目 錄
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc157086343" 01 抽樣方法與隨機數(shù)表 PAGEREF _Tc157086343 \h 2
\l "_Tc157086344" 02 統(tǒng)計圖表及其數(shù)字特征 PAGEREF _Tc157086344 \h 3
\l "_Tc157086345" 03 傳統(tǒng)線性擬合 PAGEREF _Tc157086345 \h 6
\l "_Tc157086346" 04 非線性擬合處理 PAGEREF _Tc157086346 \h 7
\l "_Tc157086347" 05 傳統(tǒng)獨立性檢驗 PAGEREF _Tc157086347 \h 9
\l "_Tc157086348" 06 創(chuàng)新類定義統(tǒng)計 PAGEREF _Tc157086348 \h 11
\l "_Tc157086349" 07 正態(tài)分布 PAGEREF _Tc157086349 \h 14
\l "_Tc157086350" 08 超幾何分布與二項分布 PAGEREF _Tc157086350 \h 16
\l "_Tc157086351" 09 隨機變量的分布列、期望、方差 PAGEREF _Tc157086351 \h 18
\l "_Tc157086352" 10 古典概型 PAGEREF _Tc157086352 \h 21
\l "_Tc157086353" 11 條件概率與全概率 PAGEREF _Tc157086353 \h 22
\l "_Tc157086354" 12 概統(tǒng)結(jié)合問題 PAGEREF _Tc157086354 \h 24
\l "_Tc157086355" 13 傳統(tǒng)規(guī)則的概率問題 PAGEREF _Tc157086355 \h 26
\l "_Tc157086356" 14 新賽制概率問題 PAGEREF _Tc157086356 \h 30
\l "_Tc157086357" 15 遞推型概率命題 PAGEREF _Tc157086357 \h 31
01 抽樣方法與隨機數(shù)表
1．（2024·全國·模擬預測）某學校高三年級有男生640人，女生360人．為了解高三學生參加體育運動的情況，采用分層抽樣的方法抽取樣本，現(xiàn)從男、女學生中共抽取50名學生，則男、女學生的樣本容量分別為（ ）
A．30，20B．18，32C．25，25D．32，18
【答案】D
【解析】根據(jù)分層抽樣的定義，知男生共抽?。ㄈ耍渤槿。ㄈ耍?br>故選：D．
2．（2024·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）某學校高三年級一班共有60名學生，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取6名學生做“早餐與健康”的調(diào)查，為此將學生編號為1，2，…，60.選取的這6名學生的編號可能是（ ）
A．1，11，21，31，41，51B．6，15，25，35，45，55
C．10，16，26，36，46，56D．3，9，13，27，36，54
【答案】A
【解析】由知組距為10，
當?shù)谝唤M抽到的編號為i時，根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法可知，第k組取的編號為，
當時可知A正確，易知BCD錯誤.
故選：A
3．（2024·全國·高三專題練習）某校要從高一、高二、高三共2 019名學生中選取50名組成志愿團，若先用簡單隨機抽樣的方法從2 019名學生中剔除19名，再從剩下的2 000名學生中按分層抽樣的方法抽取50名，則每名學生入選的可能性（ ）
A．都相等且為B．都相等且為
C．不完全相等D．均不相等
【答案】A
【解析】根據(jù)簡單隨機抽樣及分層抽樣的定義可得，每個個體被抽到的概率都相等，
所以每個個體被抽到的概率都等于，故A項正確.
故選：A.
02 統(tǒng)計圖表及其數(shù)字特征
4．（多選題）（2024·河南·高三南陽中學校聯(lián)考階段練習）近年來，鄉(xiāng)村游成為中國國民旅游的熱點，下面圖1，2，3，4分別為2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者年齡、性別、月收入及一次鄉(xiāng)村旅游花費金額的有關(guān)數(shù)據(jù)分析，根據(jù)該圖，下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中年齡在歲之間的男性占比超過
B．2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中月收入不高于1萬元的占比超過
C．2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中一次鄉(xiāng)村旅游花費4個范圍占比的中位數(shù)為
D．2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者一次鄉(xiāng)村旅游花費的平均數(shù)估計值高于650元（同一花費區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)用其中間值作代表）
【答案】BC
【解析】由圖1和圖2可知，2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中年齡在歲之間的男性占比為，故A正確；
由圖3可知，2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中月收入不高于1萬元的占比為，故B錯誤；
由圖4可知，2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者中一次鄉(xiāng)村旅游花費4個范圍占比的中位數(shù)為
，故C錯誤；
由圖4可知，2023年中國鄉(xiāng)村旅游消費者一次鄉(xiāng)村旅游花費的平均數(shù)估計值為，故D正確.
