“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個頂點稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。
1）手拉手相似模型（任意三角形）
條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；
結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.
2）手拉手相似模型（直角三角形）

條件:如圖，，（即△COD∽△AOB）；
結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.
3）手拉手相似模型（等邊三角形與等腰直角三角形）

條件:M為等邊三角形ABC和DEF的中點； 結(jié)論：△BME∽△CMF；.
條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 結(jié)論：△ABD∽△ACE.
【例題精講】
例1．（等腰三角形）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，，D為邊上一點（不與點B、C重合）將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則線段與的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；
【探究證明】（2）如圖2，在和中，將繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點C，D，E在同一直線時，與具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；
【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，將繞順時針旋轉(zhuǎn)，點C對應(yīng)點E，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（），當(dāng)點C，D，E在同一直線時，畫出圖形，并求出線段的長度．
例2．（直角三角形）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點D，E分別為AC，BC的中點．△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點為點P．
(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時，AD與BE的數(shù)量關(guān)系為______，AD與BE的位置關(guān)系為______；
(2)當(dāng)0°＜α≤360°時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形進行證明；若不成立，請說明理由；
(3)△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出運動過程中P點運動軌跡的長度和P點到直線BC距離的最大值．
例3．（等邊三角形）
(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．
(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．
①求的值；②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．
例4．（正方形）如圖（1），在矩形中，，點分別是邊的中點，四邊形為矩形，連接．

（1）問題發(fā)現(xiàn)：在圖（1）中，_________；
（2）拓展探究：將圖（1）中的矩形繞點旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，的大小有無變化？請僅就圖（2）的情形給出證明；
（3）問題解決
當(dāng)矩形旋轉(zhuǎn)至三點共線時，請直接寫出線段的長．
例5．（培優(yōu)綜合1）（1）如圖1，Rt△ABC與Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，連接BD，CE．求證：．
（2）如圖2，四邊形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，連接BC，BC、AC、CD之間有何數(shù)量關(guān)系？
小明在完成本題中，如圖3，使用了“旋轉(zhuǎn)放縮”的技巧，即將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，并放大2倍，點B對應(yīng)點D．點C落點為點E，連接DE，請你根據(jù)以上思路直接寫出BC，AC，CD之間的關(guān)系．
（3）拓展：如圖4，矩形ABCD，E為線段AD上一點，以CE為邊，在其右側(cè)作矩形CEFG，且，AB＝5，連接BE，BF．求BE+BF的最小值．
例6．（培優(yōu)綜合2）在正方形中，等腰直角，，連接，H為中點，連接、、，發(fā)現(xiàn)和為定值．
（1）①__________；
②__________；
③小明為了證明①②，連接交于O，連接，證明了和的關(guān)系，請你按他的思路證明①②．
（2）小明又用三個相似三角形（兩個大三角形全等）擺出如圖2，，（）求：
①__________（用k的代數(shù)式表示）
②__________（用k、的代數(shù)式表示）
課后訓(xùn)練
1．在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，點A為公共頂點，．如圖②，若△ABC固定不動，把△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AD、AE與邊BC的交點分別為M、N點M不與點B重合，點N不與點C重合．
【探究】求證：．
【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4．
(1)的值為______．
(2)若，則MN的長為______．
2．將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼谋?，得到，我們將這種變換記為．
（1）問題發(fā)現(xiàn)
如圖①，對作變換得，則______；直線與直線所夾的銳角度數(shù)為______．
（2）拓展探究
如圖②，中，且，連結(jié)，．對作變換得，求的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖②的情形說明理由．
（3）問題解決
如圖③，中，，，對作變換得，使點、、在同一直線上，且四邊形為矩形，請直接寫出的值．
3．如圖，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點O在線段AB上（點O不與點A，B重合），且OB＝kOA，點M是AC延長線上的一點，作射線OM，將射線OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交射線CB于點N．
（1）如圖1，當(dāng)k＝1時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)k＞1時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并證明；
（3）點P在射線BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，請直接寫出的值（用含k的式子表示）．
4．某校數(shù)學(xué)活動小組探究了如下數(shù)學(xué)問題：
(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點P是底邊BC上一點，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是______；
(2)變式探究：如圖2，中，，．點P是腰AB上一點，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點P是邊BC上一點，以DP為邊作正方形DPEF，點Q是正方形DPEF兩條對角線的交點，連接CQ．若正方形DPEF的邊長為，，求正方形ABCD的邊長．
5．如圖1所示，矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點，將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)（0°＜≤360°），直線BE，DF相交于點P．
（1）若AB＝AD，將△AEF繞點A逆時針旋至如圖2所示的位置上，則線段BE與DF的位置關(guān)系是 ，數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）若AD＝nAB（n≠1）將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請就圖3所示的情況加以證明；若不成立，請寫出正確結(jié)論，并說明理由．
（3）若AB＝6，BC＝8，將△AEF旋轉(zhuǎn)至AE⊥BE時，請直接寫出DP的長．
6．如圖，以的兩邊、分別向外作等邊和等邊，與交于點，已知，，．
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)及的長；
（3）若點、分別是等邊和等邊的重心（三邊中線的交點），連接、、，作出圖象，求的長．
7．如圖，正方形ABCD，對角線AC，BD相交于O，Q為線段DB上的一點，，點M、N分別在直線BC、DC上．
（1）如圖1，當(dāng)Q為線段OD的中點時，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)Q為線段OB的中點，點N在CD的延長線上時，則線段DN、BM、BC的數(shù)量關(guān)系為 ；
（3）在（2）的條件下，連接MN，交AD、BD于點E、F，若，，求EF的長．
8.如圖1，分別是的內(nèi)角的平分線，過點作，交的延長線于點．
（1）求證：；
（2）如圖2，如果，且，求的值；
（3）如果是銳角，且與相似，求的度數(shù)，并直接寫出的值．
專題08 相似三角形的基本模型（手拉手模型）
【模型說明】
“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個頂點稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。
1）手拉手相似模型（任意三角形）
條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；
結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.
2）手拉手相似模型（直角三角形）

