考點(diǎn)分類講解
考點(diǎn)一：弦長問題
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，
則|AB|＝eq \r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)
＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)eq \r(?x1＋x2?2－4x1x2)，
或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|
＝eq \r(1＋\f(1,k2))eq \r(?y1＋y2?2－4y1y2).
易錯提醒 (1)設(shè)直線方程時，需考慮特殊直線，如直線的斜率不存在、斜率為0等．
(2)涉及直線與圓錐曲線相交時，Δ>0易漏掉．
(3)|AB|＝x1＋x2＋p是拋物線過焦點(diǎn)的弦的弦長公式，其他情況該公式不成立．
【例1】（22-23高三·全國·對口高考）通過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線l被橢圓截得的弦長等于（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)橢圓方程寫出一條過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線，代入橢圓方程求交點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可得弦長.
【詳解】由題設(shè)，不妨設(shè)過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線，
代入橢圓方程得，可得，故被橢圓截得的弦長等于.
故選：B
【變式1】（23-24高三上·北京東城·期末）已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是 ；直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，則 .
【答案】
【分析】由已知可判斷雙曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，可知，，表示漸近線方程即可；由可求的值，從而得到交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到距離.
【詳解】由雙曲線：知雙曲線的焦點(diǎn)在軸，且，，
即，，所以雙曲線的漸近線方程為；
當(dāng)時，，
設(shè)，則，所以.
故答案為：；.
【變式2】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為2的直線l與C交于P、Q兩點(diǎn)，則 .
【答案】
【分析】由題意求出直線l的方程，聯(lián)立方程組，由拋物線的焦點(diǎn)弦公式求解即可.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，
過F且斜率為2的直線l方程為：，設(shè)，，
聯(lián)立得：，則，
所以.
故答案為：.
【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的一個焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)，過原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦長的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，對直線的斜率是否同時存在進(jìn)行分類討論，當(dāng)直線分別與兩坐標(biāo)軸重合時，直接求出的值；當(dāng)直線的斜率都存在時，設(shè)直線，求出關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.
【詳解】由題意焦點(diǎn)在軸上面，，所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
當(dāng)直線分別與兩坐標(biāo)軸重合時，；
當(dāng)直線的斜率都存在時，設(shè)直線，聯(lián)立，可得，
所以，
同理可得，
所以
，
因?yàn)椋瑒t，令，
令，
因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
又因?yàn)?，，則，
此時，則.
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；
（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.
考點(diǎn)二：面積問題
規(guī)律方法 圓錐曲線中求解三角形面積的方法
(1)常規(guī)面積公式：S＝eq \f(1,2)×底×高．
(2)正弦面積公式：S＝eq \f(1,2)absin C.
(3)鉛錘水平面面積公式：
①過x軸上的定點(diǎn)：S＝eq \f(1,2)a|y1－y2|(a為x軸上定長)；
②過y軸上的定點(diǎn)：S＝eq \f(1,2)a|x1－x2|(a為y軸上定長)．
【例2】（23-24高三下·海南省直轄縣級單位·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且傾斜角為120°的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，若，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程可得韋達(dá)定理，即可根據(jù)焦點(diǎn)弦求解，進(jìn)而可得，即可求解面積.
【詳解】根據(jù)題意得直線，
由得
設(shè)，則，
故，
解得，代入（*）式，解得．
將代入直線的方程中，
解得，故，
故選:B．
【變式1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)記為，且的面積為2，則橢圓恒過定點(diǎn)（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由三角形面積公式可推出三角形坐標(biāo)公式，結(jié)合直線與橢圓聯(lián)立后的韋達(dá)定理，可求出定點(diǎn).
【詳解】設(shè)，
∵

，
∴．
由得，
故，
則，化簡得，
故橢圓恒過定點(diǎn)．
故選：．
【變式2】（23-24高三下·河北保定·開學(xué)考試）已知是左、右焦點(diǎn)分別為的橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過作的平行線交直線于點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】作出圖形，由幾何關(guān)系易判斷，求出，進(jìn)而得解.
【詳解】
如圖，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以為中位線，
，又因?yàn)椋?br>所以四邊形為平行四邊形，，
由幾何關(guān)系易得，設(shè)，
則，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時，，
所以.
故選：D
【變式3】（2024·山東泰安·一模）已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，是左支上一點(diǎn)，，當(dāng)周長最小時，該三角形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用雙曲線的定義，確定周長最小時，的坐標(biāo)，即可求出周長最小時，該三角形的面積．
【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由雙曲線定義知，，
的周長為，
由于是定值，要使的周長最小，則最小，即、、共線，
，，直線的方程為，
即代入整理得，
解得或（舍），所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
.
