024·安徽合肥·一模）數(shù)列中，，，則（ ）
A．210B．190C．170D．150
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義知公差為，然后利用求和公式結(jié)合等差數(shù)列通項性質(zhì)求和即可；
【詳解】由知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，
所以.
故選：C.
【變式2】（2024·海南·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的公比為，則（ ）
A．20B．24C．28D．32
【答案】D
【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)運算求解.
【詳解】由題意可知，
所以.
故選：D.
【變式3】(多選)(2023·濟寧質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1>0，a4＋a11>0，a7a8S9
C．當(dāng)n＝7時，Sn最大 D．當(dāng)Sn>0時，n的最大值為14
【答案】BCD
【解析】∵在等差數(shù)列{an}中，a1>0，
a4＋a11＝a7＋a8>0，a7a80，a80，a80，
S15＝eq \f(15?a1＋a15?,2)＝eq \f(15×2a8,2)0時，n的最大值為14，D正確．
【變式4】(2023·咸陽模擬)已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若(2n＋3)Sn＝nTn，則eq \f(a5,b5)等于( )
A.eq \f(3,7) B.eq \f(1,3) C.eq \f(9,25) D.eq \f(11,25)
【答案】 A
【解析】(2n＋3)Sn＝nTn?eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(n,2n＋3)，
又S9＝eq \f(9,2)(a1＋a9)＝eq \f(9,2)×2a5＝9a5，
T9＝eq \f(9,2)(b1＋b9)＝eq \f(9,2)×2b5＝9b5，
所以eq \f(S9,T9)＝eq \f(a5,b5)，
又eq \f(S9,T9)＝eq \f(9,2×9＋3)＝eq \f(3,7)，
所以eq \f(a5,b5)＝eq \f(3,7).
【變式5】(2023·滄州質(zhì)檢)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝2，S6＝6，則S24＝________.
【答案】510
【解析】因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)知，
S3，S6－S3，S9－S6，…，S24－S21，…構(gòu)成首項為S3＝2，
公比為q＝eq \f(S6－S3,S3)＝eq \f(6－2,2)＝2的等比數(shù)列，且S24是該等比數(shù)列的前8項和，
所以S24＝eq \f(2?1－28?,1－2)＝510.
【變式6】(2023·全國乙卷)已知{an}為等比數(shù)列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，則a7＝________.
【答案】－2
【解析】方法一 {an}為等比數(shù)列，∴a4a5＝a3a6，
∴a2＝1，
又a2a9a10＝a7a7a7，
∴1×(－8)＝(a7)3，
∴a7＝－2.
方法二 設(shè){an}的公比為q(q≠0)，
則a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，
顯然an≠0，
則a4＝q2，即a1q3＝q2，
則a1q＝1，
因為a9a10＝－8，
則a1q8·a1q9＝－8，
則q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，
則q5＝－2，則a7＝a1q·q5＝q5＝－2
考點三：等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明
證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法．
易錯提醒 (1)aeq \\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0.
(2){an}為等比數(shù)列，可推出a1，a2，a3成等比數(shù)列，但a1，a2，a3成等比數(shù)列并不能說明{an}為等比數(shù)列．
(3)證明{an}不是等比數(shù)列可用特值法．
【例3】（23-24高三下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·開學(xué)考試）若數(shù)列的前n項和滿足，則（ ）
A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列
C．為等差數(shù)列D．為等差數(shù)列
【答案】D
【分析】降次作差即可得到，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷A，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性即可判B，求出相關(guān)值結(jié)合等差數(shù)列定義即可判斷CD.
【詳解】當(dāng)時，，
當(dāng)時，，∴，
對于A：不滿足，故A不正確；
對于B：，故B不正確；
對于C，，,，不滿足，故C不正確；
對于D：，，，三項可構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為8，故D正確；
故選：D．
【變式1】（多選）（23-24高三上·貴州安順·期末）甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，記n次傳球后球在甲手中的概率為，則（ ）
A．
B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
C．
D．第4次傳球后球在甲手中的不同傳球方式共有6種
【答案】ABD
【分析】根據(jù)題意，可得數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，即可判斷ABC，然后逐一列舉，即可判斷D.
