一、注意基礎(chǔ)知識的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強(qiáng)各章節(jié)知識之間的橫向聯(lián)系，針對“一?！笨荚囍械膯栴}要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)，要規(guī)范解答過程及書寫。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識體系。同學(xué)們在聽課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們在刷題時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
專題21概率與統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用
目 錄
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc157110944" 01 求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望 PAGEREF _Tc157110944 \h 2
\l "_Tc157110945" 02 超幾何分布與二項(xiàng)分布 PAGEREF _Tc157110945 \h 5
\l "_Tc157110946" 03 概率與其它知識的交匯問題 PAGEREF _Tc157110946 \h 8
\l "_Tc157110947" 04 期望與方差的實(shí)際應(yīng)用 PAGEREF _Tc157110947 \h 12
\l "_Tc157110948" 05 正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 PAGEREF _Tc157110948 \h 15
\l "_Tc157110949" 06 統(tǒng)計(jì)圖表及數(shù)字特征 PAGEREF _Tc157110949 \h 19
\l "_Tc157110950" 07 線性回歸與非線性回歸分析 PAGEREF _Tc157110950 \h 23
\l "_Tc157110951" 08 獨(dú)立性檢驗(yàn) PAGEREF _Tc157110951 \h 28
\l "_Tc157110952" 09 與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問題 PAGEREF _Tc157110952 \h 32
\l "_Tc157110953" 10 決策型問題 PAGEREF _Tc157110953 \h 35
\l "_Tc157110954" 11 遞推型概率命題 PAGEREF _Tc157110954 \h 39
\l "_Tc157110955" 12 條件概率、全概率公式、貝葉斯公式 PAGEREF _Tc157110955 \h 44
\l "_Tc157110956" 13 高等背景下的概統(tǒng)問題 PAGEREF _Tc157110956 \h 47
01 求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望
1．（2022?甲卷）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
（2）用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望．
【解析】（1）甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，可以得到兩個(gè)學(xué)校每場比賽獲勝的概率如下表：
甲學(xué)校要獲得冠軍，需要在3場比賽中至少獲勝2場，
①甲學(xué)校3場全勝，概率為：，
②甲學(xué)校3場獲勝2場敗1場，概率為：，
所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為：；
（2）乙學(xué)校的總得分的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：
，
，
，
，
則的分布列為：
的期望．
2．（2024·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球．
(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；
(2)記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【解析】（1）記“取出的個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件，
先確定個(gè)不同數(shù)字的小球，有種方法，
然后每種小球各取個(gè)，有種取法，
所以.
（2）由題意可知，的可取值為，
當(dāng)時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為的小球、有兩個(gè)數(shù)字為的小球，
所以；
當(dāng)時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為的小球、有兩個(gè)數(shù)字為的小球，
所以；
當(dāng)時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為的小球、有兩個(gè)數(shù)字為的小球，
所以，
所以的分布列為：
所以.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）某科研所計(jì)劃招聘兩名科研人員，共有4人報(bào)名應(yīng)聘．科研所組織了專業(yè)能力、創(chuàng)新意識和寫作水平三場測試，每場測試滿分100分，每名選手在三場測試中的得分分別按和計(jì)入總分，按總分排序，若總分相同，則依次按專業(yè)能力、創(chuàng)新意識和寫作水平的得分從高到低排序，前兩名錄取．下表是4名應(yīng)聘者的三場測試成績：
(1)該科研所應(yīng)招聘哪兩名選手？并說明你的理由．
(2)該科研所要求新招聘的兩名科研人員上崗前參加線上培訓(xùn)．已知專業(yè)能力、創(chuàng)新意識和寫作水平各有兩個(gè)線上報(bào)告，培訓(xùn)者需從每個(gè)項(xiàng)目的兩個(gè)報(bào)告中選擇一個(gè)學(xué)習(xí)，記新招聘的兩名科研人員參加學(xué)習(xí)的相同報(bào)告的數(shù)目為，求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．
【解析】（1）4名選手的總分，結(jié)果如下：
選手1得分（分），
選手2得分（分），
選手3得分（分），
選手4得分（分）．
因?yàn)椋疫x手1的專業(yè)能力測試成績高于選手3，
所以應(yīng)錄取選手4和1．
（2）的可能取值為0，1，2，3，
其中，，
，．
所以的概率分布列為：
所以．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）班會課上，甲、乙兩位同學(xué)參加了“心有靈犀”活動(dòng)：從5個(gè)成語中隨機(jī)抽取3個(gè)，甲同學(xué)負(fù)責(zé)比劃，乙同學(xué)負(fù)責(zé)猜成語．甲會比劃其中3個(gè)，甲會比劃的成語，乙猜對的概率為，甲不會比劃的成語，乙無法猜對．
(1)求甲乙配合猜對2個(gè)成語的概率；
(2)設(shè)甲乙配合猜對成語個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【解析】（1）甲乙配合猜對2個(gè)成語，則需要抽中2個(gè)或3個(gè)甲會比劃的成語，
記事件A為甲乙配合猜對2個(gè)成語，可得，
所以甲乙配合猜對2個(gè)成語的概率為．
（2）由題意，隨機(jī)變量可能的取值為，
可得，
，
，
．
所以的分布列為
數(shù)學(xué)期望．
02 超幾何分布與二項(xiàng)分布
5．（2024·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習(xí)）某興趣小組利用所學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率知識解決實(shí)際問題．
(1)現(xiàn)有甲池塘，已知小池塘里有10條鯉魚，其中紅鯉魚有4條．若興趣小組捉取3次，每次從甲池塘中有放回地捉取一條魚記錄相關(guān)數(shù)據(jù)．用X表示其中捉取到紅鯉魚的條數(shù)，請寫出X的分布列，并求出X的數(shù)學(xué)期望．
(2)現(xiàn)有乙池塘，已知池塘中有形狀大小相同的紅鯉魚與黑鯉魚共10條，其中紅鯉魚有條，身為興趣小組隊(duì)長的駱同學(xué)每次從池塘中捉了1條魚，做好記錄后放回池塘，設(shè)事件A為“從池塘中捉取魚3次，其中恰有2次捉到紅鯉魚”．當(dāng)時(shí)，事件A發(fā)生的概率最大，求的值．
【解析】（1）由題可得：，，，，
可得：每次捉到紅鯉魚的概率為．
易知，；；
；．
分布列如表所示：
所以．
（2）每次捉魚，捉到紅鯉魚的概率為，則捉到黑鯉魚的概率為．
所以，其中且，
令，則，解得或，
故在上，為增函數(shù)，在上，為減函數(shù)，
所以．
又因?yàn)榍遥?br>而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，所以，
綜上所述：事件A發(fā)生的概率最大時(shí).
6．（2024·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）某校高一年級舉行數(shù)學(xué)史知識競賽，每個(gè)同學(xué)從10道題中一次性抽出4道作答.小張有7道題能答對，3道不能答對；小王每道答對的概率均為，且每道題答對與否互不影響.
(1)分別求小張，小王答對題目數(shù)的分布列；
(2)若預(yù)測小張答對題目數(shù)多于小王答對題目數(shù)，求的取值范圍.
【解析】（1）設(shè)小張答對的題目數(shù)為，可知隨機(jī)變量服從超幾何分布，的取值分別為1，2，3，4.
有，，
，，
故小張答對的題目數(shù)的分布列為
設(shè)小王答對的題目數(shù)為，可知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，的取值分別為0，1，2，3，4，
有，
，
，
，
.
故小王答對的題目數(shù)的分布列為
（2）由（1）可知，
而，所以，
若預(yù)測小張答對的題目數(shù)多于小王答對的題目數(shù)，
則，即，可得.
7．（2024·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列.現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號次，每次發(fā)射信號“0”和“1”是等可能的.記發(fā)射信號1的次數(shù)為.