條件:如圖，，（即△COD∽△AOB）；
結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.
3）手拉手相似模型（等邊三角形與等腰直角三角形）

條件:M為等邊三角形ABC和DEF的中點； 結(jié)論：△BME∽△CMF；.
條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 結(jié)論：△ABD∽△ACE.
【例題精講】
例1．（等腰三角形）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，，D為邊上一點（不與點B、C重合）將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則線段與的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；
【探究證明】（2）如圖2，在和中，將繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點C，D，E在同一直線時，與具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；
【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，將繞順時針旋轉(zhuǎn)，點C對應(yīng)點E，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（），當(dāng)點C，D，E在同一直線時，畫出圖形，并求出線段的長度．
【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）畫出圖形見解析，線段的長度為．
【分析】（1）由題意易得，，從而可證，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求解；
（2）連接，由題意易得，進而可證，最后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及角的等量關(guān)系可求證；
（3）如圖，過A作，由題意可知，，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及題意易證，最后根據(jù)勾股定理及等積法進行求解即可．
【詳解】解：（1）在中，，
，
，
，即，
在和中，，
，
，
，
，
故答案為：；
（2），
理由：如圖2，連接，
∵在和中，，，，
，
，
∵，，
，
，
，
∴；
（3）如圖3，過A作AF⊥EC，
由題意可知，，
∴，即，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
，2×，
．
【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到相似三角形，進而求解．
例2．（直角三角形）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點D，E分別為AC，BC的中點．△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點為點P．
(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時，AD與BE的數(shù)量關(guān)系為______，AD與BE的位置關(guān)系為______；
(2)當(dāng)0°＜α≤360°時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形進行證明；若不成立，請說明理由；
(3)△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出運動過程中P點運動軌跡的長度和P點到直線BC距離的最大值．
【答案】(1)AD＝BE，AD⊥BE
(2)結(jié)論仍然成立，證明見解析
(3)P點運動軌跡的長度是π；P點到直線BC距離的最大值是
【分析】（1）分別求出AD、BE的長即可解答；
（2）先證明△BCE∽△ACD ，可得＝，∠CBO＝∠CAD即可解答；
（3）利用銳角三角函數(shù)可求∠EBC=30°，由弧長公式可求P點運動軌跡的長度，由直角三角形的性質(zhì)可求P點到直線BC距離的最大值即可．
【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE
∵點D，E分別為AC，BC的中點
∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=，∴ AD＝BE．
故答案為：AD＝BE，AD⊥BE．
（2）解：結(jié)論仍然成立，理由如下：∵AC＝，BC＝1，CD＝，EC＝，
∴，＝，∴，
∵△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE∽△ACD，
∴＝，∠CBO＝∠CAD，∴AD＝BE，
∵∠CBO+∠BOC＝90°，∴∠CAD+∠AOP＝90°，∴∠APO＝90°，∴BE⊥AD．
（3）解：∵∠APB＝90°， ∴點P在以AB為直徑的圓上，
如圖3，取AB的中點G，作⊙G，以點C為圓心，CE為半徑作⊙C，當(dāng)BE是⊙C切線時，點P到BC的距離最大，過點P作PH⊥BC，交BC的延長線于H，連接GP，
∵BE是⊙C切線，∴CE⊥BE，
∵＝，∴∠EBC＝30°， ∴∠GBP＝30°，
∵GB＝GP，∴∠GBP＝∠GPB＝30°， ∴∠BGP＝120°，
∵點P的運動軌跡為點C→點P→點C→點B→點C，
∴P點運動軌跡的長度＝×2＝π，
∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，∴AP＝AB＝1，BP＝AP＝，
∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，∴PH＝BP＝．
∴P點到直線BC距離的最大值．
【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識點，靈活應(yīng)用相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．
例3．（等邊三角形）
(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．
(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．
①求的值；
②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，從而得出結(jié)論；
（2）證明△BAD∽△CAE，進而得出結(jié)果；
（3）①先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進而得出結(jié)果；
②在①的基礎(chǔ)上得出∠ACE＝∠ABD，進而∠BFC＝∠BAC，進一步得出結(jié)果．
【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
（3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．
例4．（正方形）如圖（1），在矩形中，，點分別是邊的中點，四邊形為矩形，連接．

