考點(diǎn)分類講解
考點(diǎn)一：空間距離
(1)點(diǎn)到直線的距離
直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的任一點(diǎn)，P為直線l外一點(diǎn)，設(shè)eq \(AP,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離d＝eq \r(a2－?a·u?2).
(2)點(diǎn)到平面的距離
平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)任一點(diǎn)，P為平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為d＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
考向1 點(diǎn)到直線的距離
【例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在空間直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（23-24高三上·北京昌平·期末）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在線段上，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
【變式2】（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，若點(diǎn)和點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到直線的距離為 ．
【變式3】（23-24高三上·山東青島·期中）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，在塹堵中，若，若為線段中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．
考向2 點(diǎn)到平面的距離
規(guī)律方法 (1)求點(diǎn)到平面的距離有兩種方法，一是利用空間向量點(diǎn)到平面的距離公式，二是利用等體積法．
(2)求直線到平面的距離的前提是直線與平面平行．求直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化成直線上任一點(diǎn)到平面的距離．
【例2】2.(2023·湖北省襄陽市第四中學(xué)模擬)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長都為4，∠A1AB＝60°，點(diǎn)A1在下底面ABC上的投影為AB的中點(diǎn)O.
(1)在棱BB1(含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)D使A1D⊥AC1？若存在，求出BD的長；若不存在，請說明理由；
(2)求點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離．
【變式1】（23-24高三下·北京·開學(xué)考試）在正四棱錐中，，與平面所成角為，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（2024·廣西·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).直線到平面的距離為（ ）.
A．B．C．D．
【變式3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱中，所有棱長均為1，則點(diǎn)到平面的距離為 ．
考點(diǎn)二：空間中的探究性問題
與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或兩平面的夾角滿足特定要求時(shí)的存在性問題．處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)(有些是題中已給出)，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．
規(guī)律方法 解決立體幾何中探索性問題的基本方法
(1)通常假設(shè)問題中的數(shù)學(xué)對象存在或結(jié)論成立，再在這個(gè)前提下進(jìn)行推理，如果能推出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說明假設(shè)成立，并可進(jìn)一步證明，否則假設(shè)不成立．
(2)探索線段上是否存在滿足條件的點(diǎn)時(shí)，一定注意三點(diǎn)共線的條件的應(yīng)用．
【例3】(2023·咸陽模擬)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面BB1C1C是邊長為1的正方形，平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，AB＝4，∠A1B1B＝60°，G是A1B1的中點(diǎn)．
(1)求證：平面GBC⊥平面BB1C1C；
(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角P－GB1－B的平面角為30°？若存在，求BP的長；若不存在，請說明理由．
【變式1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在四棱錐中，已知，，，，，是線段上的點(diǎn)．
(1)求證：底面；
(2)是否存在點(diǎn)使得與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【變式2】（2024·全國·一模）如圖，棱柱的所有棱長都等于2，且，平面平面．

(1)求平面與平面所成角的余弦值；
(2)在棱所在直線上是否存在點(diǎn)P，使得平面．若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由．
【變式3】（2024·貴州黔東南·二模）如圖，在多面體中，四邊形為菱形，平面，，，，.
(1)證明：平面平面；
(2)試問線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，請判斷點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.
強(qiáng)化訓(xùn)練
一、單選題
1．（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測）平面的一個(gè)法向量為，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A．1B．2C．3D．
2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）“類比推理”簡稱“類比”，是一種重要的邏輯推理方法，也是研究問題、發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的重要方法．下面通過“類比”所得到的結(jié)論中不正確的是（ ）
A．設(shè)O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則A，B，C三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)存在a，b滿足，使得．類比到空間得：設(shè)A，B，C不共線，則A，B，C，D四點(diǎn)共面當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)a，b，c滿足，使得
B．已知平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離為．類比到空間得：空間中點(diǎn)到平面的距離為
C．設(shè)平面內(nèi)不過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為，，則直線的（截距式）方程為．類比到空間得：空間中不過坐標(biāo)原點(diǎn)的平面與x軸、y軸和z軸的交點(diǎn)分別為，，，則平面的（截距式）方程為
D．設(shè)平面內(nèi)一直線與x軸和y軸所成的角分別為，，則有．類比到空間得：設(shè)空間中一直線與x軸、y軸和z軸所成的角分別為，，，則有
3．（23-24高三上·上海奉賢·期中）如圖，己知四棱錐的底面是直角梯形，，，，平面，，下列說法正確的是（ ）

A．與所成的角是
B．平面與平面所成的銳二面角余弦值是
C．與平面所成的角的正弦值是
D．是線段上動點(diǎn)，為中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離最大值為
4．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，空間一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A．B．1C．D．
5．（23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，E為棱的中點(diǎn)．動點(diǎn)P沿著棱從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動，對于下列三個(gè)結(jié)論：
①存在點(diǎn)P，使得；
②的面積越來越?。?br>③四面體的體積不變．
其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
6．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知正方體的棱長為2，棱的中點(diǎn)分別是，點(diǎn)是底面內(nèi)任意一點(diǎn)（包括邊界），則三棱錐的體積的取值范圍是（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·河南·模擬預(yù)測）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最小時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動點(diǎn)（含邊界），則下列說法中不正確的是（ ）
A．若平面，則動點(diǎn)Q的軌跡是一條線段
B．存在Q點(diǎn)，使得平面
C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的體積最大
D．若，那么Q點(diǎn)的軌跡長度為
二、多選題
1．（23-24高三上·河北保定·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．四點(diǎn)共面
B．
C．直線與所成角的余弦值為
D．點(diǎn)到直線的距離為1
2．（2024·江西上饒·一模）如圖，棱長為1的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線與底面所成的角為30° B．到直線的距離為
C．平面 D．平面
3．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）在長方體中，為的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．平面
C．點(diǎn)到直線的距離為D．點(diǎn)到平面的距離為
三、填空題
1．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為 ．
2．（2024·福建廈門·一模）已知平面的一個(gè)法向量為，且點(diǎn)在內(nèi)，則點(diǎn)到的距離為 ．
3．（23-24高三上·北京房山·期末）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn).給出下列結(jié)論：
①；
②平面；
③直線與直線所成角的范圍是；
④點(diǎn)到平面的距離是.
其中所有正確結(jié)論的序號是 .
四、解答題
1．（23-24高三上·天津·期末）如圖，已知平面，，，，，，.
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值；
(3)求點(diǎn)到直線的距離.
2．（2024·山西運(yùn)城·一模）如圖，在矩形紙片中，，，沿將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)在平面的射影落在邊上.
(1)求的長度；
(2)若是邊上的一個(gè)動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角余弦值為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.
3．（2024·廣東梅州·一模）已知三棱柱中，，，且，，側(cè)面底面，是的中點(diǎn).
(1)求證：平面平面；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得與平面的所成角為60°.如果存在，請求出；如果不存在，請說明理由.
4．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習(xí)）已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，，為的中點(diǎn)，.
(1)證明：平面平面；
(2)若與平面所成的角為，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，求點(diǎn)到平面的距離.
5．（23-24高三上·北京昌平·期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱的中點(diǎn).

(1)證明：∥平面；
(2)若，，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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