故選：BC
5．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）（多選）新式茶飲是指以上等茶葉通過萃取濃縮液，再根據(jù)消費者偏好，添加牛奶、堅果、檸檬等小料調(diào)制而成的飲料．如圖為2022年我國消費者購買新式茶飲的頻次扇形圖及月均消費新式茶飲金額的條形圖．

根據(jù)所給統(tǒng)計圖，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．每周都消費新式茶飲的消費者占比不到90%
B．每天都消費新式茶飲的消費者占比超過20%
C．月均消費新式茶飲50～200元的消費者占比超過50%
D．月均消費新式茶飲超過100元的消費者占比超過60%
【答案】BC
【解析】每周都消費新式茶飲的消費者占比,A錯誤；
每天都消費新式茶飲的消費者占比，B正確；
月均消費新式茶飲50～200元的消費者占比，C正確；
月均消費新式茶飲超過100元的消費者占比,D錯誤．
故選：BC
6．（多選題）（2024·全國·模擬預測）如圖為2022年全國居民消費價格月度漲跌幅情況，則（ ）
A．環(huán)比漲跌幅的極差小于同比漲跌幅的極差
B．環(huán)比漲跌幅的中位數(shù)為0.1%
C．環(huán)比漲跌螎的方差小于同比漲跌幅的方差
D．同比漲跌幅的下四分位數(shù)為1.55%
【答案】ACD
【解析】由題意得，同比漲跌幅從小到大排列依次為0.9%，0.9%，1.5%，1.6%，1.8%，2.1%，2.1%，2.1%，2.5%，2.5%，2.7%，2.8%；
環(huán)比漲跌幅從小到大排列依次為－0.2%，－0.2%，－0.1%，0%，0%，0%，0.1%，0.3%，0.4%，0.4%，0.5%，0.6%．-
選項A中：環(huán)比漲跌幅的極差為，
同比漲跌幅的極差為，因為，所以A正確；
選項B中：環(huán)比漲跌幅的中位數(shù)為，所以B錯誤；
選項C中：根據(jù)統(tǒng)計圖中，環(huán)比漲跌螎的波動性小于同比漲跌幅的波動性，
所以環(huán)比漲跌螎的方差小于同比漲跌幅的方差，所以C正確；
選項D中：同比漲跌幅的下四分位數(shù)為，所以D正確.
故選：ACD.
7．（多選題）（2024·全國·模擬預測）記男生樣本的平均數(shù)為，方差為；女生樣本的平均數(shù)為，方差為；男女總樣本的平均數(shù)記為，方差為，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，，則
D．
【答案】BCD
【解析】對A，，可得，則或，A不正確．
對B，，所以，若，則，B正確．
對C，因為，所以，
則．
又，
所以，C正確．
對D，
，
所以，D正確．
故選：BCD
03 傳統(tǒng)線性擬合
8．已知一組數(shù)據(jù)點，用最小二乘法得到其線性回歸方程為，若，則 ．
【答案】
【解析】根據(jù)題意可知該組數(shù)據(jù)點，
所以，
所以，
故答案為：
9．（2024·廣西·模擬預測）某地建立了農(nóng)業(yè)科技圖書館，供農(nóng)民免費借閱，收集了近5年的借閱數(shù)據(jù)如下表：
根據(jù)上表，可得關(guān)于的線性回歸方程為.則 .
【答案】
【解析】根據(jù)表格可知，
，，
代入，可得.
故答案為：
10．（2024·四川成都·高三?？茧A段練習）下表提供了某工廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，一種產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：噸）與相應的生產(chǎn)能耗（單位：噸）的幾組對應數(shù)據(jù)：
根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求得關(guān)于的線性回歸方程為，那么表格中的值為 ．
【答案】3
【解析】．
因為回歸直線過樣本中心點，
所以，解得．
故答案為：
04 非線性擬合處理
11．（2024·湖南·校聯(lián)考模擬預測）若需要刻畫預報變量和解釋變量的相關(guān)關(guān)系，且從已知數(shù)據(jù)中知道預報變量隨著解釋變量的增大而減小，并且隨著解釋變量的增大，預報變量大致趨于一個確定的值，為擬合和之間的關(guān)系，應使用以下回歸方程中的（，為自然對數(shù)的底數(shù)）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】對于A：因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且，所以隨著的增大而增大，不合題意，故A錯誤；
對于B：因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且，所以隨著的增大而減小，當解釋變量，，不合題意，故B錯誤；
對于C：因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且，所以隨著的增大而減小，當解釋變量，，不合題意，故C錯誤；
對于D：因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減且，所以隨著的增大而減小，當解釋變量，，故D錯誤；
故選：D．
12．（2024·廣東梅州·統(tǒng)考一模）云計算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計算市場規(guī)模持續(xù)增長.已知某科技公司2018年至2022年云計算市場規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場規(guī)模y與年份代碼x的關(guān)系可以用模型（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）擬合，設(shè)，得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如下：
由上表可得經(jīng)驗回歸方程，則2025年該科技公司云計算市場規(guī)模y的估計值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為，
所以，
即經(jīng)驗回歸方程，
當時，，
所以，
即2025年該科技公司云計算市場規(guī)模y的估計值為，
故選：B
13．（2024·河北衡水·高三河北衡水中學?？茧A段練習）以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到經(jīng)驗回歸方程，則的值分別是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意得，設(shè)，可得.