（1）問題發(fā)現(xiàn)
在圖（1）中，_________；
（2）拓展探究
將圖（1）中的矩形繞點旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，的大小有無變化？請僅就圖（2）的情形給出證明；
（3）問題解決
當(dāng)矩形旋轉(zhuǎn)至三點共線時，請直接寫出線段的長．
【答案】（1）；（2）的大小無變化，證明見解析；（3）或
【分析】（1延長FG交BC于點H，可根據(jù)題意分別求出，的長，即可求的值；
（2）連接，先由勾股定理計算的值，再計算，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)解題即可；
（3）采用分類討論法解題，一種是點在線段上，另一種是點在的延長線上，據(jù)此分別求解即可.
【詳解】（1）解：延長FG交BC于點H，
則
，
，
故答案為：

（2）的大小無變化.
證明：如圖（1），連接，
由題意可知：，
∴，
即，
在矩形中，，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

（3）或
如圖（2），圖（3）：

如圖（2），當(dāng)點在線段上，由（2）知，，，在中，
；
當(dāng)點在的延長線上時，由（2）知，，，在中，
綜上所述，或
【點睛】本題考查勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，其中涉及分類討論思想，綜合性較強，有一定難度，熟練并靈活運用知識是解題的關(guān)鍵.
例5．（培優(yōu)綜合1）（1）如圖1，Rt△ABC與Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，連接BD，CE．求證：．
（2）如圖2，四邊形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，連接BC，BC、AC、CD之間有何數(shù)量關(guān)系？
小明在完成本題中，如圖3，使用了“旋轉(zhuǎn)放縮”的技巧，即將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，并放大2倍，點B對應(yīng)點D．點C落點為點E，連接DE，請你根據(jù)以上思路直接寫出BC，AC，CD之間的關(guān)系．
（3）拓展：如圖4，矩形ABCD，E為線段AD上一點，以CE為邊，在其右側(cè)作矩形CEFG，且，AB＝5，連接BE，BF．求BE+BF的最小值．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）
【分析】（1）根據(jù)已知條件直接證明，再證明，從而可得，設(shè)，則,根據(jù)勾股定理求得,求得，即可得證；
（2）根據(jù)題意可知，，設(shè)則,求得,分別求得,根據(jù)，即可求得；
（3）根據(jù)（2）的方法，旋轉(zhuǎn)放縮,縮小為原來的，使得的落點為,的落點為，過點作于點,交的延長線于點，作點關(guān)于的對稱點,連接,則,當(dāng)點三點共線時，取等于號，接下來根據(jù)相似的性質(zhì)分別求得各邊的長度，最后根據(jù)勾股定理求得即可求得最小值
【詳解】（1）∠ADE＝∠ABC＝90°，
即
設(shè)，則,
（2）∠BAD＝∠BCD＝90°，且
將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，并放大2倍，點B對應(yīng)點D．點C落點為點E，
，
，