【詳解】由題意可知，要使得n次傳球后球在甲手中，則第次球必定不在甲手中，
所以，，即，
因為，則，所以，，
則數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故B正確；
則，即，故C錯誤；
且，故A正確；
若第4次傳球后球在甲手中，則第3次傳球后球必不在甲手中，
設(shè)甲，乙，丙對應(yīng)，
則，
，
，
，
，
，
所以一共有六種情況，故D正確；
故選：ABD
【變式2】（23-24高三下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知數(shù)列與數(shù)列滿足下列條件：①，；②，；③，，記數(shù)列的前項積為.
(1)若，，，，求；
(2)是否存在，，，，使得，，，成等比數(shù)列？若存在，請寫出一組，，，；若不存在，請說明理由；
(3)若，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)不存在，理由見解析；
(3).
【分析】（1）利用已知數(shù)據(jù)直接計算即得.
（2）假定存在，分兩種情況討論即得.
（3）設(shè)，分析出，再求出的最大值即可.
【詳解】（1）由，得，由，得，
由，得，
所以.
（2）不存在.
假設(shè)存在，設(shè)公比為，
若，則，公比，矛盾，
若，則，公比，矛盾，
因此假設(shè)不成立，所以不存在.
（3）依題意，，且，，
設(shè)，則，得，
于是，顯然的值從大到小依次為，
若，則且，當(dāng)數(shù)列為或，可以取得，
顯然當(dāng)時，最大，此時，則，
，
從而
，又，
所以.
【點睛】
思路點睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認真分析遞推公式并進行變形，可借助累加、累乘求通項的方法分析、探討項間關(guān)系而解決問題.
【變式3】(2023·日照模擬)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝λ>0，anan＋1＝27－2n.
(1)當(dāng)λ＝eq \f(1,32)時，求數(shù)列{a2n}中的第10項；
(2)是否存在正數(shù)λ，使得數(shù)列{an}是等比數(shù)列？若存在，求出λ值并證明；若不存在，請說明理由．
【解析】(1)由已知anan＋1＝27－2n，
所以當(dāng)n≥2時，anan－1＝29－2n，
相除得eq \f(an＋1,an－1)＝eq \f(1,4)，
又a1＝eq \f(1,32)，a2a1＝25，
所以a2＝210，
所以a20＝210×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))9＝eq \f(1,28)＝eq \f(1,256).
(2)存在．假設(shè)存在正數(shù)λ，使得數(shù)列{an}是等比數(shù)列，由a2a1＝25得a2＝eq \f(32,λ)，
由a2a3＝8，得a3＝eq \f(λ,4)，
因為{an}是等比數(shù)列，所以a1a3＝aeq \\al(2,2)，
即λ2＝64，解得λ＝8.
下面證明當(dāng)λ＝8時數(shù)列{an}是等比數(shù)列，
由(1)知數(shù)列{a2n－1}和{a2n}都是公比是eq \f(1,4)的等比數(shù)列，所以a2n－1＝8·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))n－1＝25－2n；
a2n＝4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))n－1＝24－2n，
所以當(dāng)n為奇數(shù)時，an＝24－n；
當(dāng)n為偶數(shù)時，an＝24－n，
所以對一切正整數(shù)n，都有an＝24－n，
所以eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2)，n∈N*，
所以存在正數(shù)λ＝8使得數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
【變式4】．(2023·青島質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差d≠0，S2，S4，S5＋4成等差數(shù)列，a2，a4，a8成等比數(shù)列．
(1)求Sn；
(2)記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,2bn－Tn＝eq \f(n＋2,Sn)，證明：數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn－\f(1,Sn)))為等比數(shù)列，并求{bn}的通項公式．
(1)解 由S2，S4，S5＋4成等差數(shù)列，a2，a4，a8成等比數(shù)列，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S5＋4＋S2＝2S4，,a\\al(2,4)＝a2a8，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5a1＋10d＋4＋2a1＋d＝2?4a1＋6d?，,?a1＋3d?2＝?a1＋d??a1＋7d?，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,d＝2，))
Sn＝2n＋eq \f(n?n－1?,2)×2＝n2＋n.