又經(jīng)驗回歸方程為，
所以，故.
故選：B
05 傳統(tǒng)獨立性檢驗
14．（2024·全國·高三專題練習）針對時下的“短視頻熱”，某高校團委對學生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨立.若依據(jù)的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，則的最小值為（ ）
附：，附表：
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，不妨設(shè)，
于是，
由于依據(jù)的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，
根據(jù)表格可知，解得，于是最小值為.
故選：C
15．（2024·全國·高三專題練習）2020年以來，為了抗擊新冠肺炎疫情，教育部出臺了“停課不停學”政策，全國各地紛紛采取措施，通過網(wǎng)絡(luò)進行教學，為莘莘學子搭建學習的平臺．在線教育近幾年蓬勃發(fā)展，為學生家長帶來了便利，節(jié)省了時間，提供了多樣化選擇，滿足了不同需求，也有人預言未來的教育是互聯(lián)網(wǎng)教育．與此同時，網(wǎng)課也存在以下一些現(xiàn)象，自覺性不強的孩子網(wǎng)課學習的效果大打折扣，授課教師教學管理的難度增大．基于以上現(xiàn)象，開學后某學校對本校課學習情況進行抽樣調(diào)查，抽取25名女生，25名男生進行測試、問卷等，調(diào)查結(jié)果形成以下2×2列聯(lián)表，通過數(shù)據(jù)分析，認為認真參加網(wǎng)課與學生性別之間（ ）
參考數(shù)據(jù)：
A．不能根據(jù)小概率的的獨立性檢驗認為兩者有關(guān)
B．根據(jù)小概率的的獨立性檢驗認為兩者有關(guān)
C．根據(jù)小概率的的獨立性檢驗認為兩者有關(guān)
D．根據(jù)小概率的的獨立性檢驗認為兩者無關(guān)
【答案】B
【解析】由數(shù)表知，，而，
所以根據(jù)小概率的的獨立性檢驗認為兩者有關(guān)．
故選：B
16．（2024·全國·高三專題練習）在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進行動物實驗．現(xiàn)隨機抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進行實驗，得到如下2×2列聯(lián)表（部分數(shù)據(jù)缺失）：
計算可知，根據(jù)小概率值α＝________的獨立性檢驗，分析 “給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預防該病毒感染的效果”（ ）
附：，n＝a＋b＋c＋d.
A．0.001B．0.05
C．0.01D．0.005
【答案】B
【解析】完善2×2列聯(lián)表如下：
零假設(shè)為H0：“給基因編輯小鼠注射該種疫苗不能起到預防該病毒感染的效果”．
因為χ2＝，
所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷H0不成立，
即認為“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預防該病毒感染的效果”．
故選：B.
06 創(chuàng)新類定義統(tǒng)計
17．（多選題）為了估計一批產(chǎn)品的不合格品率，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機抽取一個樣本容量為的樣本，定義，于是，，，記（其中或1，），稱表示為參數(shù)的似然函數(shù)．極大似然估計法是建立在極大似然原理基礎(chǔ)上的一個統(tǒng)計方法，極大似然原理的直觀想法是：一個隨機試驗如有若干個可能的結(jié)果A，B，C，…，若在一次試驗中，結(jié)果A出現(xiàn)，則一般認為試驗條件對A出現(xiàn)有利，也即A出現(xiàn)的概率很大. 極大似然估計是一種用給定觀察數(shù)據(jù)來評估模型參數(shù)的統(tǒng)計方法，即“模型已定，參數(shù)未知”，通過若干次試驗，觀察其結(jié)果，利用試驗結(jié)果得到某個參數(shù)值能夠使樣本出現(xiàn)的概率為最大．根據(jù)以上原理，下面說法正確的是（ ）
A．有外形完全相同的兩個箱子，甲箱有99個白球1個黑球，乙箱有1個白球99個黑球．今隨機地抽取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結(jié)果取得白球，那么該球一定是從甲箱子中抽出的
B．一個池塘里面有鯉魚和草魚，打撈了100條魚，其中鯉魚80條，草魚20條，那么推測鯉魚和草魚的比例為4:1時，出現(xiàn)80條鯉魚、20條草魚的概率是最大的
C．
D．達到極大值時，參數(shù)的極大似然估計值為
【答案】BCD
【解析】極大似然是一種估計方法，A錯誤；
設(shè)鯉魚和草魚的比例為，則出現(xiàn)80條鯉魚，20條草魚的概率為，
設(shè)
，
時，，時，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當時，最大，故B正確；
根據(jù)題意，（其中或1，），
所以，可知C正確；
令，解得，且時，時，故在上遞增，在上遞減，故達到極大值時，參數(shù)的極大似然估計值為，故D正確.