三點共線，
，設(shè)則
（3）如圖，設(shè),將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，并縮小為原來的，
使得的落點為,的落點為，
過點作于點,交的延長線于點，
作點關(guān)于的對稱點,連接
則，
當(dāng)點三點共線時，取等于號
由作圖知:， 且,
，AB＝5
,

四邊形是矩形
在中
在中，
四邊形是矩形
,
四邊形是矩形
,
在中，
的最小值為
【點睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)放縮法構(gòu)造相似三角形，線段和最值問題，勾股定理，正確的作出圖形和輔助線是解題的關(guān)鍵．
例6．（培優(yōu)綜合2）在正方形中，等腰直角，，連接，H為中點，連接、、，發(fā)現(xiàn)和為定值．
（1）①__________；
②__________；
③小明為了證明①②，連接交于O，連接，證明了和的關(guān)系，請你按他的思路證明①②．
（2）小明又用三個相似三角形（兩個大三角形全等）擺出如圖2，，（）求：
①__________（用k的代數(shù)式表示）
②__________（用k、的代數(shù)式表示）
【答案】（1）①；②45°；③見解析；（2）①；②
【分析】（1）①通過中位線得出，再通過等腰直角三角形斜邊與直角邊的關(guān)系得出,則，在等腰Rt△OBA中得出，再結(jié)合中位線OH和正方形的性質(zhì)證明∠BOH=∠BAF，即可證明出，即可得出比值；②利用相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)角相等，代換角即可求出；
（2）①用與（1）相似的方法可以證明出，即可得出比值；②通過添加輔助線，構(gòu)造兩個直角三角形，用銳角三角函數(shù)和勾股定理表示出兩邊，即可求出比值．
【詳解】（1）；②45°
③證明：如圖所示：
由正方形性質(zhì)得：，O為的中點
又∵H為的中點，則，
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∵
∴，
又∵
∴
又
∴，
又∵
∴
∴，
∴
（2）① ②
理由如下：
①如圖，連接，與交于O點，連接
由題可知四邊形ABCD為平行四邊形，
∴O為AC和BD的中點，
又∵H為CE中點，
∴， ,
又∵,
∴ ,即，
,即，
∵OH是△ACE的中位線，
∴OH∥AE，
∴,
又∵是△AOD的外角，
∴,
又∵ ,
∴ ,∴ ,
又∵，∴，∴
②：由得：，則
在中，，
不妨令，，如圖作
則：，
則
由勾股定理解得：
∴．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，涉及知識點較多，難度較大，能夠通過已知條件找出判定相似三角形的條件是解題關(guān)鍵．
課后訓(xùn)練
1．在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，點A為公共頂點，．如圖②，若△ABC固定不動，把△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AD、AE與邊BC的交點分別為M、N點M不與點B重合，點N不與點C重合．
【探究】求證：．
【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4．
(1)的值為______．
(2)若，則MN的長為______．
【答案】(1)8
(2)
【探究】利用三角形外角的性質(zhì)可證，又由，可證明結(jié)論；
【應(yīng)用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角邊長，再由，得，則；
（2）由，得，由（1）知，得，從而得出答案．
【詳解】（1）∵△ABC為等腰直角三角形，，
∴，同理，，
∵，
，∴，∴；
（2）（1）∵等腰直角三角形的斜邊長為4，
∴，∵，
∴，∴，∴，故答案為：8；
（2）∵，∴，∵，
∴，∴，
故答案為：．
【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用前面探索的結(jié)論解決新的問題是解題的關(guān)鍵．
2．將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼谋叮玫?，我們將這種變換記為．
（1）問題發(fā)現(xiàn)
如圖①，對作變換得，則______；直線與直線所夾的銳角度數(shù)為______．
（2）拓展探究
如圖②，中，且，連結(jié)，．對作變換得，求的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖②的情形說明理由．
（3）問題解決
如圖③，中，，，對作變換得，使點、、在同一直線上，且四邊形為矩形，請直接寫出的值．
【答案】（1），；（2），理由見解析；（3）．