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：
（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；
（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.
考點(diǎn)三：中點(diǎn)弦問題
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)C(x0，y0)，直線AB的斜率為k.
若E的方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
則k＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；
若E的方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
則k＝eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；
若E的方程為y2＝2px(p>0)，則k＝eq \f(p,y0).
規(guī)律方法 處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法
【例3】（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知拋物線，過C的焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為W，，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】設(shè)，代入拋物線方程兩式相減可得，進(jìn)而求得，由求得值.
【詳解】設(shè)，
則兩式相減，可得，
所以，即，
所以，所以，
代入直線，得，
所以，所以，解得.
故選：B
【變式1】（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）設(shè)直線與雙曲線分別交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是，則該雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，聯(lián)立直線與雙曲線方程，借助中點(diǎn)橫坐標(biāo)列式求解即得.
【詳解】由線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是，得線段的中點(diǎn)縱坐標(biāo)是，設(shè)，
由消去x得，
，
因此，整理得，顯然成立，
所以該雙曲線的離心率.
故選：A
【變式2】（22-23高二下·陜西榆林·期末）已知為雙曲線上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為 .
【答案】/2.25
【分析】利用點(diǎn)差法和兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率公式化簡計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)，
則
兩式相減得，
由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
即，
.
故答案為：
【變式3】（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合“點(diǎn)差法”，即可直線的斜率，得到答案.
【詳解】設(shè)，代入拋物線，可得，
兩式相減得，
所以直線的斜率為，
又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，可得，
所以，即直線的斜率為.
故選：C.
強(qiáng)化訓(xùn)練
一、單選題
1．（23-24高三下·新疆·階段練習(xí)）將拋物線繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到拋物線，若拋物線與拋物線交于異于原點(diǎn)的點(diǎn)，記拋物線與的焦點(diǎn)分別為、，且四邊形的面積為8，則（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】C
【分析】依題意可得拋物線的方程為，聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，最后由求出.
【詳解】由拋物線的性質(zhì)可知拋物線的方程為，
由，解得或，即，
又，，
所以，解得或（舍去）.
故選：C

2．（24-25高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·開學(xué)考試）設(shè)A，B為雙曲線上的兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則直線AB的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用點(diǎn)差法，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可.
【詳解】設(shè)，
則有，兩式相減，得，
因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，
所以，
因此由，
即直線AB的斜率為，方程為，
代入雙曲線方程中，得，
因?yàn)椋?br>所以線段AB存在，
故選：C
3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上(頂點(diǎn)除外)任意一點(diǎn)，若的角平分線與以為直徑的圓交于點(diǎn)，則的面積的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】延長交的延長線于點(diǎn)D，連接，根據(jù)題意可求得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，結(jié)合圖形，即可求出的面積的最大值.
【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長為，虛半軸長為，
由題可知，，的實(shí)半軸長，虛半軸長，
則 ，
如圖，延長交的延長線于點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，
則，又為的角平分線，
所以，則為的中點(diǎn).
連接，在中，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則是的中位線，
因?yàn)槭请p曲線右支上(頂點(diǎn)除外)任意一點(diǎn)，由雙曲線的定義知，
故|，所以，
故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，軌跡方程為，
顯然，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時，的面積取得最大值，
最大值.
故選：C.
4．（2023·四川資陽·三模）已知拋物線C：，過點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率是（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】利用點(diǎn)差法求解即可.
【詳解】設(shè)，則作差得.因?yàn)?，所以P是線段AB的中點(diǎn)，所以，則直線l的斜率.
故選：A
5．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)，并且滿足，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，用弦長公式表示出，用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合點(diǎn)在橢圓上的條件表示出，代入題干條件即可求解.
【詳解】設(shè)，則，由，
消去，得，
注意到，則.于是，
同理，. 因此.
的傾斜角為，∴直線的斜率，
根據(jù)弦長公式，可得.
由，可得，故.
．
故選：A
6．（22-23高三上·江西·期末）如圖，已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，其垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)N.若四邊形的面積等于8，則E的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)求出的坐標(biāo)，然后得的方程，令，得的坐標(biāo)，利用直角梯形的面積求出，可得拋物線方程.
【詳解】易知，直線AB的方程為，四邊形OCMN為直角梯形，且.
設(shè)，，，則，
所以，所以，，∴.
所以MC直線方程為，∴令，∴，∴.
所以四邊形OCMN的面積為，∴.
故拋物線E的方程為.
故選：B.