(1)當(dāng)時(shí)，求
(2)已知切比雪夫不等式：對于任一隨機(jī)變最，若其數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對任意正實(shí)數(shù)，有.根據(jù)該不等式可以對事件“”的概率作出下限估計(jì).為了至少有的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在0.4與0.6之間，試估計(jì)信號發(fā)射次數(shù)的最小值.
【解析】（1）由已知，
所以
；
（2）由已知，所以，
若，則，即，
即.
由切比雪夫不等式，
要使得至少有的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在與之間，則，
解得，所以估計(jì)信號發(fā)射次數(shù)的最小值為1250；
綜上， ，估計(jì)信號發(fā)射次數(shù)的最小值為1250.
03 概率與其它知識的交匯問題
8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，，三棱錐的外接球半徑.

(1)求三棱錐的側(cè)面積的最大值；
(2)若在底面上，有一個(gè)小球由頂點(diǎn)處開始隨機(jī)沿底邊自由滾動(dòng)，每次滾動(dòng)一條底邊，滾向頂點(diǎn)的概率為，滾向頂點(diǎn)的概率為；當(dāng)球在頂點(diǎn)處時(shí)，滾向頂點(diǎn)的概率為，滾向頂點(diǎn)的概率為；當(dāng)球在頂點(diǎn)處時(shí)，滾向頂點(diǎn)的概率為，滾向頂點(diǎn)的概率為.若小球滾動(dòng)3次，記球滾到頂點(diǎn)處的次數(shù)為，求數(shù)學(xué)期望的值.
【解析】（1）因?yàn)槿龡l側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，，且三棱錐的外接球半徑，
則以、、為長、寬、高的長方體的體對角線為外接球的直徑，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
所以三棱錐的側(cè)面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
即三棱錐的側(cè)面積的最大值為.
（2）依題意的可能取值為、、，
則，，
，
所以.
9．（2024·全國·高三階段練習(xí)）如圖所示，一只螞蟻從正方體的頂點(diǎn)出發(fā)沿棱爬行，記螞蟻從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)為一次爬行，每次爬行的方向是隨機(jī)的，螞蟻沿正方體上、下底面上的棱爬行的概率為，沿正方體的側(cè)棱爬行的概率為．
(1)若螞蟻爬行次，求螞蟻在下底面頂點(diǎn)的概率；
(2)若螞蟻爬行5次，記它在頂點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【解析】（1）記螞蟻爬行次在底面的概率為，則它前一步只有兩種情況：在下底面或在上底面，
結(jié)合題意易得，，
是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，
（2）結(jié)合題意易得：，
當(dāng)時(shí)，螞蟻第3次、第5次都在處，
當(dāng)時(shí)，螞蟻第3次在處或第5次在處，
設(shè)螞蟻第3次在處的概率為，
設(shè)螞蟻第5次在處的概率為，
設(shè)螞蟻不過點(diǎn)且第3次在的概率為，設(shè)螞蟻不過點(diǎn)且第3次在的概率為，
設(shè)螞蟻不過點(diǎn)且第3次在的概率為，由對稱性知，，
，又，
得，
，
，
的分布列為：
的數(shù)學(xué)期望.
10．（2024·安徽·蚌埠二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）某從事智能教育技術(shù)研發(fā)的科技公司開發(fā)了一個(gè)“AI作業(yè)”項(xiàng)目，并且在甲、乙兩個(gè)學(xué)校的高一學(xué)生中做用戶測試．經(jīng)過一個(gè)階段的試用，為了解“AI作業(yè)”對學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)情況，該公司隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對他們“向量數(shù)量積”知識點(diǎn)掌握情況進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：
用樣本頻率估計(jì)概率，并假設(shè)每位學(xué)生是否掌據(jù)“向量數(shù)量積”知識點(diǎn)相互獨(dú)立．
(1)從兩校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生對“向量數(shù)量積”知識點(diǎn)基本掌握的概率；
(2)從樣本中沒有掌握“向量數(shù)量積”知識點(diǎn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，以表示這2人中使用AI作業(yè)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)從甲校高一學(xué)生中抽取一名使用“Al作業(yè)”的學(xué)生和一名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生，用“”表示該使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“”表示該使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握“向量數(shù)量積”，用“”表示該不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“”表示該不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握“向量數(shù)量積”．直接寫出方差DX和DY的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）
【解析】（1）在兩所學(xué)校被調(diào)查的200名學(xué)生中，
對“向量數(shù)量積”知識點(diǎn)基本掌握的學(xué)生有140人，
所以估計(jì)從兩校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人．
該學(xué)生對“向量數(shù)量積”知識點(diǎn)基本掌握的概率為
（2）依題意，，1，2，且，
，，
所以的分布列為：
故
（3）由題意，易知服從二項(xiàng)分布，，
服從二項(xiàng)分布，，故.
04 期望與方差的實(shí)際應(yīng)用
11．（2024·北京西城·高三統(tǒng)考期末）生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運(yùn)動(dòng)軌跡.為了解某地中學(xué)生和大學(xué)生對跑步軟件的使用情況，從該地隨機(jī)抽取了200名中學(xué)生和80名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜愛使用的一款跑步軟件，結(jié)果如下：
假設(shè)大學(xué)生和中學(xué)生對跑步軟件的喜愛互不影響.
(1)從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率；
(2)采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人.記為這人中最喜愛使用跑步軟件二的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)記樣本中的中學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；樣本中的大學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；，，，，，，，的方差為.寫出，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）
【解析】（1）從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，
這人都最喜愛使用跑步軟件一的概率為.
（2）因?yàn)槌槿〉娜酥凶钕矏叟懿杰浖娜藬?shù)為，
所以的所有可能取值為，
，
所以的分布列為：
所以.
（3），證明如下：
，
，
所以.
，
，
所以.
數(shù)據(jù)：，，，，，，，，
對應(yīng)的平均數(shù)為
所以
所以.
12．（2024·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）某區(qū)域中的物種C有A種和B種兩個(gè)亞種．為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個(gè)亞種的數(shù)目比例（A種數(shù)目比B種數(shù)目少），某生物研究小組設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)方案：①在該區(qū)域中有放回的捕捉50個(gè)物種C，統(tǒng)計(jì)其中A種數(shù)目，以此作為一次試驗(yàn)的結(jié)果；②重復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)n次（其中），記第i次試驗(yàn)中的A種數(shù)目為隨機(jī)變量（）；③記隨機(jī)變量，利用的期望和方差進(jìn)行估算．設(shè)該區(qū)域中A種數(shù)目為M，B種數(shù)目為N，每一次試驗(yàn)都相互獨(dú)立．
(1)已知，，證明：，；
(2)該小組完成所有試驗(yàn)后，得到的實(shí)際取值分別為（），并計(jì)算了數(shù)據(jù)（）的平均值和方差，然后部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，僅剩方差的數(shù)據(jù)．
（ⅰ）請用和分別代替和，估算和；
（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，求的分布列中概率值最大的隨機(jī)事件對應(yīng)的隨機(jī)變量的取值．
【解析】（1）由題可知（，2，…，n）均近似服從完全相同的二項(xiàng)分布，
則，，
，
，
所以，.
（2）（?。┯桑?）可知，
則的均值，的方差，
所以，解得或，
由題意可知：，則，
所以，；
（ⅱ）由（?。┛芍?，則，
則，
由題意可知：，
解得，且，則，
所以的分布列中概率值最大的隨機(jī)事件對應(yīng)的隨機(jī)變量的取值為15.
13．（2024·貴州貴陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某校為了慶祝建校100周年，舉行校園文化知識競賽.某班經(jīng)過層層選拔，還有最后一個(gè)參賽名額要在甲?乙兩名學(xué)生中產(chǎn)生，該班設(shè)計(jì)了一個(gè)選拔方案：甲，乙兩名學(xué)生各自從6個(gè)問題中隨機(jī)抽取3個(gè)問題作答.已知這6個(gè)問題中，學(xué)生甲能正確回答其中的4個(gè)問題，而學(xué)生乙能正確回答每個(gè)問題的概率均為.甲?乙兩名學(xué)生對每個(gè)問題回答正確與否都是相互獨(dú)立的.