【分析】（1）利用新定義得出的意義，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∽，且相似比為，，進而求出面積比，通過外角的性質(zhì)得到即可求出直線與直線所夾的銳角度數(shù)；
（2）利用新定義得出的意義，得到，，進而可以得到，下證∽，通過題中給的相似比即可求出面積之比，延長交于，通過，，可以證得∽，從而得到的度數(shù)，即可得直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)；
（3）由四邊形為矩形，得到，進而求出的度數(shù)，利用含角的直角三角形的性質(zhì)即可得到的值，進而求出的值．
【詳解】解：（1）由題意可知：對作變換得，
∽，且相似比為，，
，
，
，，
，
即直線與直線所夾的銳角度數(shù)為：．
故答案為：，．
（2）根據(jù)題意得：，，
，
，
∽，
相似比，，
，
，
延長交于，如圖，
設(shè)交于．
，，
∽，
，
，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)為．
（3）四邊形為矩形，
，
，
，
，
，
在中，，
，，的值為．
【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，相似三角形的判定和性質(zhì)，新定義運算，三角形的外角性質(zhì)以及含角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出的意義．
3．如圖，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點O在線段AB上（點O不與點A，B重合），且OB＝kOA，點M是AC延長線上的一點，作射線OM，將射線OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交射線CB于點N．
（1）如圖1，當(dāng)k＝1時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)k＞1時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并證明；
（3）點P在射線BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，請直接寫出的值（用含k的式子表示）．
【答案】（1）OM＝ON，見解析；（2）ON＝k?OM，見解析；（3）
【分析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，證明△DOM≌△EON；
（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，證明△DOM∽△EON；
（3）設(shè)AC＝BC＝a，解Rt△EON和斜△AOM，用含的代數(shù)式分別表示再利用比例的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：（1）OM＝ON，如圖1，
作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，
∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，
∴∠DOE＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
在Rt△AOD中，
，
同理：OE＝OB，
∵OA＝OB，
∴OD＝OE，
∵∠DOE＝90°，
∴∠DOM＋∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EON＋∠MOE＝90°，
∴∠DOM＝∠EON，
在Rt△DOM和Rt△EON中，
，
∴△DOM≌△EON（ASA），
∴OM＝ON．
（2）如圖2，
作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，
由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，
∴，
由（1）知：
∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，
∴△DOM∽△EON，
∴，
∴ON＝k?OM．
（3）如圖3，
設(shè)AC＝BC＝a，
∴AB＝a，
∵OB＝k?OA，
∴OB＝?a，OA＝?a，
∴OE＝OB＝a，
∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，
∴EN＝＝OE＝?a，
∵CE＝OD＝OA＝a，
∴NC＝CE＋EN＝a＋?a，
由（2）知：，△DOM∽△EON，
∴∠AMO＝∠N＝30°
∵，
∴，
∴△PON∽△AOM，
∴∠P＝∠A＝45°，
∴PE＝OE＝a，
∴PN＝PE＋EN＝a＋?a，
設(shè)AD＝OD＝x，
∴DM＝，
由AD＋DM＝AC＋CM得，
（＋1）x＝AC＋CM，
∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，
∴k＞1
∴，


