第18講計數(shù)原理與概率（3大考點+強化訓(xùn)練）-沖刺985、211名校高考數(shù)學(xué)重難點培優(yōu)全攻略（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點分類講解
考點一：排列與組合問題
解決排列、組合問題的一般過程：
(1)認(rèn)真審題，弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時進(jìn)行，確定分多少步及多少類；
(3)確定每一步或每一類是排列(有序)問題還是組合(無序)問題，元素總數(shù)是多少及取出多少元素．
規(guī)律方法排列、組合問題的求解方法與技巧
(1)合理分類與準(zhǔn)確分步；(2)排列、組合混合問題要先選后排；(3)特殊元素優(yōu)先安排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題除法處理；(7)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；(8)正難則反，等價轉(zhuǎn)化．
【例1】(2023·新高考全國Ⅰ)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答)．
【答案】64
【解析】①當(dāng)從8門課中選修2門時，不同的選課方案共有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,4)＝16(種)；
②當(dāng)從8門課中選修3門時，
(ⅰ)若體育類選修1門，則不同的選課方案共有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,4)＝24(種)；
(ⅱ)若體育類選修2門，則不同的選課方案共有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,4)＝24(種)．
綜上所述，不同的選課方案共有16＋24＋24＝64(種)．
【變式1】（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）（）
A．65B．160C．165D．210
【答案】C
【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)的公式計算可得.
【詳解】.
故選：.
【變式2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）現(xiàn)有一項需要用時兩天的活動，要從5人中安排2人參加，每天安排一人，若其中甲、乙2人在這兩天都沒有參加，則不同的安排方式有（）
A．20種B．10種C．8種D．6種
【答案】D
【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義和公式，即可求解.
【詳解】由題意可知，從除甲和乙之外的3人中選2人，安排2天的活動，有種方法.
故選：D
【變式3】（2024·四川涼山·二模）為了傳承和弘揚雷鋒精神，凝聚榜樣力量．3月5日學(xué)雷鋒紀(jì)念日來臨之際，涼山州某中學(xué)舉辦了主題為“傳承雷鋒精神，踐行時代力量”的征文比賽．此次征文共5個題目，每位參賽學(xué)生從中隨機選取一個題目準(zhǔn)備作文，則甲、乙，丙三位同學(xué)選到互不相同題目的概率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)分步計算原理得到總情況數(shù)，再利用排列公式得到滿足題意的情況數(shù)，最后利用古典概率的計算公式即可.
【詳解】甲同學(xué)可以選擇一個題目共有5種選法，同理，乙、丙也有5種選法，
由分步乘法計數(shù)原理，3人到四個社區(qū)參加志愿服務(wù)共有種選法；
若甲、乙，丙三位同學(xué)選到互不相同題目，共有種選法；
則甲、乙，丙三位同學(xué)選到互不相同題目的概率為.
故選：D.
考點二：二項式定理
1．求二項展開式中特定項或項的系數(shù)問題的思路：
(1)利用通項公式將Tk＋1項寫出并化簡．
(2)令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出k.
(3)代回通項公式即得所求．
2．對于兩個因式的積的特定項問題，一般對某個因式用通項公式，再結(jié)合因式相乘，分類討論求解．
規(guī)律方法二項式(a＋b)n的通項公式Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二項式的展開式的第k＋1項，而不是第k項；其中Ceq \\al(k,n)是二項式展開式的第k＋1項的二項式系數(shù)，而二項式的展開式的第k＋1項的系數(shù)是字母冪前的常數(shù)，要區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù)．
【例2】（2024·貴州畢節(jié)·一模）二項式的展開式中含項的系數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二項式定理的通項公式即可求解.
【詳解】由二項式定理可知，的展開式的通項為
，
令，解得，
所以，
所以二項式的展開式中含項的系數(shù)為.
故選：B.
【變式1】（2024·遼寧大連·一模）（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)表達(dá)式特征可知利用二項式定理的逆運用可得結(jié)果.
【詳解】易知
.
故選：B
【變式2】（2024·浙江溫州·二模）在展開式中，的奇數(shù)次冪的項的系數(shù)和為（）
A．B．64C．D．32
【答案】A
【分析】設(shè)，利用賦值法計算可得.
【詳解】設(shè)，
令可得，
令可得，
所以，
即在展開式中的奇數(shù)次冪的項的系數(shù)和為.
故選：A
【變式3】（2022·湖南·模擬預(yù)測）下列不屬于的展開式的項的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】按照二項式定理直接展開判斷即可.
【詳解】由二項式定理可知，，故不是展開式的項.
故選：B
考點三：概率
1．古典概型的概率公式
P(A)＝eq \f(事件A包含的樣本點數(shù),試驗的樣本點總數(shù)).
2．條件概率公式
設(shè)A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，
則P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?).
3．全概率公式
一般地，若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，且它們的和i=1n Ai=Ω，P(Ai)>0，i=1，2，3，…，n，則對于Ω中的任意事件B，有P(B)= i=1n P(Ai)P(B|Ai). 這個公式稱為全概率公式.
規(guī)律方法求概率的方法與技巧
(1)古典概型用古典概型概率公式求解．
(2)條件概率用條件概率公式及全概率公式求解．
(3)根據(jù)事件間關(guān)系，利用概率的加法、乘法公式及對應(yīng)事件的概率公式求解．
【例3】(多選)(2023·新高考全國Ⅱ)在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為α(0