(1)分別求甲?乙兩名學(xué)生恰好答對2個(gè)問題的概率；
(2)設(shè)甲答對的題數(shù)為，乙答對的題數(shù)為，若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學(xué)生？請說明理由.
【解析】（1）由題意，知甲恰好答對2個(gè)問題的概率為，
乙恰好答對2個(gè)問題的概率為.
（2）的可能取值為1，2，3，
則；；.
所以，.
易知~，
所以，.
因?yàn)榍遥?br>甲的平均水平更好，也比乙更穩(wěn)定.
所以選擇學(xué)生甲.
05 正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
14．（2024·全國·模擬預(yù)測）某市有20000名學(xué)生參加了一項(xiàng)知識競賽活動(dòng)（知識競賽分為初賽和復(fù)賽），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初賽成績作為樣本，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值和分位數(shù)．
(2)若所有學(xué)生的初賽成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，，初賽成績不低于89分的學(xué)生才能參加復(fù)賽，試估計(jì)能參加復(fù)賽的人數(shù)．
(3)復(fù)賽設(shè)置了三道試題，第一、二題答對得30分，第三題答對得40分，答錯(cuò)得0分．已知某學(xué)生已通過初賽，他在復(fù)賽中第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響，記該考生的復(fù)賽成績?yōu)椋蟮姆植剂屑皵?shù)學(xué)期望．
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．
【解析】（1）樣本平均數(shù)．
因?yàn)榍?組的頻率之和為，前3組的頻率之和為，
設(shè)分位數(shù)為，則，解得．
（2）因?yàn)閷W(xué)生的初賽成績近似服從正態(tài)分布，其中，，
所以，
所以，
所以估計(jì)能參加復(fù)賽的人數(shù)為．
（3）所有可能的取值為0，30，40，60，70，100，
，，
，，
，，
所以的分布列為
，
所以的數(shù)學(xué)期望為55．
15．（2024·海南省直轄縣級單位·高三校考階段練習(xí)）紅松樹分布在我國東北的小興安嶺到長白山一帶，耐蔭性強(qiáng).在一森林公園內(nèi)種有一大批紅松樹，為了研究生長了4年的紅松樹的生長狀況，從中隨機(jī)選取了12棵生長了4年的紅松樹，并測量了它們的樹干直徑（單位：厘米），如下表：
計(jì)算得：.
(1)求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值與樣本方差.
(2)假設(shè)生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布.
記事件：在森林公園內(nèi)再從中隨機(jī)選取12棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑都位于區(qū)間.
①用（1）中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態(tài)分布的均值與方差，求；
②護(hù)林員在做數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)時(shí)，得出了如下結(jié)論：生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布.在這個(gè)條件下，求，并判斷護(hù)林員的結(jié)論是否正確，說明理由.
參考公式：若，
則.
參考數(shù)據(jù)：.
【解析】（1）樣本均值，
樣本方差
.
（2）①由題意可得，樹干直徑（單位：近似服從正態(tài)分布.
在森林公園內(nèi)再隨機(jī)選一棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑位于區(qū)間的概率是，所以.
②若樹干直徑近似服從正態(tài)分布，
在森林公園內(nèi)再隨機(jī)選一棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑位于區(qū)間的概率是，則.
此時(shí)事件發(fā)生的概率遠(yuǎn)小于①中根據(jù)測量結(jié)果得出的概率估計(jì)值.
事件是一個(gè)小概率事件，但是第一次隨機(jī)選取的12棵生長了4年的紅松樹，事件發(fā)生了，所以認(rèn)為護(hù)林員給出的結(jié)論是錯(cuò)誤的.
16．已知某高校共有10000名學(xué)生，其圖書館閱覽室共有994個(gè)座位，假設(shè)學(xué)生是否去自習(xí)是相互獨(dú)立的，且每個(gè)學(xué)生在每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的概率均為0.1．
（1）將每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的學(xué)生人數(shù)記為，求的期望和方差；
（2）18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)比較大時(shí)，二項(xiàng)分布可視為正態(tài)分布．此外，如果隨機(jī)變量，令，則．當(dāng)時(shí)，對于任意實(shí)數(shù)，記．已知下表為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對應(yīng)的概率值．例如當(dāng)時(shí)，由于，則先在表的最左列找到數(shù)字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到數(shù)字0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0.5636便是的值．
①求在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位不夠用的概率；
②若要使在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位夠用的概率高于0.7，則至少需要添加多少個(gè)座位？
【解析】（1）由題意可得，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，
則，
，
（2）①由于（1）中二項(xiàng)分布的n值增大，
故可以認(rèn)為隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，
由（1）可得，，
可得，則，
則，
由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布性質(zhì)可得，，
故，
故，
在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位不夠用的概率為；
②查表可得，，則，
即，
又，
故座位數(shù)至少要1016個(gè)，
，
故閱覽室座位至少需要添加22個(gè)．
06 統(tǒng)計(jì)圖表及數(shù)字特征
17．（2022?北京）在校運(yùn)動(dòng)會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．
（Ⅰ）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）設(shè)是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）在校運(yùn)動(dòng)會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）
【解析】（Ⅰ）甲以往的10次成績中有4次獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)，用頻率估計(jì)概率，則甲在校運(yùn)動(dòng)會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率．
（Ⅱ）用頻率估計(jì)概率，則乙在校運(yùn)動(dòng)會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為，丙在校運(yùn)動(dòng)會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為，
的所有可能取值為0，1，2，3，
則，
，
，
，
．
（Ⅲ）由題中數(shù)據(jù)可知，乙與丙獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率較大，均為，且丙投出過三人成績中的最大值，
在三人中有一定優(yōu)勢，
故如果發(fā)揮較好的話丙獲得的概率估計(jì)值最大．
18．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校即將迎來建校80周年，為了增進(jìn)學(xué)生愛校、榮校意識，團(tuán)委組織學(xué)生開展“迎校慶、知校史”的知識競賽活動(dòng)，共有100名同學(xué)參賽.為了解競賽成績的分布情況，將100名同學(xué)的競賽成績按，，，，，分成6組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)用樣本估計(jì)總體，求圖中a的值及此次知識競賽成績的分位數(shù)；
(2)現(xiàn)從競賽成績在的學(xué)生中以分層抽樣的方式抽取15人進(jìn)行培訓(xùn)，經(jīng)過一輪培訓(xùn)后再選取2人擔(dān)任主持人工作，求在至少1人來自分?jǐn)?shù)段的條件下，另外1人來自分?jǐn)?shù)段的概率.
【解析】（1）由圖可知，，解得，
又，，
所以此次知識競賽成績的分位數(shù)位于區(qū)間，設(shè)為x，
則，解得，所以此次知識競賽成績的分位數(shù)為.
（2）從競賽成績在的學(xué)生中以分層抽樣的方式抽取15人，
其中競賽成績在分?jǐn)?shù)段，，的人數(shù)分別為，
，，
則至少有1人來自分?jǐn)?shù)段的情況共有種，
選取2人中1人來自分?jǐn)?shù)段，另外1人來自分?jǐn)?shù)段的情況有種，
故在至少1人來自分?jǐn)?shù)段的條件下，另外1人來自分?jǐn)?shù)段的概率為.
19．在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩、防護(hù)服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽(yù).我國某口罩生產(chǎn)企業(yè)在加大生產(chǎn)的同時(shí)，狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：，，，…，，得到如下頻率分布直方圖.

(1)求出直方圖中m的值；
(2)利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）；
(3)現(xiàn)規(guī)定：質(zhì)量指標(biāo)值小于70的口罩為二等品，質(zhì)量指標(biāo)值不小于70的口罩為一等品.利用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100個(gè)口罩中抽出5個(gè)口罩，并從中再隨機(jī)抽取2個(gè)作進(jìn)一步的質(zhì)量分析，試求這2個(gè)口罩中恰好有1個(gè)口罩為一等品的概率.