故選：BCD
18．高一模擬考試常常劃定的總分各批次分數(shù)線，通過一定的數(shù)學模型，確定不同學科在一本、二本等各批次“學科上線有雙分”的分數(shù)線．考生總成績達到總分各批次分數(shù)線的稱為總分上線；考生某一單科成績達到及學科上線有雙分的稱為單科上線．學科對總分的貢獻或匹配程度評價有很大的意義．利用“學科對總分上線貢獻率”和“學科有效分上線命中率”這兩項評價指標，來反映各學科的單科成績對考生總分上線的貢獻與匹配程度，這對有效安排備考復習計劃具有十分重要的意義．某州一診考試劃定總分一本線為465分，數(shù)學一本線為104分，某班一小組的總分和數(shù)學成績?nèi)绫?，則該小組“數(shù)學學科對總分上線貢獻率、有效分上線命中率”分別是（ ）（結(jié)果保留到小數(shù)點后一位有效數(shù)字）
A．41.7%，71.4%B．60%，71.4%
C．41.7%，35%D．60%，35%
【答案】A
【解析】由圖表知雙過線人數(shù)為5人，單過線人數(shù)為7人，總分過線人數(shù)為12人；
“學科對總分上線貢獻率”為，
“學科有效分上線命中率”為，
故選：A．
19．（2024·河北·高三學業(yè)考試）用樣本估計總體的統(tǒng)計思想在我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中就有記載，其中有道“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來一批米，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得250粒內(nèi)夾谷25粒，若這批米內(nèi)夾谷有160石，則這一批米約有（ ）
A．600石B．800石C．1600石D．3200石
【答案】C
【解析】設(shè)這批米大約為石，
根據(jù)題意，可得，解得石.
故選：C.
07 正態(tài)分布
20．（2024·河北保定·高三河北省唐縣第一中學?？计谀┪覀儗⒎亩椃植嫉碾S機變量稱為二項隨機變量，服從正態(tài)分布的隨機變量稱為正態(tài)隨機變量.概率論中有一個重要的結(jié)論：若隨機變量，當充分大時，二項隨機變量可以由正態(tài)隨機變量來近似地替代，且正態(tài)隨機變量的期望和方差與二項隨機變量的期望和方差相同.法國數(shù)學家棣莫弗（1667-1754）在1733年證明了時這個結(jié)論是成立的，法國數(shù)學家?物理學家拉普拉斯（1749-1827）在1812年證明了這個結(jié)論對任意的實數(shù)都成立，因此人們把這個結(jié)論稱為棣莫弗—拉普拉斯極限定理.現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2500次，利用正態(tài)分布估算硬幣正面向上次數(shù)不少于1200次的概率為（ ）
（附：若，則，
A．0.99865B．0.97725C．0.84135D．0.65865
【答案】B
【解析】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2500次，設(shè)硬幣正面向上的次數(shù)為，
則.
由題意，且，
因為，即，
所以利用正態(tài)分布估算硬幣正面向上次數(shù)不少于1200次的概率為.
故選：B.
21．（2024·全國·高三專題練習）老張每天17:00下班回家，通常步行5分鐘后乘坐公交車再步行到家，公交車有A，B兩條路線可以選擇．乘坐路線A所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，下車后步行到家，要5分鐘，乘坐路線B所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，下車后步行到家要12分鐘．下列說法從統(tǒng)計角度認為合理的是（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，則，，）
A．若乘坐路線A，則在17:48前到家的可能性超過1%
B．若乘坐路線B，18:00前一定能到家
C．乘坐路線A和乘坐路線B在17:58前到家的可能性一樣
D．乘坐路線B比乘坐路線A在17:54前到家的可能性更小
【答案】C
【解析】設(shè)乘坐路線A所需時間為，乘坐路線B所需時間為
對于A，由知，，
因為，所以，所以A選項錯誤；
對于B，“18:00前一定能到家”是隨機事件，可能發(fā)生，可能不發(fā)生，所以B選項錯誤；
對于C，，，，，
因此乘坐路線A和乘坐路線B在17:58前到家的可能性一樣，選項C正確．
對于D，，，乘坐路線B比乘坐路線A在17:54前到家的可能性更大，選項D錯誤．
故選：C.
22．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學考試）已知某工廠生產(chǎn)零件的尺寸指標，單位為.該廠每天生產(chǎn)的零件尺寸在的數(shù)量為818600，則可以估計該廠每天生產(chǎn)的零件尺寸在15.15以上的數(shù)量為（ ）
參考數(shù)據(jù)：若，則，，.
A．1587B．2275C．2700D．1350
【答案】D
【解析】由已知，，，

零件尺寸在15.15以上的概率為，
設(shè)零件尺寸在15.15以上的零件數(shù)為，
則，，
故選：D．
08 超幾何分布與二項分布
23．（2023·四川遂寧·射洪中學?？寄M預測）為舒緩高考壓力，射洪中學高三年級開展了“葵花心語”活動，每個同學選擇一顆葵花種子親自播種在花盆中，四個人為一互助組，每組四人的種子播種在同一花盆中，若盆中至少長出三株花苗，則可評為“陽光小組”．已知每顆種子發(fā)芽概率為0.8，全年級恰好共種了500盆，則大概有 個小組能評為“陽光小組”．（結(jié)果四舍五入法保留整數(shù)）
【答案】410
【解析】由題意知，每一盆至少長出三株花苗包括“恰好長出三株花苗”和“長出四株花苗”兩種情況，
其概率為，
即一盆花苗能被評為“陽光小組”的概率為，且被評為“陽光小組”的盆數(shù)服從二項分布，
所以500盆花苗中能被評為“陽光小組”的有.
