2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第29講平面向量的數(shù)量積（教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．8B．7C．D．
【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的數(shù)量積公式求解即可．
【解答】解：，，則．
故選：．
2．已知向量，，若，則
A．B．C．D．
【分析】利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則先求出，再由，利用向量垂直的性質(zhì)能求出．
【解答】解：向量，，
，
，
，
解得．
故選：．
3．已知向量，，且，則
A．5B．C．D．4
【分析】根據(jù)即可求出，從而可得出的坐標(biāo)，從而可得出的值．
【解答】解：，
，解得，
，
．
故選：．
3．已知單位向量，滿足，則
A．B．1C．D．0
【分析】對(duì)條件式兩邊平方計(jì)算，再計(jì)算．
【解答】解：是單位向量，，
，，故，
．
故選：．
4．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)列方程得出，再代入向量的夾角公式即可得出答案．
【解答】解：，，
即，
，
，
．
故選：．
5．已知單位向量與的夾角為，則向量在向量方向上的投影為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：因?yàn)閱挝幌蛄颗c的夾角為，所以向量在向量方向上的投影為；
故選：．
6．已知向量，，，若，，則
A．14B．C．10D．6
【分析】通過(guò)向量的共線與垂直，求出，，然后求解向量的數(shù)量積即可．
【解答】解：向量，，，
，可得，解得，，
，可得，解得，
，
則．
故選：．
7．設(shè)圓的半徑為1，，，是圓上不重合的點(diǎn)，則的最小值是
A．B．C．D．
【分析】用表示出，作，垂足為，設(shè)，，用，表示出即可得出最值．
【解答】解：，
由題意可知，，均為單位向量，故，
連接，作，垂足為，設(shè)，，則，
，，，
，
，
當(dāng)，時(shí)，取得最小值．
故選：．
8．已知，，，若，則最大值為
A．B．C．D．
【分析】由平面向量數(shù)量積的定義可知，設(shè)，，則，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和，可得，若令，，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，于是當(dāng)、與三點(diǎn)共線位于和的中間），且點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，為，從而得解．
【解答】解：，，，即．
設(shè)，，則，
，，，，化簡(jiǎn)整理得，，
令，，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓．
，
當(dāng)、與三點(diǎn)共線位于和的中間），且點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，
最大，為．
故選：．
9．已知向量，滿足，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，設(shè)的夾角為，則的值為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)條件，對(duì)兩邊平方，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出，從而得出△，進(jìn)而得出，，從而可求出的值．
【解答】解：，的夾角為，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，
，
，整理得，，
△，
，，且，
，
．
故選：．
10．（多選）已知向量，設(shè)的夾角為，則
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意，求出、的坐標(biāo)，據(jù)此分析選項(xiàng)，綜合即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，，，則，，
依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于，，，則不成立，錯(cuò)誤；
對(duì)于，，，則，即，正確；
對(duì)于，，，不成立，錯(cuò)誤；
對(duì)于，，，則，，，則，則，正確；
故選：．
11．（多選）在平行四邊形中，，，，若為線段的中點(diǎn)，則
A．B．C．D．
【分析】畫出圖形，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)向量的數(shù)量積求解即可．
【解答】解：在平行四邊形中，，，，
若為線段中點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，則，，
可得，，，，
則；
．
故選：．
12．已知，，且，則與夾角為．
【分析】根據(jù)向量夾角的余弦公式即可得出，然后根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角．
【解答】解：，
，且，
與的夾角為．
故答案為：．
13．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為．
【分析】可以得出，然后根據(jù)即可得出，從而解出即可．
【解答】解：，
，
，解得．
故答案為：．
14．已知所在平面內(nèi)的兩點(diǎn)，滿足：，，是邊上的點(diǎn)，若，，，，則．
【分析】由題意可判斷是的外心，是的垂心，結(jié)合，及可判斷為的中點(diǎn)，從而可計(jì)算．
【解答】解：，，即，，
同理可得：，，
是的垂心，
，
，是的外心，
，，
下面證明：，
延長(zhǎng)交圓于，則，
又，，同理可得：，
四邊形是平行四邊形，，
，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，