【解析】（1）由，
得.
（2）平均數(shù)為.
設(shè)中位數(shù)為，
質(zhì)量指標(biāo)值位于之間的頻率為0.4，位于之間的頻率為0.7，
所以，，
且，
解得.
故可以估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33.
（3）由頻率分布直方圖可知，質(zhì)量指標(biāo)小于70的頻率為0.4，大于70的頻率為0.6，
所以100個(gè)口罩中一等品、二等品各有60個(gè)、40個(gè).
又抽樣比為，
由分層抽樣可知，所抽取的5個(gè)口罩中一等品有個(gè)、二等品有個(gè).
記這3個(gè)一等品為，2個(gè)二等品為，
則從5個(gè)口罩中抽取2個(gè)，所以可能的樣本點(diǎn)的有：，，，，，，，，，，共10個(gè)等可能的樣本點(diǎn)，
其中恰有1個(gè)口罩為一等品包含的樣本點(diǎn)有：，，，，，，共6種.
根據(jù)古典概型可知，這2個(gè)口罩中恰好有1個(gè)口罩為一等品的概率為.
20．（2024·全國·高三期末）武漢外國語學(xué)校預(yù)籌辦“六十周年校慶”慶典活動(dòng)，需要對參與校慶活動(dòng)的志愿者進(jìn)行選拔性面試.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.

(1)求a，b的值；
(2)估計(jì)這100名候選者面試成績的第70百分位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；
(3)在第二，第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取6人，然后再從這6人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自同一組的概率.
【解析】（1）因?yàn)榈谌⑺?、五組的頻率之和為0.7，
所以，解得，
所以前兩組的頻率之和為，
即，解得.
（2）因?yàn)榍皟山M頻率之和為，前三組頻率之和為，
所以第70百分位數(shù)在第三組，且為；
（3）第二、第五兩組志愿者分別有人，人，
故按分層抽樣抽得第二組人數(shù)5人，分別設(shè)為，第五組抽得1人，設(shè)為，
這6人中選出2人，所有的情況有
，
共有15種情況，其中選出的兩人來自同一組有10種情況，
故選出的兩人來自同一組的概率.
07 線性回歸與非線性回歸分析
21．（2024·吉林·東北師大附中?？寄M預(yù)測）2015年7月31日，在吉隆坡舉行的國際奧委會第128次全會上，北京獲得2022年冬奧會舉辦權(quán).在申冬奧過程中，中國正式向國際社會作出“帶動(dòng)三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的莊嚴(yán)承諾.這一承諾，既是我國為國際奧林匹克運(yùn)動(dòng)做出重大貢獻(xiàn)的大國擔(dān)當(dāng)展現(xiàn)，也是根據(jù)我國經(jīng)濟(jì)水平和全民健身需求做出的群眾性運(yùn)動(dòng)的戰(zhàn)略部署.從北京冬奧會申辦成功到2021年10月，全國參與冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)累計(jì)達(dá)到3.46億，實(shí)現(xiàn)了“帶動(dòng)三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的目標(biāo)，這是北京冬奧會給予全球冬季體育運(yùn)動(dòng)和奧林匹克運(yùn)動(dòng)的最為重要的遺產(chǎn)，可以說是2022年北京冬奧會的第一塊金牌.“冬奧熱”帶動(dòng)“冰雪熱”，也帶動(dòng)了冰雪經(jīng)濟(jì)，以冰雪運(yùn)動(dòng)為主要內(nèi)容的冰雪旅游近年來發(fā)展迅速，2016至2022六個(gè)冰雪季的旅游人次y（單位億）的數(shù)據(jù)如下表：
(1)求y與t的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并回答y與t的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；
(2)因受疫情影響，現(xiàn)將2019—2020年度的異常數(shù)據(jù)剔除，用剩下的5個(gè)年度數(shù)據(jù)（年度代號不變），求y關(guān)于t的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并推測沒有疫情情況下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估計(jì)值.
附注：參考數(shù)據(jù)：，，，，.參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，
【解析】（1）由參考數(shù)據(jù)計(jì)算得
所以，
因?yàn)?，所以線性相關(guān)性不強(qiáng).
（2）五組數(shù)據(jù)的均值分別為，
，
關(guān)于的線性回歸方程為
令，則，
因此，在沒有疫情情況下，2019-2020年度冰雪旅游人次的估計(jì)值為億.
22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮(3×3)內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復(fù)．?dāng)?shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國數(shù)獨(dú)大賽初級組的比賽．
參考數(shù)據(jù)：
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.
(1)賽前小明進(jìn)行了一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天解題的平均速度y(秒/題)與訓(xùn)練天數(shù)x(天)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：
現(xiàn)用作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程；(，用分?jǐn)?shù)表示)
(2)小明和小紅玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)開始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，且各局之間相互獨(dú)立，設(shè)比賽X局后結(jié)束，求隨機(jī)變量X的分布列及均值．
【解析】（1）
解:因?yàn)椋?
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
所以所求回歸方程為.
（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為3，4，5，
，
，
.
所以隨機(jī)變量X的分布列為
.
23．（2024·全國·模擬預(yù)測）近三年的新冠肺炎疫情對我們的生活產(chǎn)生了很大的影響，當(dāng)然也影響著我們的旅游習(xí)慣，鄉(xiāng)村游、近郊游、周邊游熱鬧了許多，甚至出現(xiàn)“微度假”的概念．在國家有條不紊的防疫政策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中．某鄉(xiāng)村抓住機(jī)遇，依托良好的生態(tài)環(huán)境、厚重的民族文化，開展鄉(xiāng)村旅游．通過文旅度假項(xiàng)目考察，該村推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費(fèi)者的積極回應(yīng)．該村推出了六條鄉(xiāng)村旅游經(jīng)典線路，對應(yīng)六款不同價(jià)位的旅游套票，相應(yīng)的價(jià)格x與購買人數(shù)y的數(shù)據(jù)如下表．
經(jīng)數(shù)據(jù)分析、描點(diǎn)繪圖，發(fā)現(xiàn)價(jià)格x與購買人數(shù)y近似滿足關(guān)系式，即，對上述數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理，其中，，，2，…，6．
附：①可能用到的數(shù)據(jù)：，，，．
②對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)值分別為，．
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關(guān)于x的回歸方程．
(2)按照相關(guān)部門的指標(biāo)測定，當(dāng)套票價(jià)格時(shí)，該套票受消費(fèi)者的歡迎程度更高，可以被認(rèn)定為“熱門套票”．現(xiàn)有三位游客，每人從以上六款套票中購買一款旅游，購買任意一款的可能性相等．若三人買的套票各不相同，記三人中購買“熱門套票”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．
【解析】（1）散點(diǎn)集中在一條直線附近，
設(shè)回歸直線方程為，，，
則，，
所以回歸直線方程為．
因?yàn)?，，所以，則，，所以．
綜上，y關(guān)于x的回歸方程為．
（2）由題意知B，C，D，E為“熱門套票”，則三人中購買“熱門套票”的人數(shù)X服從超幾何分布，
X的可能取值為1，2，3，且，，．
X的分布列如下．
．
08 獨(dú)立性檢驗(yàn)
24．（2024·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一，具備較好的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)一般體現(xiàn)為在運(yùn)算中算法合理、計(jì)算準(zhǔn)確、過程規(guī)范、細(xì)節(jié)到位，為了診斷學(xué)情、培養(yǎng)習(xí)慣、發(fā)展素養(yǎng)，某老師計(jì)劃調(diào)研準(zhǔn)確率與運(yùn)算速度之間是否有關(guān)，他記錄了一段時(shí)間的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：
(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)考試中準(zhǔn)確率與運(yùn)算速度相關(guān)？
(2)為鼓勵(lì)學(xué)生全面發(fā)展，現(xiàn)隨機(jī)將準(zhǔn)確率高且速度快的10名同學(xué)分成人數(shù)分別為3，3，4的三個(gè)小組進(jìn)行小組才藝展示，若甲、乙兩人在這10人中，求甲在3人一組的前提下乙在4人一組的概率.