∴．
【點睛】本題考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解決問題的關(guān)鍵是作OD⊥AC，OE⊥BC；本題的難點是條件得出k＞1．
4．某校數(shù)學(xué)活動小組探究了如下數(shù)學(xué)問題：
(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點P是底邊BC上一點，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是______；
(2)變式探究：如圖2，中，，．點P是腰AB上一點，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點P是邊BC上一點，以DP為邊作正方形DPEF，點Q是正方形DPEF兩條對角線的交點，連接CQ．若正方形DPEF的邊長為，，求正方形ABCD的邊長．
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）根據(jù)已知條件利用邊角邊證明，再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到BP和CQ的數(shù)量關(guān)系；
（2）根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊長比例且夾角相等的判定定理證明，之后再由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得到BP和AQ的數(shù)量關(guān)系；
（3）連接BD，如圖（見詳解），先由正方形的性質(zhì)判斷出和都是等腰直角三角形，再利用與第二問同樣的方法證出，由對應(yīng)邊成比例，依據(jù)相似比求出線段BP的長，接著設(shè)正方形ABCD的邊長為x，運用勾股定理列出方程即可求得答案．
【詳解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，
在中，，，
∴，，
∴．
在和中， ，
∴，
∴；
（2）解：判斷，理由如下：
∵是等腰直角三角形，中，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：連接BD，如圖所示，
∵四邊形與四邊形是正方形，DE與PF交于點Q，
∴和都是等腰直角三角形，∴，．
∵，∴，
∴，∴．
∵，∴．
在中，，設(shè)，則，
又∵正方形的邊長為，∴，
∴，
解得（舍去），．
∴正方形的邊長為3．
【點睛】本題是一道幾何綜合題，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及正方形和等腰三角形的性質(zhì)，正確識圖并能熟練地掌握幾何圖形的性質(zhì)與判定定理進行證明是解題的關(guān)鍵．
5．如圖1所示，矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點，將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)（0°＜≤360°），直線BE，DF相交于點P．
（1）若AB＝AD，將△AEF繞點A逆時針旋至如圖2所示的位置上，則線段BE與DF的位置關(guān)系是 ，數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）若AD＝nAB（n≠1）將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請就圖3所示的情況加以證明；若不成立，請寫出正確結(jié)論，并說明理由．
（3）若AB＝6，BC＝8，將△AEF旋轉(zhuǎn)至AE⊥BE時，請直接寫出DP的長．
【答案】（1）BE＝DF，BE⊥DF
（2）不成立；結(jié)論：DF＝nBE，BE⊥DF；理由見解析
（3）4﹣3或4＋3
【分析】（1）如圖2中，結(jié)論：BE＝DF，BE⊥DF．證明△ABE≌△ADF（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）結(jié)論：DF＝nBE，BE⊥DF，證明△ABE∽△ADF（SAS），利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）分兩種情形畫出圖形，利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解即可.
【詳解】解：（1）如圖2中，結(jié)論：BE＝DF，BE⊥DF，
理由：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四邊形ABCD是正方形，
AE＝AB，AF＝AD，
∴AE＝AF，
∵∠DAB＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，
∵∠ABE＋∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，
∴∠ADF＋∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝90°，
∴BE⊥DF，
故答案為：BE＝DF，BE⊥DF；
（2）如圖3中，結(jié)論不成立，結(jié)論：DF＝nBE，BE⊥DF，
∵AE＝AB，AF＝AD，AD＝nAB，
∴AF＝nAE，
∴AF∶AE＝AD∶AB，
∴AF∶AE＝AD∶AB，
∵∠DAB＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△BAE∽△DAF，
∴DF∶BE＝AF∶AE＝n，∠ABE＝∠ADF，
∴DF＝nBE，
∵∠ABE＋∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，
∴∠ADF＋∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝90°，
∴BE⊥DF；
（3）如圖4﹣1中，當(dāng)點P在BE的延長線上時，
在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝6，AE＝3，
∴BE＝＝3，
∵△ABE∽△ADF，
∴＝，
∴＝，∴DF＝4，
∵四邊形AEPF是矩形，
∴AE＝PF＝3，
∴PD＝DF﹣PF＝4﹣3；
如圖4﹣2中，當(dāng)點P在線段BE上時，同法可得DF＝4，PF＝AE＝3，
∴PD＝DF＋PF＝4＋3，
綜上所述，滿足條件的PD的值為4﹣3或4＋3.
【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，注意應(yīng)用分類思想解決問題， 是一道較難的幾何綜合題.
6．如圖，以的兩邊、分別向外作等邊和等邊，與交于點，已知，，．
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)及的長；
（3）若點、分別是等邊和等邊的重心（三邊中線的交點），連接、、，作出圖象，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）60°，12；（3）