(2)證明 由2bn－Tn＝eq \f(n＋2,Sn)得
2b1－b1＝eq \f(3,2)，解得b1＝eq \f(3,2)，
2bn＝Tn＋eq \f(n＋2,n?n＋1?)＝Tn＋eq \f(2,n)－eq \f(1,n＋1)，
故2bn＋1＝Tn＋1＋eq \f(2,n＋1)－eq \f(1,n＋2)，
兩式相減可得2bn＋1－2bn＝bn＋1＋eq \f(2,n＋1)－eq \f(1,n＋2)－eq \f(2,n)＋eq \f(1,n＋1)?bn＋1－eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(bn－\f(1,n)＋\f(1,n＋1)))，
而eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn－\f(1,Sn)))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn－\f(1,n)＋\f(1,n＋1)))，
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn－\f(1,Sn)))為公比為2的等比數(shù)列，且首項為eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝1，故bn－eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＝2n－1，
進而bn＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)＋2n－1.
強化訓(xùn)練
單選題
（2024·福建廈門·二模）已知正項等差數(shù)列的公差為，前項和為，且，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)的關(guān)系，將已知等式相減，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求得答案.
【詳解】因為，故兩式相減得：，
即，則，
又數(shù)列為正項等差數(shù)列，故，即，
故選：B
2．（2024·湖北·二模）已知公差為負數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，若是等比數(shù)列，則當(dāng)取最大值時，（ ）
A．2或3B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用等比數(shù)列的意義列式，用公差表示出，再確定數(shù)列的所有非負數(shù)項即可得解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由是等比數(shù)列，
得，解得，則，
顯然等差數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)取最大值時，.
故選：B
3．（2023·四川遂寧·三模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，是方程的兩個根，設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．或B．C．18D．2
【答案】C
【分析】由等比以及等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合求和公式即可求解.
【詳解】因為，是的兩個實數(shù)根，
所以，，，，又，
所以，，，
因此，
故選：C.
4．（2024·江蘇宿遷·一模）設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若成等差數(shù)列，，則的值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】解法一：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)判斷；解法二：根據(jù)等比數(shù)列的基本量運算；解法三：利用二級結(jié)論求解.
【詳解】解法一：性質(zhì)+特值.
，排除C，D；
當(dāng)時，，矛盾，
所以，所以，故排除A，
對B：時，由得，
此時 ，
，
所以成立.
故選：B．
解法二：基本量運算.
當(dāng)時，，矛盾，
所以，
當(dāng)時，則
，.
故選：B．
解法三：二級結(jié)論.
，
由，則，
又，
則或，
當(dāng)時，，無解，故舍去.
所以.
故選：B．
5．（2024·甘肅·一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，則（ ）
A．16B．19C．25D．29
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及性質(zhì)，進行計算即可.
【詳解】因為，
所以，
所以，
故選：A.
6．（2023·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，，，且對于任意，，恒成立，則（ ）
A．是等差數(shù)列B．是等比數(shù)列
C．D．
【答案】D
【分析】推導(dǎo)出，可判斷AB選項；求出數(shù)列的通項公式，利用等差數(shù)列的求和公式可判斷CD選項.
【詳解】因為對于任意，，滿足，
所以，即，且，
所以，數(shù)列不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，A錯B錯；
當(dāng)時，，
所以，，
所以，，C錯；
，D對.
故選：D.
7．（2023·新疆·一模）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列，乙：（其中），則下列說法正確的是（ ）
A．甲是乙的充分不必要條件B．甲是乙的必要不充分條件
C．甲是乙的充要條件D．甲是乙的既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)題意利用等差數(shù)列的定義和和的遞推關(guān)系求解即可.
【詳解】由題意知：甲：數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其首項為，公差為，則，
充分性：當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時，其前項和，故充分性成立；
必要性：當(dāng)時，得，，
將上述兩式相減得，即，
所以，，兩式相減，得，
即，，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故必要性成立.
綜上所述：甲是乙的充要條件，故C正確.
故選：C.
8．（23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）斐波那契數(shù)列又稱為黃金分割數(shù)列，在現(xiàn)代物理、化學(xué)等領(lǐng)域都有應(yīng)用.斐波那契數(shù)列滿足，.給出下列四個結(jié)論：
① 存在，使得，，成等差數(shù)列；
② 存在，使得，，成等比數(shù)列；
③ 存在常數(shù)，使得對任意，都有，，成等差數(shù)列；
④ 存在正整數(shù)，且，使得.