故答案為：410
24．（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學校校聯(lián)考期末）一袋中裝有大小?質(zhì)地均相同的5個白球，3個黃球和2個黑球，從中任取3個球，則至少含有一個黑球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，至少含有一個黑球的概率是.
故選：B.
25．（2024·江蘇淮安·高二?？茧A段練習）《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)．若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)，則這3個數(shù)中至多有1個陰數(shù)的概率為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意知，10個數(shù)中，1，3，5，7，9為陽數(shù)，2，4，6，8，10為陰數(shù)，
若任取的3個數(shù)中有0個陰數(shù)，則概率為；
若任取的3個數(shù)中有1個陰數(shù)，則概率為；
故這3個數(shù)中至多有1個陰數(shù)的概率為.
故選：A.
26．（2024·湖北十堰·高三統(tǒng)考期末）有5張相同的卡片，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，從中有放回地隨機取兩次，每次取1張卡片．表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為2”，表示事件“第二次取出的卡片上的數(shù)字為1”，表示“事件兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為6”，表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為7”，則（ ）
A．與相互獨立B．與相互獨立
C．與相互獨立D．與相互獨立
【答案】B
【解析】由題意知，，
，
，
因為，所以A錯誤，
因為，所以B正確，
因為，所以C錯誤，
因為，所以D錯誤．
故選：B
09 隨機變量的分布列、期望、方差
27．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知，且，記隨機變量為x，y，z中的最大值，則 .
【答案】17
【解析】由題意可得：的可能取值為，
用隔板法可求得：事件總情況為種，
若，三個正整數(shù)為或，則有種，故；
若，三個正整數(shù)為或，則有種，故；
若，三個正整數(shù)為或，則有種，故；
若，三個正整數(shù)為，則有種，故；
若，三個正整數(shù)為，則有種，故；
故的分布列為：
故.
所以
故答案為：.
28．（2023上·全國·高三專題練習）已知隨機變量的分布列為
則 ； .
【答案】 2.8 10.4
【解析】,
.
故答案為：2.8；10.4.
29．（2022上·浙江湖州·高三?？计谀┯?，1，2，3，4組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，則其中0和4不相鄰的四位數(shù)有 個，設(shè)這些無重復數(shù)字的四位數(shù)的各數(shù)字之積為，則 ．
【答案】
【解析】當在不在時，此時有個，
當不在在時，此時有個，
當都在時，
若在千位，可在十位或百位，此時有個，
若在百位，只能在個位，此時有個，
若在十位，無合適位置，故不成立，
若在個位，只能在百位，此時有個，
所以和不相鄰的四位數(shù)有個；
當四位數(shù)中含有時，此時有個，此時
當四位數(shù)中不含有時，此時有個，此時，
由上可知可取，
所以，，
所以，
故答案為：；.
30．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）隨機變量有3個不同的取值，且其分布列如下：
則的最小值為 .
【答案】
【解析】依題意知，則，則，
設(shè)，則，
故，所以，
當時，取最小值，
故答案為：
10 古典概型
31．（2024·河北邢臺·高三統(tǒng)考期末）保定某中學舉行歌詠比賽，每班抽簽選唱5首歌曲中的1首（歌曲可重復被抽?。瑒t高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率為 ．
【答案】/0.8
【解析】利用分步乘法原理計算出一共有25種結(jié)果，其中兩個班抽到不同歌曲的個數(shù)為20種，
則根據(jù)古典概型的概率公式計算：.
故答案為：
32．（2024·天津和平·高三統(tǒng)考期末）將3個黑球和2個白球放入一個不透明的盒中，各球除顏色不同外完全相同，現(xiàn)從盒中兩次隨機抽取球，每次抽取一個球．
（ⅰ）若第一次隨機抽取一個球之后，將抽取出來的球放回盒中，第二次隨機抽取一個球，則兩次抽到顏色相同的球的概率是 ；
（ⅱ）若第一次隨機抽取一個球之后，抽取出來的球不放回盒中，第二次從盒中余下的球中隨機抽取一個球，則在已知兩次抽取的球顏色相同的條件下，第一次抽取的球是白球的概率是 ．
【答案】 / /
【解析】放回的抽取時，兩次抽取共有種情況，
其中兩次抽取顏色相同共有種情況，
其中黑色相同的有種，白色相同的共有種，
故所求概率為；
當不放回的抽取時，顏色相同的有種情況，
其中其中黑色相同的有種，白色相同的共種，
所以在已知兩次抽取的球顏色相同的條件下，
第一次抽取的球是白球的概率為.