附：
其中.
【解析】（1）零假設(shè)數(shù)學(xué)考試中準(zhǔn)確率與運(yùn)算速度無關(guān)，
，
依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，
因此可以認(rèn)為成立，即數(shù)學(xué)考試中準(zhǔn)確率與運(yùn)算速度無關(guān)
（2）記“甲在3人一組”為事件，
則需從除甲以外的9人中任選2人與甲形成一組，
再從剩下7人中任選3人形成一組，最后4人形成一組，
所以，
記“甲在3人一組，且乙在4人一組”為事件，
則需從除甲、乙以外的8人中任選2人與甲形成一組，
再從剩下6人中任選3人與乙形成一組，最后3人形成一組，
所以，
由條件概率公式，則，
即甲在3人一組的前提下乙在4人一組的概率為
25．（2024·陜西榆林·?？寄M預(yù)測）由于人類的破壞與棲息地的喪失等因素，地球上瀕臨滅絕生物的比例正在以驚人的速度增長.在工業(yè)社會以前，鳥類平均每年滅絕一種，獸類平均每年滅絕一種，但是自工業(yè)社會以來，地球物種滅絕的速度已經(jīng)超出自然滅絕率的倍.所以保護(hù)動(dòng)物刻不容緩，全世界都在號召保護(hù)動(dòng)物，動(dòng)物保護(hù)的核心內(nèi)容是禁止虐待、殘害任何動(dòng)物，禁止獵殺和捕食野生動(dòng)物，某動(dòng)物保護(hù)機(jī)構(gòu)為了調(diào)查研究人們“保護(hù)動(dòng)物意識的強(qiáng)弱與性別是否有關(guān)聯(lián)”，從某市市民中隨機(jī)抽取名進(jìn)行調(diào)查，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為人們保護(hù)動(dòng)物意識的強(qiáng)弱與性別有關(guān)聯(lián)？
(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從該市女性的市民中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取人，共抽取次.記被抽取的人中“保護(hù)動(dòng)物意識強(qiáng)”的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式：，其中.
附：
【解析】（1）零假設(shè)為保護(hù)動(dòng)物意識的強(qiáng)弱與性別無關(guān)聯(lián).
由題意，，
所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，
即認(rèn)為保護(hù)動(dòng)物意識的強(qiáng)弱與性別有關(guān)聯(lián).
（2）由題意可知：在女性的市民中抽到人，
抽中“保護(hù)動(dòng)物意識強(qiáng)”的女性市民的概率為，
所以的所有可能取值為、、、、，由題意可知，，
，，
，，
，
所以的分布列為
所以.
26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）為加快推動(dòng)旅游業(yè)復(fù)蘇，進(jìn)一步增強(qiáng)居民旅游消費(fèi)意愿，山東省人民政府規(guī)定自2023年1月21日起至3月31日在全省實(shí)施景區(qū)門票減免．據(jù)統(tǒng)計(jì)，活動(dòng)開展以來游客至少去過兩個(gè)及以上景區(qū)的人數(shù)占比為90%．某市旅游局從游客中隨機(jī)抽取100人（其中年齡在50周歲及以下的有60人）了解他們對全省實(shí)施景區(qū)門票減免活動(dòng)的滿意度，并按年齡（50周歲及以下和50周歲以上）分類統(tǒng)計(jì)得到如下不完整的2×2列聯(lián)表：
(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成以上2×2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對全省實(shí)施景區(qū)門票減免活動(dòng)是否滿意與年齡有關(guān)聯(lián)（結(jié)果精確到0.01）？
(2)現(xiàn)從本市游客中隨機(jī)抽取3人了解他們的出游情況，設(shè)其中至少去過兩個(gè)及以上景區(qū)的人數(shù)為X，若以本次活動(dòng)中至少去過兩個(gè)及以上景區(qū)的人數(shù)的頻率為概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．
【解析】（1）由題意得，抽取的100人年齡在50周歲及以下的有60人，則年齡在50周歲以上的有40人，補(bǔ)全的2×2列聯(lián)表如下：
零假設(shè)為：全省實(shí)施景區(qū)門票減免活動(dòng)是否滿意與年齡無關(guān)．
則．
所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為對全省實(shí)施景區(qū)門票減免活動(dòng)是否滿意與年齡有關(guān)聯(lián)；
（2）由題意可得，游客至少去過兩個(gè)及以上景區(qū)的概率為0.9，
則，X的所有可能取值為0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列為：
因?yàn)?，所以?shù)學(xué)期望．
09 與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問題
27．（2024·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）2022年12月18日，第二十二屆男足世界杯決賽在梅西率領(lǐng)的阿根廷隊(duì)與姆巴佩率領(lǐng)的法國隊(duì)之間展開，法國隊(duì)在上半場落后兩球的情況下，下半場連進(jìn)兩球，2比2戰(zhàn)平進(jìn)入加時(shí)賽，加時(shí)賽兩隊(duì)各進(jìn)一球（比分3∶3）再次戰(zhàn)平，在隨后的點(diǎn)球大戰(zhàn)中，阿根廷隊(duì)發(fā)揮出色，最終贏得了比賽的勝利，時(shí)隔36年再次成功奪得世界杯冠軍，梅西如愿以償，成功捧起大力神杯．
(1)法國隊(duì)與阿根廷隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，在比賽前很難預(yù)測誰勝誰負(fù)．賽前有3人對比賽最終結(jié)果進(jìn)行了預(yù)測，假設(shè)每人預(yù)測正確的概率均為，求預(yù)測正確的人數(shù)X的分布列和期望；
(2)足球的傳接配合非常重要，傳接球訓(xùn)練也是平常訓(xùn)練的重要項(xiàng)目，梅西和其他4名隊(duì)友在某次傳接球的訓(xùn)練中，假設(shè)球從梅西腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外4人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住，記第n次傳球之前球在梅西腳下的概率為，求．
【解析】（1）因?yàn)?，，X可能的取值為0，1，2，3，
，，
故X的分布列為：
故．
（2）第n次傳球之前球在梅西腳下的概率為，易得，，
則當(dāng)時(shí)，第次傳球之前球在梅西腳下的概率為，第次傳球之前球不在梅西腳下的概率為，
故，即，
又因?yàn)椋?br>所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
所以，．
28．（2024·江蘇·高三統(tǒng)考期末）2022年卡塔爾世界杯決賽于當(dāng)?shù)貢r(shí)間12月18日進(jìn)行，最終阿根廷通過點(diǎn)球大戰(zhàn)總比分戰(zhàn)勝法國，奪得冠軍.根據(jù)比賽規(guī)則：淘汰賽階段常規(guī)比賽時(shí)間為90分鐘，若在90分鐘結(jié)束時(shí)進(jìn)球數(shù)持平，需進(jìn)行30分鐘的加時(shí)賽，若加時(shí)賽仍是平局，則采用“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝負(fù).“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下：①兩隊(duì)各派5名隊(duì)員，雙方輪流踢點(diǎn)球，累計(jì)進(jìn)球個(gè)數(shù)多者勝；②如果在踢滿5輪前，一隊(duì)的進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢滿5輪最多可能射中的球數(shù)，則不需要再踢（例如：第4輪結(jié)束時(shí)，雙方“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的進(jìn)球數(shù)比為，則不需要再踢第5輪）；③若前5輪“點(diǎn)球大戰(zhàn)"中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則從第6輪起，雙方每輪各派1人踢點(diǎn)球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況，進(jìn)球方勝出.