其中所有正確的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】由遞推公式得性質(zhì)后判斷，
【詳解】對于①，由題意得，故成等差數(shù)列，故①正確，
對于②，由遞推公式可知，，中有兩個奇數(shù)，1個偶數(shù)，不可能成等比數(shù)列，故②錯誤，
對于③，，
故當(dāng)時，對任意，，，成等差數(shù)列；故③正確，
對于④，依次寫出數(shù)列中的項為，
可得，故④正確，
故選：C
多選題
1．（2023·湖北武漢·三模）已知實數(shù)數(shù)列的前n項和為，下列說法正確的是（ ）．
A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則恒成立
B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則，，，…為等差數(shù)列
C．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則
D．若數(shù)列為等比數(shù)列，則，，，…為等比數(shù)列
【答案】BD
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判定AB選項，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)判定CD選項.
【詳解】若數(shù)列為等差數(shù)列，不妨設(shè)其公差為d,則,
顯然當(dāng)才相等，故A錯誤，
而，作差可得成立，故B正確；
若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)其公比為q，
則，作商可得或所以 或，故C錯誤；
由題意得各項均不為0，而實數(shù)范圍內(nèi)，，
即且，結(jié)合選項B的計算可得，故D正確.
故選：BD.
2．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）已知首項為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．
B．
C．當(dāng)時，取最大值
D．當(dāng)時，的最小值為27
【答案】ABD
【分析】由等差中項的性質(zhì)判斷AB；由A和等差數(shù)列的前n項和判斷C；由等差數(shù)列的前n項和和等差中項判斷D.
【詳解】A：首項為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，
所以，
若，則一定大于零，不符合題意，
所以，，故A正確；
B：由A可知，
，故B正確；
C：由A可知，因為，，可知，故，取最大值，故C錯誤；
D：，，故D正確.
故選：ABD.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知長軸長、短軸長和焦距分別為、和的橢圓，點是橢圓與其長軸的一個交點，點是橢圓與其短軸的一個交點，點和為其焦點，．點在橢圓上，若，則（ ）
A．，，成等差數(shù)列
B．，，成等比數(shù)列
C．橢圓的離心率
D．的面積不小于的面積
【答案】BD
【分析】AB選項，根據(jù)垂直關(guān)系得到，求出，得到A錯誤，B正確；C選項，根據(jù)得到，進而求出離心率；D選項，計算出和的面積，作差法結(jié)合基本不等式求出答案.
【詳解】AB選項，橢圓方程為，不妨設(shè)，，
故，
因為，且直線的斜率存在，所以，
即，故，成等比數(shù)列，A錯誤，B正確；
C選項，因為，，所以，
方程兩邊同除以得，，解得，負值舍去，
故離心率為，C錯誤；
D選項，由橢圓定義得，，
因為，所以，
兩邊平方得，
故，，
，
又，且，由基本不等式得
，
所以即的面積不小于的面積，D正確.
故選：BD
填空題
1．（2024·四川南充·二模）已知數(shù)列，滿足，且，則 .
【答案】24
【分析】由遞推關(guān)系求出即可求解.
【詳解】，且，
當(dāng)，，所以；
故的奇數(shù)項是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
即，
故，則.
故答案為：24.
2．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)等差和等比數(shù)列的性質(zhì)，再結(jié)合特殊角的正切值，即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，而，
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，則，，
所以.
故答案為：
3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）用表示不超過的最大整數(shù)，已知數(shù)列滿足：，，.若，，則 ；若，則 .
【答案】 ，
【分析】當(dāng)，時，利用構(gòu)造法可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求出，進而得出；當(dāng)時，由題目中的遞推關(guān)系式可得，，，即可求解.
【詳解】當(dāng)，時，，即，
則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
所以，即.
當(dāng)時，，即，且，
故，故，故，
∴，，所以，所以.
因為，所以
由，可得：，，.
因為，所以，，則.
故答案為：；.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合，數(shù)列的通項公式及前項和.利用構(gòu)造法即可求解第一空；借助遞推關(guān)系式得出，，是解答第二空的關(guān)鍵.