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，得到∠DAC=∠BAE，即可證明△ADC≌△ABE；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADP=∠ABP，設(shè)AB，PD交于O，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到∠DPB=∠DAB=60°；在PE上取點F，使∠PCF=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）過點Q作QG⊥AD于G，設(shè)QG=x，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AQ=2x，AG=x，AB=x，證明△ABE∽△AQR，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵△ABD和△ACE都為等邊三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△ADC與△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
（2）∵△ADC≌△ABE；
∴∠ADP=∠ABP，
設(shè)AB，PD交于O，
∵∠AOD=∠POB，
∴∠DPB=∠DAB=60°；
如圖①，在PE上取點F，使∠PCF=60°，
同（1）可得△APC≌△EFC，∠EPC=∠EAC=60°，
∴EF=AP=3，△CPF為等邊三角形，
∴BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；
（3）如圖②，過點Q作QG⊥AD于G，設(shè)QG=x，
∵點Q、R分別是等邊△ABD和等邊△ACE的重心，
∴AQ=2x，AG=x，AB=x，
∵，∠QAR=∠QAB+∠BAC+∠RAC=30°+∠BAC+30°=60°+∠BAC，
∴∠QAR=∠BAE，
∴△ABE∽△AQR，
∴QR：BE=AQ：AB，
∴．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，正方形ABCD，對角線AC，BD相交于O，Q為線段DB上的一點，，點M、N分別在直線BC、DC上．
（1）如圖1，當(dāng)Q為線段OD的中點時，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)Q為線段OB的中點，點N在CD的延長線上時，則線段DN、BM、BC的數(shù)量關(guān)系為 ；
（3）在（2）的條件下，連接MN，交AD、BD于點E、F，若，，求EF的長．
【答案】（1）見解析；（2）BM?DN=BC；（3）EF的長為．
【分析】（1）如圖1，過Q點作QP⊥BD交DC于P，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△QPN∽△QBM，就可以得出結(jié)論；
（2）如圖2，過Q點作QH⊥BD交BC于H，通過證明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（3）由條件設(shè)CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性質(zhì)可以求出MQ的值，再根據(jù)勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出結(jié)論．
【詳解】解：（1）如圖，過Q點作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB=90°．
∵∠MQN=90°，
∴∠NQP=∠MQB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO，
∴∠DPQ=45°，DQ=PQ，
∴∠DPQ=∠DBC=45°，
∴△QPN∽△QBM，
∴，
∵Q是OD的中點，且PQ⊥BD，
∴DO=2DQ，DP=DC，
∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC，
∴BQ=3PQ，
∴，
∴NP=BM，
∴DN+BM=BC；
（2）如圖，過Q點作QH⊥BD交BC于H，
∴∠BQH=∠DQH=90°，
∴∠BHQ=45°，
∵∠COB=90°，
∴QH∥OC，
∵Q是OB的中點，
∴BH=CH=BC，
∵∠NQM=90°，
∴∠NQD=∠MQH，
∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°，
∴∠QND=∠QMH，
∴△QHM∽△QDN，
∴，
∴HM=ND，
∵BM-HM=HB，
∴BM?DN=BC．
故答案為：BM?DN=BC；
（3）∵MB：MC=3：1，設(shè)CM=x，
∴MB=3x，
∴CB=CD=4x，
∴HB=2x，
∴HM=x．
∵HM=ND，
∴ND=3x，
∴CN=7x，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴ED∥BC，
∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，
∴，
∴，
∴DE=x，
∴，
∵NQ=9，
∴QM=3，
在Rt△MNQ中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
設(shè)EF=a，則FM=7a，
∴，
∴．
∴EF的長為．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，相似三角形的判定和性質(zhì)的運用，勾股定理的運用及平行線等分線段定理的運用，在解答時利用三角形相似的性質(zhì)求出線段的比是解答本題的關(guān)鍵．
9.如圖1，分別是的內(nèi)角的平分線，過點作，交的延長線于點．
（1）求證：；
（2）如圖2，如果，且，求的值；
（3）如果是銳角，且與相似，求的度數(shù)，并直接寫出的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3），或，．
【分析】（1）由題意：，根據(jù)三角形外內(nèi)角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可得，由此即可解決問題．
（2）延長交于點．證明，可得，，由，可得．
（3）因為與相似，，所以中必有一個內(nèi)角為因為是銳角，推出．接下來分兩種情形分別求解即可．
【詳解】（1）證明：如圖1中，
，
，，
平分，平分的，
，，
，，
，
．
（2）解：延長交于點．
，
，
又∵，
，
，
，，
，
．
（3）與相似，，
中必有一個內(nèi)角為
是銳角，
．
①當(dāng)時，，
，
，
，
，
如圖，過B點作BH⊥AE，
∵，AD平分∠BAC，
∴∠BAH=45°，
∴AH=BH，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
②當(dāng)時，即時，，
，
，
如解圖（3）-2；過B點作BH⊥AE，
，分別是的內(nèi)角的平分線，
∴，
∴BD=AD，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，
∴
綜上所述，，或，．
【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．

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