，又，，
與重合，故，
．
故答案為：
15．已知，，，，則．
【分析】?jī)蛇吰椒郊纯汕蟪龅闹担?br>【解答】解：，，
，，
，，
，即，
．
故答案為：．
16．已知，，．
（1）求；
（2）求與的夾角．
【分析】（1）根據(jù)即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出；
（2）可設(shè)與的夾角為，然后可求出的值，根據(jù)求出的值，從而可得出的值，進(jìn)而得出的值．
【解答】解：（1），，
，
；
（2）設(shè)與的夾角為，
由（1）與得，，，
，且，，
．
17．已知單位向量，的夾角為，向量，向量．
（1）若，求的值；
（2）若，求．
【分析】（1）由題意利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，求出的值．
（2）由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，求出的值，可得，從而求出．
【解答】解：（1）單位向量，的夾角為，與不共線．
向量，向量，
若，則，．
（2）若，．
，
求得，，．
18．設(shè)平面向量，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若且，求實(shí)數(shù)的值．
【分析】（Ⅰ）由題意利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，求得的坐標(biāo)，可得它的模．
（Ⅱ）由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，求得的值．
【解答】解：（Ⅰ）向量，，
0，，．
（Ⅱ）若且，
，，
實(shí)數(shù)．
19．如圖，在中，已知，，，為線段中點(diǎn)，為線段中點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）求，夾角的余弦值．
【分析】（1）建立坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量，利用向量的數(shù)量積求解即可．
（2）求出，的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積求解兩個(gè)向量的夾角．
【解答】解：（1）依題意可知為直角三角形，，如圖建立坐標(biāo)系：
則，，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，
，
．
（2）由為線段中點(diǎn)可知，，，
．
20．如圖，在中，為邊上的一點(diǎn)，且與的夾角為．
（1）設(shè)，求，的值；
（2）求的值．
【分析】（1）用表示出即可得出，的值；
（2）表示出，，再計(jì)算的值．
【解答】解：（1），，
，
，．
（2），，，
．
[B組]—強(qiáng)基必備
1．在中，點(diǎn)，在線段上，，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，則一定有
A．B．C．D．
【分析】由題意畫出圖形，設(shè)，由，得，代入，再令，結(jié)合已知轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，再由判別式恒小于等于0求得的值，然后利用數(shù)量積的幾何意義可得，則答案可求．
【解答】解：如圖，
設(shè)，由，得，
又，
，
即有，
，
令，
則，
即恒成立．
可得．
化為，則．
，即在上的投影為的中點(diǎn)．
．
故選：．
2．已知平面單位向量的夾角為，向量滿足，若對(duì)任意的，記的最小值為，則的最大值為
A．B．C．D．
【分析】由題意設(shè)，，，，化為，它表示圓；由表示該圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，即到直線的距離；得出距離的最小值，求得的最大值為．
【解答】解：平面單位向量的夾角為，
設(shè)，，，，
由得，
化簡(jiǎn)得，它表示以點(diǎn)，為圓心，以為半徑的圓；
又表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，即到直線的距離；
距離的最小值為，由圓心，到直線的距離為，
則的最大值為．
故選：．
3．已知平面向量，，，滿足，，，若平面向量，且，則的最小值是．
【分析】由，可知，于是可分別以和為橫、縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，此外，不妨設(shè)，則，，，于是有，而，且，，所以點(diǎn)的軌跡是以4為焦距的雙曲線的右支．再設(shè)的夾角為，可推知，的夾角為，將其代入，可得，最后結(jié)合雙曲線的定義、平面向量的減法運(yùn)算、勾股定理和均值不等式等可求得的最小值．
【解答】解：，，即，
不妨令，由于，所以，，
如圖所示，分別以和為橫、縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，
，
，且，，
點(diǎn)的軌跡是以4為焦距的雙曲線的右支．
，，
如圖，設(shè)的夾角為，則，，
，，
即，的夾角為，
，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得等號(hào)．
故答案為：．
4．在平面四邊形中，，，，若，則的最小值為．
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)．可以推出點(diǎn)在圓上，然后將的最小值的問(wèn)題，根據(jù)三角形相似轉(zhuǎn)化為的問(wèn)題，借助三角形的兩邊之和大于第三邊即可得到的最小值．
【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)．
則，，，，
，．
，
所以，
即，即點(diǎn)在以為圓心，以2為半徑的圓上，
取，則，所以，
所以，即，
所以取得最小值即取得最小值，
根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，，
故填：．

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