解答題
1．（2024·廣東深圳·一模）設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，且為等差數(shù)列．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若數(shù)列滿足，且，設(shè)為數(shù)列的前項和，集合，求（用列舉法表示）．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得、，解得，結(jié)合求得，即可證明；
（2）由（1）可得，根據(jù)累乘法可得，結(jié)合裂項相消求和法計算即可求解.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，即，①
因為，所以由，得．②
由①、②解得，所以，即，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，上式也成立，所以，
所以數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）由（1）可知，
當(dāng)時，，
因為滿足上式，所以．
，
因為當(dāng)時，，所以．
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，若，.記判斷是否為等差數(shù)列，若是，給出證明；若不是，請說明理由.
【答案】不是，理由見解析
【分析】根據(jù)的關(guān)系作差可得，，即可作差，結(jié)合等差數(shù)列的定義求解.
【詳解】因為，
當(dāng)時，，又因為，所以
當(dāng)時，因為，
由，得①，
所以②，
所以①-②得：，,
所以，，，
但
所以不是等差數(shù)列.
3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）記等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)得到和的關(guān)系式，同理得到和的關(guān)系式，根據(jù)是等比數(shù)列和是等比數(shù)列求出和的通項；
（2）令，對分偶數(shù)和奇數(shù)討論即可.
【詳解】（1）得：，
或，
同理：或，
是等差數(shù)列，，
是等比數(shù)列；
（2）令，其前項和為，
當(dāng)為偶數(shù)時，
當(dāng)為奇數(shù)時，.
綜上所述，.
4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列滿足：，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可推出，結(jié)合等比數(shù)列通項公式即可求得答案；
（2）利用（1）的結(jié)果可得的表達式，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和以及錯位相減法，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知數(shù)列滿足：，，
則
，，故為首項是6，公比為2的等比數(shù)列，
故，即，
適合上述結(jié)果，故；
（2）設(shè)，
則，
設(shè)，故；
，
，
作差得到，
故，
，
故.
5．（2024·安徽黃山·一模）隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛．差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用．對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中，規(guī)定為數(shù)列的二階差分數(shù)列，其中．
(1)數(shù)列的通項公式為，試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，請說明理由？
(2)數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，對于任意的，都存在，使得，求的值；
(3)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且為常數(shù)列，對滿足，的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．
【答案】(1)不是等差數(shù)列，是等差數(shù)列
(2)
(3)2
【分析】（1）理清條件的新定義，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)進行判斷；
（2）根據(jù)新定義和等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)等進行分類討論求解；
（3）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及新定義求解出，運用均值不等式求解出的范圍，從而得出的最值.
【詳解】（1）因為，所以，
因為，，，
故，，
顯然，
所以不是等差數(shù)列；
因為，則，，
所以是首項為12，公差為6的等差數(shù)列.
（2）因為數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，
所以，故，
所以數(shù)列是以公比為的正項等比數(shù)列，，
所以，
且對任意的，都存在，使得，即，
所以，因為，所以，
①若，則，解得（舍），或，
即當(dāng)時，對任意的，都存在，使得.
②若，則，對任意的，不存在，使得.
綜上所述，.
（3）因為為常數(shù)列，則是等差數(shù)列，
設(shè)的公差為，則，
若，則，與題意不符；
若，所以當(dāng)時，，
與數(shù)列的各項均為正數(shù)矛盾，所以，
由等差數(shù)列前項和公式可得，
所以，
因為，
所以，
因為，故，
所以
則當(dāng)時，不等式恒成立，
另一方面，當(dāng)時，令，，，
則，，
則
，
因為，，
當(dāng)時，，
即，不滿足不等式恒成立，
綜上，的最大值為2.
【點睛】思路點睛：本題考查數(shù)列的新定義問題，關(guān)于新定義問題的常見思路為：
（1）理解新定義，明確新定義中的條件、原理、方法與結(jié)論等；
（2）新定義問題要與平時所學(xué)知識相結(jié)合運用；
（3）對于不等式恒成立問題要結(jié)合均值不等式進行求解最值，把握好分類討論的時機.
等差數(shù)列
等比數(shù)列
定義法
an＋1－an＝d
eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0)
通項法
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
中項法
2an＝an－1＋an＋1(n≥2)
aeq \\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)
前n項和法
Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))
Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)

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