(1)假設(shè)踢點(diǎn)球的球員等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向射門，門將也會等可能地選擇球門的左?中?右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也只有的可能性將球撲出.若球員射門均在門內(nèi)，在一次“點(diǎn)球大戰(zhàn)"中，求門將在前4次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)的分布列期望；
(2)現(xiàn)有甲?乙兩隊(duì)在決賽中相遇，常規(guī)賽和加時(shí)賽后雙方戰(zhàn)平，需要通過“點(diǎn)球大戰(zhàn)”來決定冠軍.設(shè)甲隊(duì)每名隊(duì)員射進(jìn)點(diǎn)球的概率均為，乙隊(duì)每名隊(duì)員射進(jìn)點(diǎn)球的概率均為，假設(shè)每輪點(diǎn)球中進(jìn)球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.
（i）若甲隊(duì)先踢點(diǎn)球，求在第3輪結(jié)束時(shí)，甲隊(duì)踢進(jìn)了3個(gè)球并獲得冠軍的概率；
（ii）求“點(diǎn)球大戰(zhàn)”在第7輪結(jié)束，且乙隊(duì)以獲得冠軍的概率.
【解析】（1）根據(jù)題意門將每次撲中點(diǎn)球的概率，
的可能取值為，且，
；
所以的概率分布為
數(shù)學(xué)期望.
（2）（i）甲隊(duì)先踢點(diǎn)球，第三輪結(jié)束時(shí)甲隊(duì)踢進(jìn)了3個(gè)球，并獲得冠軍，
則乙隊(duì)沒有進(jìn)球，所以甲隊(duì)獲得冠軍的概率為.
（ii）點(diǎn)球在第7輪結(jié)束，且乙隊(duì)以獲勝，
所以前5輪戰(zhàn)平，且第6輪戰(zhàn)平，第7輪乙隊(duì)勝甲隊(duì)
當(dāng)前5輪兩隊(duì)為時(shí)，
乙隊(duì)勝出的概率為
當(dāng)前5輪兩隊(duì)為時(shí)，
乙隊(duì)勝出的概率為，
因?yàn)樯鲜鰞蓚€(gè)事件互斥，所以乙隊(duì)勝出的概率為.
29．（2024·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）全民健身創(chuàng)精彩，健康成長蟩未來.為此某校每年定期開展體育藝術(shù)節(jié)活動(dòng)，活動(dòng)期間舉辦乒乓球比賽.假設(shè)甲乙兩人進(jìn)行一場比賽，在每一局比賽中，都不會出現(xiàn)平局，甲獲勝的概率為（）.
(1)若比賽采用五局三勝制，且，則求甲在第一局失利的情況下，反敗為勝的概率；
(2)若比賽有兩種賽制，五局三勝制和三局兩勝制，且，試分析哪種賽制下甲獲勝的概率更大？并說明理由.
【解析】（1）設(shè)表示甲在第一局失利，表示甲獲得了比賽勝利，
則.
（2）在五局三勝制中甲獲勝的概率為：
.
在三局兩勝制中甲獲勝的概率為：
.
于是.
當(dāng)時(shí)，，故采用5局3勝制下甲獲勝的概率更大.
10 決策型問題
30．（2021?新高考Ⅰ）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有，兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分．
已知小明能正確回答類問題的概率為0.8，能正確回答類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．
（1）若小明先回答類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；
（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．
【解析】（1）由已知可得，的所有可能取值為0，20，100，
則，
，
所以的分布列為：
（2）由（1）可知小明先回答類問題累計(jì)得分的期望為，
若小明先回答類問題，記為小明的累計(jì)得分，
則的所有可能取值為0，80，100，
，
，
，
則的期望為，
因?yàn)椋?br>所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答類問題．
31．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知4只白鼠中有2只患病，患病白鼠的血液檢驗(yàn)呈陽性，不患病的呈陰性.
(1)若隨機(jī)逐個(gè)進(jìn)行抽檢，直至能確定所有患病白鼠為止，求抽檢次數(shù)的期望；
(2)若隨機(jī)地將白鼠平均分成A，B兩組，首先對A組2只白鼠的血液進(jìn)行一次混檢，若呈陰性，則可確定B組2只白鼠患??；若呈陽性，再對B組2只白鼠的血液進(jìn)行一次混檢.若B組混檢呈陰性，則可確定A組2只白鼠患?。蝗鬊組混檢也呈陽性，則只需在A，B兩組中各隨機(jī)檢驗(yàn)1只白鼠的血液，便可分辨出所有患病白鼠.求檢驗(yàn)總次數(shù)的期望，并比較上述兩種檢測方案哪個(gè)更便捷.
【解析】（1）由題意知，可取2，3.
表示前兩次抽出的全是患病白鼠或全是未患病白鼠，表示前兩次恰好抽出1只患病白鼠和1只未患病白鼠.
，
，
所以.
（2）由題意知，可取.
表示B組中2只白鼠均患病，.
表示組中2只白鼠均患病，.
表示兩組中的白鼠均為1只患病，另1只未患病，，
所以.
因?yàn)椋?，所以第一種方案更便捷.
32．（2024·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）新冠疫情暴發(fā)以來，各級人民政府采取有效防控措施，時(shí)常采用10人一組做核酸檢測（俗稱混檢），某地在核酸檢測中發(fā)現(xiàn)某一組中有1人核酸檢測呈陽性，為了能找出這1例陽性感染者，且確認(rèn)感染何種病毒，需要通過做血清檢測，血清檢測結(jié)果呈陽性的即為感染人員，呈陰性的表示沒被感染.擬采用兩種方案檢測：
方案甲：將這10人逐個(gè)做血清檢測，直到能確定感染人員為止.
方案乙：將這10人的血清隨機(jī)等分成兩組，隨機(jī)將其中一組的血清混在一起檢測，若結(jié)果為陽性，則表示感染人員在該組中，然后再對該組中每份血清逐個(gè)檢測，直到能確定感染人員為止；若結(jié)果呈陰性，則對另一組中每份血清逐個(gè)檢測，直到能確定感染人員為止.把采用方案甲，直到能確定感染人員為止，檢測的次數(shù)記為X.
(1)求X的數(shù)學(xué)期望；
(2)如果每次檢測的費(fèi)用相同，以檢測費(fèi)用的期望作為決策依據(jù)，應(yīng)選擇方案甲與方案乙哪一種？
【解析】（1）X可取1，2，…，8，9，
則，，2，…，8，
，
所以.
（2）把采用方案乙，直到能確定感染人員為止，檢測的次數(shù)記為Y，
則Y可取2，3，4，5.
，
，
，
，
則.
設(shè)每次檢測的費(fèi)用均為，
則方案甲的平均費(fèi)用為，
方案乙的平均費(fèi)用為，
因?yàn)椋詰?yīng)選擇方案乙.
33．（2024·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某學(xué)校擬開展了一次趣味運(yùn)動(dòng)比賽，比賽由若干個(gè)傳統(tǒng)項(xiàng)目和新增項(xiàng)目組成，每位運(yùn)動(dòng)員共需參加3個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目.對于每一個(gè)傳統(tǒng)項(xiàng)目，若沒有完成，得0分；若完成了，得30分.對于新增項(xiàng)目，若沒有完成，得0分；若只完成了1個(gè)，得40分，若完成了2個(gè)，得90分.最后得分越多者，獲得的獎(jiǎng)金越多.現(xiàn)有兩種參賽方案供運(yùn)動(dòng)員選擇：
【方案一】只參加3個(gè)傳統(tǒng)項(xiàng)目；
【方案二】參加1個(gè)傳統(tǒng)項(xiàng)目和2個(gè)新增項(xiàng)目；
假設(shè)運(yùn)動(dòng)員能完成每個(gè)傳統(tǒng)項(xiàng)目的概率均為，能完成每個(gè)新增項(xiàng)目的概率均為，且運(yùn)動(dòng)員參加的每個(gè)項(xiàng)目是否能完成相互獨(dú)立.
(1)若運(yùn)動(dòng)員選擇方案一，設(shè)最后得分為X，求X的分布與期望；
(2)若以最后得分的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，運(yùn)動(dòng)員應(yīng)選擇哪個(gè)參賽方案?說明你的理由.
【解析】（1）由題意得，30，60，90，且.
所以，，
，，
故，
所以.