故答案為：；
33．（2024·江西贛州·南康中學校聯(lián)考一模）一個學習小組有3名同學，其中2名男生，1名女生.從這個小組中任意選出2名同學，則選出的同學中既有男生又有女生的概率為 .
【答案】
【解析】一個學習小組有3名同學，其中2名男生，1名女生,
從這個小組中任意選出2名同學基本事件總數(shù)為,
選出的同學中既有男生又有女生包含的基本事件個數(shù)為,
則所求事件的概率為，
故答案為：.
34．（2024·重慶·高三統(tǒng)考期末）一個袋子中有5個大小相同的球，其中有編號為1，2的黑球和編號為1，2，3的白球，從中隨機取出兩個球，在取出的球顏色不同的條件下，球的編號之和為奇數(shù)的概率為 ．
【答案】/
【解析】由題意取出的球顏色不同的取法數(shù)有，若球的編號之和為奇數(shù)，
當選編號為1的黑球時，可以選編號為2的白球，
當選編號為2的黑球時，可以選編號為1，3的白球，
即在取出的球顏色不同的條件下，球的編號之和為奇數(shù)的取法數(shù)有種，
所以在取出的球顏色不同的條件下，球的編號之和為奇數(shù)的概率為.
故答案為：.
11 條件概率與全概率
35．（2024·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）用試劑檢驗并診斷疾病，表示被檢驗者患疾病，表示判斷被檢驗者患疾病．用試劑檢驗并診斷疾病的結(jié)論有誤差，已知，，且人群中患疾病的概率．若有一人被此法診斷為患疾病，則此人確實患疾病的概率 ．
【答案】
【解析】由條件概率公式可得，
，
由條件概率公式可得，
所以，，
所以，.
故答案為：.
36．（2024·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習）近年來，我國外賣業(yè)發(fā)展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一逆亮麗的風景線、某外賣小哥每天來往于4個外賣店（外賣店的編號分別為1，2，3，4），約定：每天他首先從1號外賣店取單，叫做第1次取單，之后，他等可能的前往其余3個外賣店中的任何一個店取單叫做第2次取單，依此類推，假設(shè)從第2次取單開始，他每次都是從上次取單的店之外的3個外賣店取單，設(shè)事件{第次取單恰好是從1號店取單}，是事件發(fā)生的概率，顯然，，則 ， ．
【答案】
【解析】依題意，，
所以，
又，因此；
；
.
故答案為：；.
37．（2024·天津濱海新·高三天津市濱海新區(qū)田家炳中學?？茧A段練習）隨著經(jīng)濟的不斷發(fā)展，城市的交通問題越來越嚴重，為倡導綠色出行，某公司員工小明選擇了三種出行方式.已知他每天上班選擇步行、騎共享單車和乘坐地鐵的概率分別為0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不遲到的概率為0.91，騎共享單車上班不遲到的概率為0.92，乘坐地鐵上班不遲到的概率為0.93，則某天上班小明遲到的概率是 .
【答案】
【解析】記小明步行、騎共享單車、乘坐地鐵上班的事件分別為，小明上班不遲到的事件為，
則，且兩兩互斥，依題意，，
，
因此，
所以某天上班他遲到的概率.
故答案為：
12 概統(tǒng)結(jié)合問題
38．（2024·遼寧大連·高三統(tǒng)考期末）2020年12月4日，中國科學技術(shù)大學宣布該校潘建偉等科學家成功構(gòu)建光子的量子計算原型機“九章”，求解數(shù)學算法“高斯玻色取樣”只需要秒，而目前世界最快的超級計算機要用億年，這一突破使我國成為全球第二個實現(xiàn)“量子優(yōu)越性”的國家.“九章”求得的問題名叫“高斯玻色取樣”，通俗的可以理解為量子版本的高爾頓釘板，但其實際情況非常復雜.高爾頓釘板是英國生物學家高爾頓設(shè)計的，如圖，每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子，上一層的每個釘子水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間，從入口處放進一個直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球，白球向下降落的過程中，首先碰到最上面的釘子，碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子.如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個格子內(nèi)為止.現(xiàn)從入口放進一個白球，則其落在第③個格子的概率為
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】小球從起點到第③個格子一共跳了7次，其中要向左邊跳動5次，向右邊跳動2次，而向左或向右的概率均為，則向右的次數(shù)服從二項分布，所以所求的概率為
故答案為：C.
39．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習）如下表，根據(jù)變量與之間的對應數(shù)據(jù)可求出.其中.現(xiàn)從這個樣本點對應的殘差中任取一個值，則殘差不大于的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由表中的數(shù)據(jù)可知，，
設(shè)的最后一個數(shù)據(jù)為，則，，
將，代入得，
這個樣本點對應的殘差分別為：
，
，
，
，
，
所以殘差不大于的概率為.
故選：.
