第14講直線與圓（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）-沖刺985、211名校高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)培優(yōu)全攻略（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)分類講解
考點(diǎn)一:直線的方程
1．已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
2．點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為零)的距離d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
3．兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時(shí)為零)間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
易錯(cuò)提醒解決直線方程問題的三個(gè)注意點(diǎn)
(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的可能性．
(2)要注意直線方程每種形式的局限性．
(3)討論兩直線的位置關(guān)系時(shí)，要注意直線的斜率是否存在．
【例1】（23-24高三上·山東青島·期末）“”是“直線與平行”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【變式1】（23-24高三上·河北·階段練習(xí)）已知直線與直線垂直，則的最小值為（）
A．2B．4C．6D．8
【變式2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知直線與直線相交于點(diǎn)，則到直線的距離的取值集合是（）
A．B．C．D．
【變式3】（2023高三·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為 .
考點(diǎn)二:圓的方程
1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．圓的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓．
規(guī)律方法解決圓的方程問題一般有兩種方法
(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程．
(2)代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．
【例4】（2024·江蘇·一模）萊莫恩定理指出：過的三個(gè)頂點(diǎn)作它的外接圓的切線，分別和所在直線交于點(diǎn)，則三點(diǎn)在同一條直線上，這條直線被稱為三角形的線.在平面直角坐標(biāo)系中，若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則該三角形的線的方程為（）
A．B．
C．D．
【變式1】（2024·廣東·一模）過，，三點(diǎn)的圓與軸交于，兩點(diǎn)，則（）
A．3B．4C．8D．6
考點(diǎn)三:直線、圓的位置關(guān)系
1．直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離．
其判斷方法為：
(1)點(diǎn)線距離法．
(2)判別式法：設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，聯(lián)立方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,?x－a?2＋?y－b?2＝r2，))
消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，其根的判別式為Δ，則直線與圓相離?Δ0.
2．圓與圓的位置關(guān)系，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離．
考向1 直線與圓的位置關(guān)系
規(guī)律方法直線與圓相切問題的解題策略
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式．過圓外一點(diǎn)求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外一點(diǎn)的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算．
【例3】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知是圓的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡方程是（）
A．B．C．D．
【變式1】（23-24高三下·山東青島·開學(xué)考試）“圓心到直線的距離小于圓的半徑”是“直線與圓相交”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【變式2】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）
A．1B．C．D．E．均不是
【變式3】（2024·福建漳州·一模）過點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，，若直線與圓：相切，則．
考向2 圓與圓的位置關(guān)系
【例3】（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知圓，圓心為的圓分別與圓相切.圓的公切線（傾斜角為鈍角）交圓于兩點(diǎn)，則線段的長度為（）
A．B．C．3D．6
【變式1】（23-24高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知圓的圓心為，且經(jīng)過圓：與圓：的交點(diǎn)．則圓的面積為（）
A．B．C．D．
【變式2】（2024·廣西來賓·一模）若曲線與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則 .
【變式3】（2023·河北衡水·三模）若圓和有且僅有一條公切線，則；此公切線的方程為
【變式4】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知圓的圓心到直線距離是，則圓M與圓的位置關(guān)系是（）
A．外離B．相交C．內(nèi)含D．內(nèi)切
【變式5】（2024·遼寧·二模）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程為（）
A．B．
C．D．
強(qiáng)化訓(xùn)練
一、單選題
1．（23-24高三上·河南焦作·期末）若圓與軸相切，則（）
A．1B．C．2D．4
2．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值為（）
A．4B．8C．9D．
3．（2024·四川南充·二模）已知圓，直線與圓C（）
A．相離B．相切C．相交D．相交或相切
4．（2024高三下·浙江杭州·專題練習(xí)）已知點(diǎn)A為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）
A．3B．4C．D．
5．（2024·廣東·一模）已知直線與直線相交于點(diǎn)M，若恰有3個(gè)不同的點(diǎn)M到直線的距離為1，則（）
A．B．C．D．
6．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，直線交x軸于A點(diǎn)，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點(diǎn)置于原點(diǎn)O，另兩個(gè)頂點(diǎn)M，N恰好落在直線上，若點(diǎn)N在第二象限內(nèi)，則的值為（）
A．B．C．D．
7．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知為圓上動(dòng)點(diǎn)，直線和直線（，）的交點(diǎn)為，則的最大值是（）
A．B．C．D．
8．（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測）設(shè)，，已知函數(shù)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為（）
A．B．C．D．
二、多選題
1．（23-24高三上·湖北襄陽·期末）已知直線，圓，且圓過點(diǎn)，直線與圓交于兩點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（）
A．圓的半徑為2
B．直線過定點(diǎn)
C．的最小值是
D．的最大值是0
2．（23-24高三上·浙江紹興·期末）直線：，圓：，則下列結(jié)論正確的是（）
A．直線經(jīng)過定點(diǎn)且與圓恒有兩個(gè)公共點(diǎn)
B．圓心到直線的最大距離是2
C．存在一個(gè)值，使直線經(jīng)過圓心
D．不存在使得圓與圓關(guān)于直線對稱
3．（23-24高三上·福建·階段練習(xí)）已知直線l：與圓C：，點(diǎn)P在圓C上，則（）
A．直線l過定點(diǎn)
B．圓C的半徑是6
C．直線l與圓C一定相交
D．點(diǎn)P到直線l的距離的最大值是
三、填空題
1．（23-24高三上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)在，處分別取得極大值和極小值，記點(diǎn)，，的圖象與軸正半軸的交點(diǎn)為.若的外接圓的圓心在以為直徑的圓上，則 .
2．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）平面幾何中有一個(gè)著名的塞爾瓦定理：三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)到其垂心（三角形三條高的交點(diǎn)）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點(diǎn)對邊距離的2倍．若點(diǎn)A，B，C都在圓E上，直線BC方程為，且，△ABC的垂心在△ABC內(nèi)，點(diǎn)E在線段AG上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程 .
3．（2024·陜西·模擬預(yù)測）若直線與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是 .
四、解答題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)拋物線，點(diǎn)，，過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)．
(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；
(2)證明：．
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)A為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn).求點(diǎn)的軌跡的方程.
3．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知圓，直線，過的直線與圓相交于兩點(diǎn)，
(1)當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，求證：直線過圓心.
(2)當(dāng)時(shí)，求直線的方程.
4．（2024·甘肅蘭州·一模）已知圓過點(diǎn)，和，且圓與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn).
(1)求圓和拋物線的方程；
(2)過點(diǎn)作直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，過點(diǎn)，分別做拋物線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，試判斷直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)是否為定點(diǎn)，如果是，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，說明理由．
5．（23-24高三上·天津·期末）設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是，記點(diǎn)的軌跡為.
(1)求的方程
(2)設(shè)直線與交于，兩點(diǎn)，若的外接圓在處的切線與交于另一點(diǎn)，求的面積.

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