7．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線，直線經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線C的右支交于兩點(diǎn)．點(diǎn)為軸上一點(diǎn)且滿足，則（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出的中點(diǎn)，可得的直線方程，求出可得點(diǎn)坐標(biāo)可得，再求出、點(diǎn)到直線的距離，再由求出，然后由可得答案.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，
由已知直線的斜率存在，且，，
設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，
，整理得，設(shè)，
所以，，
則的中點(diǎn)，
所以的直線方程為，
令，得，可得，
所以，
，
點(diǎn)到直線的距離，
所以，
所以.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是求出、點(diǎn)到直線的距離，再由勾股定理求出，然后求.
8．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知直線l與橢圓相切于點(diǎn)P，與圓交于A，B兩點(diǎn)，圓在點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積的最大值為（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】由，，，四點(diǎn)共圓，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系得出相交弦方程，再由與橢圓相切，可得過的切線方程，從而得出，，再由橢圓的參數(shù)方程和向量的運(yùn)算，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．
【詳解】設(shè)，，由，，可得四點(diǎn)，，，共圓，
可得以為直徑的圓，方程為，
聯(lián)立圓，相減可得的方程為，
又與橢圓相切，若不與軸垂直時，
當(dāng)時，可化為，
設(shè)，在的切線方程為，
即，同理可得時，在的切線方程為，
若軸時，在點(diǎn)處的切線方程為，滿足
故過的切線方程為，即為，
由兩直線重合的條件可得，，
由于在橢圓上，可設(shè)，，，
即有，，
可得，
且，，
即有
，
當(dāng)即或或或時，的面積取得最大值．
故選：．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在求面積的最大值時，關(guān)鍵在于利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合三角恒等變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)得出面積的最大值.
二、多選題
1．（23-24高三上·遼寧撫順·期末）直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于M，N兩點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．的最小值為6D．的最小值為12
【答案】BD
【分析】先根據(jù)題意及直線過定點(diǎn)即可判斷A，B；再根據(jù)拋物線的性質(zhì)知直線垂直于軸，取得最小值，進(jìn)而即可判斷C，D．
【詳解】對于A，B，由直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，故A錯誤，B正確；
對于C，D，當(dāng)直線垂直于軸，即時，取得最小值，且最小值為．故C錯誤，D正確．
故選：BD．
2．（2024·云南昭通·模擬預(yù)測）已知橢圓，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．橢圓的離心率為
B．橢圓的長軸長為2
C．若直線的方程為，則右焦點(diǎn)到的距離為
D．若直線過點(diǎn)，且與軸平行，則
【答案】AC
【分析】求出的值后，可直接計(jì)算出離心率和長軸長，從而判斷出A,B；利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可判斷C；根據(jù)通徑公式進(jìn)行計(jì)算，或者聯(lián)立直線和橢圓方程，利用弦長公式進(jìn)行求解可判斷D.
【詳解】由題意知，
對于A選項(xiàng)：,則A正確；
對于B選項(xiàng)：長軸為：,故B錯誤；
對于選項(xiàng)：的方程為，
所以右焦點(diǎn)到的距離為，故C正確；
對于選項(xiàng)：方法過且與軸平行，
為通徑，.
方法過且與軸平行，
的方程為，由，故D錯誤，
故選：AC.
3．（2023·河北滄州·三模）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且，，關(guān)于的平分線的對稱點(diǎn)恰好在上，則（ ）
A．的實(shí)軸長為2
B．的離心率為
C．的面積為
D．的平分線所在直線的方程為
【答案】ACD
【分析】求出雙曲線的解析式，即可求出實(shí)軸長和離心率，求出焦點(diǎn)即可得出面積，利用傾斜角即可求出的平分線所在直線的方程.
【詳解】由題意，
在中，
∵關(guān)于的平分線的對稱點(diǎn)恰好在上，
∴，，三點(diǎn)共線，且，
∵，∴.
設(shè)，，
根據(jù)雙曲線定義可得，，
解得，，即，∴.
在中，根據(jù)勾股定理可得，，解得，
∴的實(shí)軸長為2，所以A正確；
又，，∴的離心率為，所以B不正確；
的面積為，∴C正確；
∵，∴，
∵，易得的平分線的傾斜角為，
∴的平分線所在直線的方程為，即，所以D正確.
故選：ACD.
三、填空題
1．（23-24高三上·河南周口·階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C：的焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，，若，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合直線的兩點(diǎn)式方程與拋物線方程聯(lián)立，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合拋物線的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)，垂足為，因?yàn)椋?br>所以，
把代入中，得，負(fù)值舍去，
所以點(diǎn)A坐標(biāo)為，
因此直線的方程為：，
與拋物線方程，聯(lián)立，
得，或，
把代入拋物線方程中，得，
所以，
故答案為：
2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)作斜率為的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為 .