40．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預測）某地教育局為了解“雙減”政策的落實情況，在轄區(qū)內(nèi)初一年級在校學生中抽取了100名學生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖：
根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．該地初一年級學生做作業(yè)的時間超過3小時的概率估計為35%
B．估計該地初一年級有一半以上的學生做作業(yè)的時間超過2.6小時
C．估計該地初一年級學生的平均做作業(yè)的時間超過2.6小時
D．估計該地初一年級有一半以上的學生做作業(yè)的時間在2小時至3小時之間
【答案】D
【解析】由直方圖得超過3小時的頻率為,所以A正確；
設(shè)直方圖的中位數(shù)為x，則有，
解得，故B正確；
直方圖可計算學生做作業(yè)的時間的平均數(shù)為：所以平均數(shù)大于中位數(shù)，所以C正確；
做作業(yè)的時間在2小時至3小時之間的頻率為，所以D錯誤,
故選:D．
13 傳統(tǒng)規(guī)則的概率問題
41．（多選題）（2024·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預測）袋中有10個大小相同的球，其中6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個球，記隨機變量X為其中白球的個數(shù)，隨機變量Y為其中黑球的個數(shù)，若取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機變量Z為取出4個球的總得分，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由題意知X，Y均服從于超幾何分布，且，，
故；
從而，故選項A正確；
，，，故選項B錯誤，C正確；
，故選項D正確；
故選：ACD.
42．（多選題）（2024·河北張家口·高二河北省尚義縣第一中學?？茧A段練習）袋中有8個大小相同的球，其中5個黑球，3個白球，現(xiàn)從中任取3個球，記隨機變量X為其中白球的個數(shù)，隨機變量Y為其中黑球的個數(shù)，若取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機變量Z為取出3個球的總得分，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】，均服從于超幾何分布，且，，
，，
對選項A：，錯誤；
對選項B：，，正確；
對選項C：，正確；
對選項D：，正確；
故選：BCD.
43．（2024·浙江·高二統(tǒng)考階段練習）現(xiàn)有n（n>2,）個相同的袋子，里面均裝有n個除顏色外其它無區(qū)別的小球，第k（k=1,2,3…n）個袋子中有k個紅球，個白球.現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個袋子，并且從中連續(xù)取出三個球（每個取后不放回），若第三次取出的球為白球的概率為，則n=（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【解析】設(shè)選出的是第k個袋，連續(xù)三次取球的方法數(shù)為，
第三次取出的是白球的取法有如下四種情形：
白白白，取法數(shù)為：
紅白白，取法數(shù)為：
白紅白，取法數(shù)為：
紅紅白：取法數(shù)為：
所以第三次取出的是白球的總情形數(shù)為：
則在第 k個袋子中連取三次球第三次取出的球是白球的概率為：，
因為選取第k個袋的概率為，故任選袋子取第三個球是白球的概率為：
當時，.
故選：B.
44．（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）一個袋中有m個紅球，n個白球，p個黑球（，），從中任取1個球（每球取到的機會均等），設(shè)表示取出的紅球個數(shù)，表示取出的白球個數(shù)，則
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題意可知：隨機變量的分布列如下圖所示：
所以有,
，
隨機變量的分布列如下圖所示：
，
，
因為，所以，因此有，故本題選D.
45．（2024·浙江·高三專題練習）甲乙兩隊進行羽毛球決賽，甲隊只要再勝一局就獲得冠軍，乙隊需要再勝兩局才能獲得冠軍，若每局甲隊獲勝的概率為，則甲隊獲得冠軍的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知得甲對獲勝可能以下分為兩種情況：
①第一局甲隊獲勝，此時的概率為；
②第一局乙隊獲勝，第二局甲隊獲勝，此時的概率為，
綜上所述，甲隊獲勝的概率為，
故選：D.
46．（2024·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）排球比賽的規(guī)則是5局3勝制(無平局),在某次排球比賽中,甲隊在每局比賽中獲勝的概率都相等,均為,前2局中乙隊以領(lǐng)先,則最后乙隊獲勝的概率是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】最后乙隊獲勝的概率含3種情況：第三局乙勝，第三局甲勝第四局乙勝，第三局和第四局都是甲勝，第五局乙勝，由此能求出最后乙隊獲勝的概率．最后乙隊獲勝事件含3種情況:第三局乙勝，其概率為；
第三局甲勝，第四局乙勝，其概率為；
第三局和第四局都是甲勝，第五局乙勝；
故最后乙隊獲勝的概率，
故選：B.
14 新賽制概率問題
47．（2024·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）2022年2月6日，中國女足在亞洲杯賽場上以3:2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，成功奪冠.之前半決賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)6:5驚險戰(zhàn)勝日本女足.假設(shè)罰點球的球員等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球，不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，門將在第一次射門就撲出點球的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可得門將在第一次射門就撲出點球的概率為，
故選：B
48．（2024·福建漳州·高三?？计谀┮阎?、乙、丙、丁四人進行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為：將四人隨機均分為組，同組人先進行一場比賽，組勝者再進行決賽．若所有人在比賽中獲勝的概率均為，則甲、乙在決賽中相遇的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為所有人在比賽中獲勝的概率均為，所以甲、乙、丙、丁四人進入決賽的可能性相等.
