【考點(diǎn)分析】
考點(diǎn)一 導(dǎo)數(shù)的幾何意義與計(jì)算
1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
(1)函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率．
(2)曲線在某點(diǎn)的切線與曲線過某點(diǎn)的切線不同．
(3)切點(diǎn)既在切線上，又在曲線上．
2．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′ x＝y(tǒng)′u·u′x.
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則曲線在處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用冪函數(shù)定義解方程并利用單調(diào)性可得，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得結(jié)果.
【詳解】由于為冪函數(shù)，則，解得或，
又在上單調(diào)遞減，得，即，故，
則，
可得，，則，
故曲線在處的切線方程為，即，
故選：C．
二、填空題
2．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若直線與曲線相切，則 .
【答案】/
【分析】根據(jù)切線的斜率求出切點(diǎn)，再代入切線方程即可得解.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，
，
由題意可得，
因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
又，所以，
所以切點(diǎn)為，
則，解得.
故答案為：.
3．（2024上·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語學(xué)校校聯(lián)考期末）已知，則 .（用數(shù)字作答）
【答案】405
【分析】?jī)蛇吳髮?dǎo)，令即可得結(jié)果.
【詳解】對(duì)兩邊求導(dǎo)得：
，
令，可得.
故答案為：.
考點(diǎn)二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟
(1)求函數(shù)y＝f(x)的定義域．
(2)求f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)．
(3)求出f′(x)的零點(diǎn)，劃分單調(diào)區(qū)間．
(4)判斷f′(x)在各個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)．
一、單選題
1．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由于函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)分類討論，求出極值點(diǎn)，根據(jù)極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，可得關(guān)于的不等式，即可求出結(jié)果．
【詳解】由.
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)為，
若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，必有，解得；
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故選：B.
二、解答題
2．（2024上·山西·高三期末）已知函數(shù)，.
(1)求證：函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，并求出該函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）先求，然后分析的根，由此完成證明；利用韋達(dá)定理表示出結(jié)合的范圍求解出其范圍；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為“在上恒成立”，建立函數(shù)，通過多次求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性的過程求解出的取值范圍.
【詳解】（1），
令，
因?yàn)?，二次函?shù)對(duì)稱軸，，
且恒成立，
所以恒有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，且這兩個(gè)正實(shí)根分別為，，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，
所以單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度，
因?yàn)?，所以的取值范圍為?br>（2）由題意在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
則，令，
則，令，
則，令，
則，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，，
所以在上單調(diào)遞減，，
當(dāng)，即時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，，
所以在上單調(diào)遞減，成立，所以；
當(dāng)，即，單調(diào)遞減函數(shù)在時(shí)，，且，
所以在上有根，記為，
在上，，在上，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且，函數(shù)在時(shí)，，
因此在上有解，記為，
在上，，單調(diào)遞增，而，
因此在上，，從而在上不恒成立，
綜上所述，的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍的兩種常用方法：
（1）分離參數(shù)法：將參數(shù)和自變量分離開來，構(gòu)造關(guān)于自變量的新函數(shù)，研究新函數(shù)最值與參數(shù)之間的關(guān)系，求解出參數(shù)范圍；
（2）分類討論法：根據(jù)題意分析參數(shù)的臨界值，根據(jù)臨界值作分類討論，分別求解出滿足題意的參數(shù)范圍最后取并集.
3．（2024上·天津河北·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是
(3)
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，分別求出的值即可得解.
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令，得或，且滿足，進(jìn)一步即可得解.
（3）由題意只需，即，解不等式即可得解.
【詳解】（1）時(shí)，，
，整理得.
曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（2），
，
令，
，解得或，且滿足.
當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：
函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
（3）由（2）可知，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，
，
解得，
，
實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵是將極值點(diǎn)先求出來，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可得解，第三問的關(guān)鍵是由，列出相應(yīng)的不等式，從而即可順利得解.
考點(diǎn)三 單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用
1．函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(或遞減)，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立．
2．函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間，可轉(zhuǎn)化為f′(x)>0(或f′(x)

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