【答案】
【分析】求出直線的方程，再與橢圓方程聯(lián)立求解即得.
【詳解】直線l的方程為，
由消去y得，顯然，
即直線與橢圓相交，設(shè)交點(diǎn)，則，
于是線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，
所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為：
3．（2024·黑龍江·二模）已知雙曲線的離心率為，其左?右焦點(diǎn)分別為，過作的一條漸近線的垂線并交于兩點(diǎn)，若，則的周長為 .
【答案】
【分析】設(shè)方程，根據(jù)求得方程，再由雙曲線定義求的周長.
【詳解】由，得，
則雙曲線，
，漸近線，
不妨設(shè)直線，，
聯(lián)立方程消去得，
則，
可得，解得，可得，
由雙曲線的定義可得，
則，
可得，所以的周長.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在雙曲線中，直線過焦點(diǎn)，，則的周長.
四、解答題
1．（2023·河南·三模）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，求面積的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，把焦點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程，求解即可；
（2）設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)，直線與拋物線聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系，表示出弦長，利用導(dǎo)數(shù)求拋物線過兩點(diǎn)的切線，求出交點(diǎn)，點(diǎn)到直線距離得三角形的高，根據(jù)面積的表達(dá)式求最小值.
【詳解】（1）由題意，設(shè)的方程為，
因?yàn)閳A經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，
所以，解得，
所以的方程為.
（2）如圖所示，

設(shè)，則，聯(lián)立方程組整理得，
所以，且，
所以.
由，可得，則，所以拋物線的過點(diǎn)A的切線方程是，
將代入上式整理得，
同理可得拋物線的過點(diǎn)的切線方程為
由解得，所以，
所以到直線的距離，
所以的面積，
當(dāng)時，，
所以面積的最小值為.
2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知傾斜角為的直線l與雙曲線C：交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求直線l的方程．
【答案】
【分析】利用點(diǎn)差法求解，檢驗(yàn)判別式即可.
【詳解】設(shè)，，中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則①，②，
②－①得，，即，
又，所以，
所以直線l的方程為，即.
聯(lián)立，得，則，
綜上，直線l的方程為.
3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）橢圓的離心率為，右頂點(diǎn)為A，設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓E上異于左、右頂點(diǎn)的動點(diǎn)，面積的最大值為．求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
【答案】
【分析】由離心率為可得，又面積的最大值為，聯(lián)立方程求解即可.
【詳解】由題意，設(shè)橢圓半焦距為c，則，即，得，
設(shè)，由，所以的最大值為，
將代入，有，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
4．（2024·云南貴州·二模）已知橢圓的方程，右焦點(diǎn)為，且離心率為
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過的直線交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），求與的面積之比的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)離心率以及焦點(diǎn)即可求解；
（2）①當(dāng)斜率不存在時，易知；②當(dāng)斜率存在時，設(shè)與橢圓方程聯(lián)立，得到，利用韋達(dá)定理可得，設(shè)，轉(zhuǎn)化為，可得答案．
【詳解】（1）設(shè)橢圓焦距為，
由題意可得，
故橢圓方程為
（2）當(dāng)斜率不存在時，易知；
②當(dāng)斜率存在時，設(shè)，,，,，
由，得，顯然，
所以，，
因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
又，
設(shè)，則，，解得且，
所以，
綜上可得的取值范圍為．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值.
5．（2024·云南曲靖·一模）已知斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，分別在點(diǎn)、處作拋物線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，則的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值及此時對應(yīng)的直線的方程；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)、，由已知可得出，利用斜率公式以及拋物線的方程可求得的值，由此可得出拋物線的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)、，分析可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出，求出兩切線的方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可得出，求出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最小值，及其對應(yīng)的直線的方程.
【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)、，因?yàn)橹本€的斜率為，則，
因?yàn)榫€段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，
，可得，
所以，拋物線的方程為.
（2）解：設(shè)點(diǎn)、，易知點(diǎn)，
若直線的斜率不存在，則直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，
，由韋達(dá)定理可得，，
由焦點(diǎn)弦長公式可得，
對函數(shù)求導(dǎo)得，則直線的方程為，即，
同理可知，直線的方程為，
聯(lián)立可得，即點(diǎn)，
則，，
所以，，即，
且，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的面積存在最小值，且最小值為，
此時，直線的方程為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；
二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．

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