所以進入決賽可能出現(xiàn)的情況有
（甲乙），（甲丙），（甲?。?，（乙丙），（乙?。ū。?種情況，
甲乙在決賽中相遇的情況只有（甲乙）1種，
故由古典概型概率公式知，甲、乙在決賽中相遇的概率為.
故選：B.
49．（2024·全國·模擬預測）為了豐富同學們的業(yè)余生活，增強體質(zhì)，培養(yǎng)團隊意識，甲、乙兩校舉行乒乓球比賽．比賽采取5局3勝制．假設(shè)每局比賽甲校勝乙校的概率都為，沒有平局，且各局比賽的結(jié)果互不影響，則甲校以3：0獲勝或以3：1獲勝的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】甲校以3：0獲勝表示比賽進行3局結(jié)束，甲校勝3局，概率為，
甲校以3：1獲勝表示比賽進行4局結(jié)束，甲校勝3局，且第4局甲校勝，概率為，
所以所求概率為，
故選：C．
15 遞推型概率命題
50．（2023·全國·高三專題練習）引得無數(shù)球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔爾舉行，為了弘揚頑強拼搏的體育競技精神，某學校的足球社團利用課余時間展開“三人足球”的比賽，比賽的第一階段為“傳球訓練賽”，即參賽的甲、乙、丙三名同學，第一次傳球從乙開始，隨機地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，則第6次傳球，重新由乙同學傳球的概率為 ．
【答案】
【解析】設(shè)第次由乙同學傳球的概率為，顯然，
第一次傳球從乙開始，隨機地傳球給其他兩人中的任意一人，這兩人每人得到球的概率為，
如果球傳到乙，則乙不能傳到乙，
故第次由乙傳球的概率與第次由乙傳球的概率的關(guān)系為：
，即，
故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
則，則，故.
故答案為：.
51．（2022·山東·山東師范大學附中校聯(lián)考模擬預測）有一種投擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，設(shè)棋子跳到第n站的概率為，若一枚棋子開始在第1站，棋手每次投擲骰子一次，棋子向前跳動一次．若骰子點數(shù)小于等于3，棋子向前跳一站；否則，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第9站（失?。┗蛘叩?0站（獲勝）時，游戲結(jié)束．則 ；該棋手獲勝的概率為 ．
【答案】 /0.75
【解析】由題，因為，故，由，所以，累加可得：．
故答案為：；.
52．（2022下·湖北·高三宜城市第一中學校聯(lián)考階段練習）五名運動員、、、、相互傳球．每個人在接到球后隨機傳給其他四人中的一人．設(shè)首先由開始進行第次傳球，那么恰好在第次傳球把球傳回到手中的概率是 （用最簡分數(shù)表示）．
【答案】
【解析】設(shè)第次傳球把球傳回到的手中的概率為，
第次傳球?qū)⑶騻鹘o其他運動員，故；
表示第次傳球把球傳回到的手中，故傳球前球不在手中，
而每名運動員傳給其他一名指定運動員的概率為，由乘法原理，故．
于是，且，
故數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列，
于是，即，，
故.
故答案為：.
53．（2022·天津·天津市薊州區(qū)第一中學校聯(lián)考一模）某高中食堂鮮奶站提供、兩種鮮奶，他們經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：第一次購買的人購買種鮮奶的概率為、購買種鮮奶的概率為，而前一次購買種鮮奶的人下一次來購買種鮮奶的概率為、購買種鮮奶的概率為，前一次購買種鮮奶的人下一次來購買種鮮奶的概率為、購買種鮮奶的概率也是，如此往復．記某人第次來購買種鮮奶的概率為．則 ﹔經(jīng)過一段時間的經(jīng)營每天來購買鮮奶的人穩(wěn)定在800人，假定這800人都已購買過很多次該兩種鮮奶，那么公司每天應至少準備種鮮奶 份．
【答案】 320
【解析】解:根據(jù)題意,,所以
由題知，，
所以，
所以是等比數(shù)列，公比為，首項為，
所以，即，
因為假定這800人都已購買過很多次該兩種鮮奶，
所以當時，，
所以公司每天應該準備種鮮奶份
故答案為：；.
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代碼
1
2
3
4
5
年借閱量萬冊
4.9
5.1
5.5
5.7
5.8
3
4
5
6
2.5
t
4
4.5
年份
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
年份代碼x
1
2
3
4
5
云計算市場規(guī)模y/千萬元
7.4
11
20
36.6
66.7
2
2.4
3
3.6
4
0.05
0.01
3.841
6.635
認真上網(wǎng)課
不認真上網(wǎng)課
合計
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合計
20
30
50
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
被某病毒感染
未被某病毒感染
合計
注射疫苗
10
50
未注射疫苗
30
50
合計
30
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
被某病毒感染
未被某病毒感染
合計
注射疫苗
10
40
50
未注射疫苗
20
30
50
合計
30
70
100
學生編號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
數(shù)學成績
120
117
122
101
100
112
99
111
102
100
89
98
92
84
94
113
97
104
85
85
總分成績
495
494
493
485
483
483
482
480
479
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