（2）設(shè)選擇方案二的最終得分為Y，則，30，40，70，90，120.
由獨(dú)立性可得，，
，，
，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以應(yīng)選擇方案一.
11 遞推型概率命題
34．（2024·貴州貴陽·高三統(tǒng)考期末）有個(gè)編號分別為的盒子，第1個(gè)盒子中有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，其余盒子中均為1個(gè)紅球和1個(gè)白球，現(xiàn)從第1個(gè)盒子中任取一球放入第2個(gè)盒子，現(xiàn)從第2個(gè)盒子中任取一球放入第3個(gè)盒子，，依次進(jìn)行．
(1)求從第2個(gè)盒子中取到紅球的概率；
(2)求從第個(gè)盒子中取到紅球的概率；
(3)設(shè)第個(gè)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，的期望值為，求證：．
【解析】（1）記“從第個(gè)盒子中取到紅球”為事件，
此時(shí)，，
則；
（2）因?yàn)?br>，
所以，
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
此時(shí)，
即，
當(dāng)時(shí)，，符合題意，
綜上，從第個(gè)盒子中取到紅球的概率為；
（3）證明：易知的所有可能取值為1，2，
此時(shí)，，
則的分布列為：
所以，由于，
故．
35．（2024·全國·模擬預(yù)測）某中學(xué)舉辦了詩詞大會選拔賽，共有兩輪比賽，第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令．第一輪給每位選手提供5個(gè)詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個(gè)題目，主持人說出詩詞的上句，若選手在10秒內(nèi)正確回答出下句可得10分，若不能在10秒內(nèi)正確回答出下句得0分．
(1)已知某位選手會5個(gè)詩詞接龍題目中的3個(gè)，求該選手在第一輪得分的數(shù)學(xué)期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個(gè)團(tuán)隊(duì)參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個(gè)團(tuán)隊(duì)中的一個(gè)回答問題，無論答題對錯(cuò)，該團(tuán)隊(duì)回答后由其他團(tuán)隊(duì)搶答下一問題，且其他團(tuán)隊(duì)有相同的機(jī)會搶答下一問題．記第n次回答的是甲的概率為，若．
①求P2，P3；
②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大?。?br>【解析】（1）設(shè)該選手答對的題目個(gè)數(shù)為，該選手在第一輪的得分為，則，
易知的所有可能取值為0，1，2，
則，
，
，
故的分布列為
則，
所以．
（2）①由題意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，∴，則．
②由第n次回答的是甲的概率為，得當(dāng)n≥2時(shí)，第次回答的是甲的概率為，第次回答的不是甲的概率為，
則，
即，
又，
∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則，
∴，
∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．
36．（2024·山東德州·高三統(tǒng)考期末）某市號召市民盡量減少開車出行，以綠色低碳的出行方式支持節(jié)能減排．原來天天開車上班的王先生積極響應(yīng)政府號召，準(zhǔn)備每天在騎自行車和開車兩種出行方式中隨機(jī)選擇一種方式出行．從即日起出行方式選擇規(guī)則如下：第一天選擇騎自行車方式上班，隨后每天用“一次性拋擲4枚均勻硬幣”的方法確定出行方式，若得到的正面朝上的枚數(shù)小于3，則該天出行方式與前一天相同，否則選擇另一種出行方式．
(1)設(shè)表示事件“在第天，王先生上班選擇的是騎自行車出行方式”的概率．
①求；
②用表示；
(2)依據(jù)值，闡述說明王先生的這種隨機(jī)選擇出行方式是否積極響應(yīng)市政府的號召．
【解析】（1）設(shè)硬幣正面向上的枚數(shù)為，則，
，
；
①
；
②設(shè)表示第天選擇騎自行車出行，表示第天選擇騎自行車出行，
則
，
綜上，．
（2）由（1）可知：，又
是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
，即，
，
王先生每天騎自行車的概率大于開車的概率，王先生的這種隨機(jī)選擇出行方式積極響應(yīng)了市政府的號召．
37．（2024·全國·模擬預(yù)測）網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)激烈且耗時(shí)的運(yùn)動(dòng)，對于力量的消耗是很大的，這就需要網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員提高自己的耐力．耐力訓(xùn)練分為無氧和有氧兩種訓(xùn)練方式．某網(wǎng)球俱樂部的運(yùn)動(dòng)員在某賽事前展開了一輪為期90天的封閉集訓(xùn)，在封閉集訓(xùn)期間每名運(yùn)動(dòng)員每天選擇一種方式進(jìn)行耐力訓(xùn)練．由訓(xùn)練計(jì)劃知，在封閉集訓(xùn)期間，若運(yùn)動(dòng)員第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練，則第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為；若運(yùn)動(dòng)員第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練，則第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為．若運(yùn)動(dòng)員封閉集訓(xùn)的第1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練與無氧訓(xùn)練的概率相等．
(1)封閉集訓(xùn)期間，記3名運(yùn)動(dòng)員中第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)封閉集訓(xùn)期間，記某運(yùn)動(dòng)員第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，求．
【解析】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)員第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練為事件M，第2天進(jìn)行無氧訓(xùn)練為事件N，
則，，
所以3名運(yùn)動(dòng)員第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)，可知，
則，，
，，
所以的分布列為
所以．
（2）依題意可得，即（，且）．
則（，且），且，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
則，即，
所以．
12 條件概率、全概率公式、貝葉斯公式
38．（2024·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）2023年第31屆大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會在成都舉行，中國運(yùn)動(dòng)員在賽場上挑戰(zhàn)自我，突破極限，以拼搏的姿態(tài)，展競技之美，攀體育高峰．最終，中國代表團(tuán)以103枚金牌?40枚銀牌?35枚銅牌，總計(jì)178放獎(jiǎng)牌的成績，位列金牌榜和獎(jiǎng)牌榜雙第一，引發(fā)了大學(xué)生積極進(jìn)行體育鍛煉的熱情．已知甲?乙兩名大學(xué)生每天上午?下午都進(jìn)行體育鍛煉，近50天選擇體育鍛煉項(xiàng)目情況統(tǒng)計(jì)如下：
假設(shè)甲?乙上午?下午選擇鍛煉的項(xiàng)目相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．
(1)已知甲上午選擇足球的條件下，下午仍選擇足球的概率為，請將表格內(nèi)容補(bǔ)充完整；（寫出計(jì)算過程）
(2)記為甲?乙在一天中選擇體育鍛煉項(xiàng)目的個(gè)數(shù)差，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)已知在這50天中上午室外溫度在20度以下的概率為，并且當(dāng)上午的室外溫度低于20度時(shí)，甲去打羽毛球的概率為，若已知某天上午甲去打羽毛球，求這一天上午室外溫度在20度以下的概率．
【解析】（1）設(shè)事件C為“甲上午選擇足球”，事件為“甲下午選擇足球”，
設(shè)甲一天中假煉情況為（足球，羽毛球）的天數(shù)為，
則，解得，
所以甲一天中鍛煉情況為（羽毛球，足球）的天數(shù)為．
（2）由題意知，甲上午?下午選擇同一種球的概率為，選擇兩種球的概率為；
乙上午?下午選擇同一種球的概率為，選擇兩種球的概率為．
記為甲?乙在一天中選擇體育鍛煉項(xiàng)目的個(gè)數(shù)差，則的所有可能取值為，
．
，
，
所以的分布列為
所以．
（3）記事件為“上午室外溫度在20度以下”，事件為“甲上午打羽毛球”，
由題意知，
.
故若某天上午甲去打羽毛球，則這一天上午室外溫度在20度以下的概率為．
39．（2024·全國·高三專題練習(xí)）ChatGPT是由人工智能研究實(shí)驗(yàn)室OpenAI于2022年11月30日發(fā)布的一款全新聊天機(jī)器人模型，它能夠通過學(xué)習(xí)和理解人類的語言來進(jìn)行對話，ChatGPT的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù).在測試ChatGPT時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則ChatGPT的回答被采納的概率為85%，當(dāng)出現(xiàn)語法錯(cuò)誤時(shí)，ChatGPT的回答被采納的概率為50%.
(1)在某次測試中輸入了8個(gè)問題，ChatGPT的回答有5個(gè)被采納.現(xiàn)從這8個(gè)問題中抽取3個(gè)，以表示抽取的問題中回答被采納的問題個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)已知輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為10%，
（i）求ChatGPT的回答被采納的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采納，求該問題的輸入沒有語法錯(cuò)誤的概率.
【解析】（1）易知的所有可能取值為
此時(shí)，，，
所以的分布列為：
則.
（2）（i）記“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”為事件A，
記“輸入的問題有語法錯(cuò)誤”為事件B，
記“ChatGPT的回答被采納”為事件C，
則，，，.
.
（ii）若ChatGPT的回答被采納，則該問題的輸入沒有語法錯(cuò)誤的概率為
.
40．（2024·全國·模擬預(yù)測）盒子中裝有紅球、白球等多種不同顏色的小球，現(xiàn)從盒子中一次摸一個(gè)球．不放回．
(1)若盒子中有8個(gè)球，其中有3個(gè)紅球，從中任意摸兩次．記摸出的紅球個(gè)數(shù)為．求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
(2)若盒中有4個(gè)紅球和4個(gè)白球，盒中在2個(gè)紅球和2個(gè)白球．現(xiàn)甲、乙、丙三人依次從號盒中摸出一個(gè)球并放入號盒，然后丁從號盒中任取一球．已知丁取到紅球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率．
【解析】（1）可取0，1，2.且：，，.
所以的分布列為：
則：.
（2）設(shè)事件“丁取到紅球”，事件“甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.
當(dāng)甲、乙、丙三人取得1個(gè)白球，則丁取到紅球的概率為；
當(dāng)甲、乙、丙三人取得2個(gè)白球，則丁取到紅球的概率為；
當(dāng)甲、乙、丙三人取得3個(gè)白球，則丁取到紅球的概率為；
當(dāng)甲、乙、丙三人取得3個(gè)紅球，則丁取到紅球的概率為；
則所求概率為：.
13 高等背景下的概統(tǒng)問題
41．（2024·江蘇南京·高三期末）設(shè)（X，Y）是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，其所有可能取值為（ai，bj），其中i，j∈N*.記pij=P（X=ai，Y=bj）是隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布列.與一維的情形相似，二維分布列可以如下形式表示：
現(xiàn)將3張卡片等可能地放入A，B兩盒，記A盒中的卡片數(shù)為X，B盒中的卡片數(shù)為Y，求（X，Y）的聯(lián)合分布列.
【解析】由題意，的所有可能取值為，
且，
所以的聯(lián)合分布列為：
42．（2024·江蘇常州·?？家荒＃┰O(shè)是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取的值為，其中，令，稱是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列，與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式；
現(xiàn)有個(gè)球等可能的放入編號為的三個(gè)盒子中，記落入第1號盒子中的球的個(gè)數(shù)為，落入第2號盒子中的球的個(gè)數(shù)為．
(1)當(dāng)時(shí)，求的聯(lián)合分布列，并寫成分布表的形式；
(2)設(shè)且，求的值．
（參考公式：若，則）
【解析】（1）若，的取值為0，1，2，的取值為0，1，2，
則，
，
，，
，，
，
故的聯(lián)合分布列為
（2）當(dāng)時(shí)，，
故
所以，由二項(xiàng)分布的期望公式可得．
43．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）公元1651年，法國一位著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家德梅赫（Demere）向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡（B．Pascal）提出了一個(gè)問題，帕斯卡和費(fèi)馬（Fermat）討論了這個(gè)問題，后來惠更斯（C．Huygens）也加入了討論，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答．該問題如下：設(shè)兩名運(yùn)動(dòng)員約定誰先贏(，)局，誰便贏得全部獎(jiǎng)金元．每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨(dú)立．在甲贏了局，乙贏了局時(shí)，比賽意外終止．獎(jiǎng)金該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金．
(1)規(guī)定如果出現(xiàn)無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金．若，，，，求．
(2)記事件為“比賽繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)，，時(shí)比賽繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件是否為小概率事件，并說明理由．規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.06，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件．
【解析】（1）設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局甲贏得全部獎(jiǎng)金，則，2．第一場比賽
第二場比賽
第三場比賽
甲學(xué)校獲勝概率
0.5
0.4
0.8
乙學(xué)校獲勝概率
0.5
0.6
0.2
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
項(xiàng)目
選手1
選手2
選手3
選手4
專業(yè)能力/分
85
80
82
84
創(chuàng)新意識/分
80
80
85
82
寫作水平/分
86
85
86
88
0
1
2
3
0
1
2
3
X
0
1
2
3
X
1
2
3
4
P
Y
0
1
2
3
4
P
0
1
2
甲校
乙校
使用AI作業(yè)
不使用AI作業(yè)
使用AI作業(yè)
不使用AI作業(yè)
基本掌握
32
28
50
30
沒有掌握
8
14
12
26
0
1
2
P
跑步軟件一
跑步軟件二
跑步軟件三
跑步軟件四
中學(xué)生
80
60
40
20
大學(xué)生
30
20
20
10

0
30
40
60
70
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
28.7
27.2
31.5
35.8
24.3
33.5
36.3
26.7
28.9
27.4
25.2
34.5
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.5000
0.5040
0.5080
0.5120
0.5160
0.5199
0.5239
0.5279
0.5319
0.5359
0.1
0.5398
0.5438
0.5478
0.5517
0.5557
0.5596
0.5636
0.5675
0.5714
0.5753
0.2
0.5793
0.5832
0.5871
0.5910
0.5948
0.5987
0.6026
0.6064
0.6103
0.6141
0.3
0.6179
0.6217
0.6255
0.6293
0.6331
0.6368
0.6404
0.6443
0.6480
0.6517
0.4
0.6554
0.6591
0.6628
0.6664
0.6700
0.6736
0.6772
0.6808，
0.6844
0.6879
0.5
0.6915
0.6950
0.6985
0.7019
0.7054
0.7088
0.7123
0.7157'
0.7190
0.7224
年度
2016—2017
2017—2018
2018—2019
2019—2020
2020—2021
2021—2022
年度代號t
1
2
3
4
5
6
旅游人次y
1.7
1.97
2.24
0.94
2.54
3.15
1 750
0.37
0.55
x(天)
1
2
3
4
5
6
7
y(秒/題)
910
800
600
440
300
240
210
X
3
4
5
P
旅游線路
奇山秀水游
古村落游
慢生活游
親子游
采摘游
舌尖之旅
套票型號
A
B
C
D
E
F
價(jià)格x/元
39
49
58
67
77
86
X
1
2
3
P
項(xiàng)目
速度快
速度慢
合計(jì)
準(zhǔn)確率高
10
22
32
準(zhǔn)確率低
11
17
28
合計(jì)
21
39
60
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
保護(hù)動(dòng)物意識強(qiáng)
保護(hù)動(dòng)物意識弱
合計(jì)
男性
女性
合計(jì)
不滿意
滿意
總計(jì)
50周歲及以下
55
50周歲以上
15
總計(jì)
100
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
不滿意
滿意
總計(jì)
50周歲及以下
5
55
60
50周歲以上
15
25
40
總計(jì)
20
80
100
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
4
0
20
100
0.2
0.32
0.48
1
2
0
1
2
P
0
1
2
3
體育鍛煉目的情況
（上午，下午）
（足球，足球）
（足球，羽毛球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，羽毛球）
甲
20天
10天
乙
10天
10天
5天
25天
體育鍛煉項(xiàng)目的情況（上午，下午）
（足球，足球）
（足球，羽毛球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，羽毛球）
甲
20天
15天
5天
10天
10天
10天
5天
25天
0
1
2
3
P
0
1
2
（X，Y）
b1
b2
…
a1
p11
p12
…
a2
p21
p22
…
…
…
…
…
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