2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第33講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．7B．8C．9D．10
【分析】由題意利用等差中項(xiàng)的定義，求得結(jié)果．
【解答】解：5與11的等差中項(xiàng)為，
故選：．
2．在等差數(shù)列中，，，則
A．8B．10C．14D．16
【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列方程，求出，由此能求出．
【解答】解：在等差數(shù)列中，，，
，
解得，
．
故選：．
3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則
A．3B．4C．5D．6
【分析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式分析可得，計(jì)算可得答案．
【解答】解：，
；
故選：．
4．在等差數(shù)列中，若，則數(shù)列的前7項(xiàng)和
A．15B．20C．35D．45
【分析】先利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式表示出，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)后把前7項(xiàng)之和用第四項(xiàng)來表示，將的值代入即可求出值．
【解答】解：因?yàn)椋?br>所以．
故選：．
5．已知等差數(shù)列中，前項(xiàng)為偶數(shù)）和為126，其中偶數(shù)項(xiàng)之和為69，且，則數(shù)列公差為
A．B．4C．6D．
【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：由題意可得，，，
，
，
解可得，．
故選：．
6．已知等差數(shù)列，公差，為其前項(xiàng)和，，則
A．B．C．D．
【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)出，再由，能求出結(jié)果．
【解答】解：等差數(shù)列，公差，，
，
解得，
．
故選：．
7．已知等差數(shù)列滿足，，．其前項(xiàng)和為，則使成立時(shí)最大值為
A．2020B．2019C．4040D．4038
【分析】差數(shù)列的首項(xiàng)，，，可得，．再利用求和公式及其性質(zhì)即可得出．
【解答】解：等差數(shù)列的首項(xiàng)，，，
，．
于是，
．
使成立的最大正整數(shù)是4038．
故選：．
8．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則
A．2020B．2019C．0D．
【分析】推導(dǎo)出，解得，由此能求出．
【解答】解：是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，
，，
設(shè)數(shù)列的公差為，
，
解得，
．
故選：．
9．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立夏的日影子長為
A．15.5尺B．12.5尺C．9.5尺D．6.5尺
【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，能求出立夏的日影子長．
【解答】解：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，
冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，
解得，．
，
立夏的日影子長為15.5尺．
故選：．
10．（多選）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列結(jié)論一定正確的是
A．B．當(dāng)或10時(shí)，取最大值
C．D．
【分析】由題意利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)，得出結(jié)論．
【解答】解：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，
求得．
故，故正確；
該數(shù)列的前項(xiàng)和，它的最值，還跟有關(guān)，
不能推出當(dāng)或10時(shí)，取最大值，故錯(cuò)誤．
，，故有，故錯(cuò)誤；
由于，，故，故正確，
故選：．
11．（多選）公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，，下列說法正確的有
A．B．C．中最大D．
【分析】推導(dǎo)出，，，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，，
，解得，
，解得，故錯(cuò)誤；
，故正確；
，，中最大，故錯(cuò)誤；
，，，
，，故正確．
故選：．
12．在等差數(shù)列中，，，則．
【分析】由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求得公差的值，可得結(jié)論．
【解答】解：等差數(shù)列中，，，故，
則，
故答案為：7．
13．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則．
【分析】由為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列出方程組，求出，，由此能求出．
【解答】解：為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，
，解得，，
．
故答案為：14．
14．等差數(shù)列中，，，則．
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，進(jìn)而求出結(jié)論．
【解答】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，，
故；
；
．
故答案為：135．
15．在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)的和為，若，則的值為．
【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式即可求解．
【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，
，，
，
，
，
則
故答案為：2020
16．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則．
【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式即可直接求解．
【解答】解：是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，
是等差數(shù)列，設(shè)公差為，
因?yàn)椋?br>所以即，
因?yàn)?，?br>則．
故答案為：2016
17．等差數(shù)列中，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，記為數(shù)列前項(xiàng)的和，若，求．
【分析】（1）由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解，，然后結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；
（2）由（1）結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求解．
【解答】解：（1）等差數(shù)列中，，．
，即，
，
（2）由題意可得，，
，
所以，
故
18．已知等差數(shù)列滿足，．
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列滿足，，問：與數(shù)列的第幾項(xiàng)相等？
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，．可得，，聯(lián)立解得：，．即可得出．
（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，聯(lián)立解得：，．即可得出．
【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，．
，，
聯(lián)立解得：，．
．
（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
，聯(lián)立解得：，．
．
，解得．．
與數(shù)列的第31項(xiàng)相等．
19．已知是公差為的無窮等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為．又___，且，是否存在大于1的正整數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．
【分析】分別選擇①②，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及已知條件進(jìn)行求解即可判斷．
【解答】解：若選①，，
因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，
所以，
故，，，
由可得可得或（舍，
故不存在使得；
若選②，，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，
由，可得，，
因?yàn)椋?br>所以，解可得或，
因?yàn)椋?br>存在在使得；
20．已知，，都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿足，，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和，是公差為的等差數(shù)列．
（1）若數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（3）若為常數(shù)，，．對(duì)任意，，求出數(shù)列的最大項(xiàng)（用含式子表達(dá)）．
【分析】（1）根據(jù)題意得，所以，當(dāng)時(shí)，，兩式做差，可得；當(dāng)時(shí)，滿足上式，則．
（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即，即，又，代入得，又，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，得數(shù)列是從第二項(xiàng)起公差為得等差數(shù)列．當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，由，得，故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．
（3）由（2），當(dāng)時(shí)，得，因?yàn)?，所以，進(jìn)而得，即，即，故從第二項(xiàng)起數(shù)列是等比數(shù)列，得當(dāng)時(shí)，，，由已知條件可得，又，，，所以，因而，令，則，得對(duì)任意的時(shí)，，恒成立，得時(shí)，，單調(diào)遞減，進(jìn)而得中最大項(xiàng)．
【解答】解：（1）因?yàn)?，?br>所以，
由，
得，
當(dāng)時(shí)，，
兩式做差，可得
，
當(dāng)時(shí)，滿足上式，則．
（2）證明：因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：，
即，
，
即，又，
所以，
又，
所以當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：，
所以數(shù)列是從第二項(xiàng)起公差為得等差數(shù)列．
又當(dāng)時(shí)，由，得
當(dāng)時(shí)，由，得，
故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．
（3）解：由（2），當(dāng)時(shí)，
，即，
因?yàn)椋?br>所以，
即，
所以，即，即，
故從第二項(xiàng)起數(shù)列是等比數(shù)列，
所以當(dāng)時(shí)，，
，
另外，由已知條件可得，
又，，，
所以，
因而，
令，
則，
故對(duì)任意的時(shí)，，恒成立，
所以時(shí)，，單調(diào)遞減，中最大項(xiàng)為．
[B組]—強(qiáng)基必備
1．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，，數(shù)列滿足，設(shè)為的前項(xiàng)和，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值等于．
【分析】由，可得，，．又，，時(shí)，．可得，，又由，，，．比較與大小關(guān)系即可得出．
【解答】解：，，，．
又，，時(shí)，．
，，
，，，．
時(shí)，．
．
，
．
故，所以中最大．
故答案為：15，
2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，把滿足條件的所有數(shù)列構(gòu)成的集合記為．
（1）若數(shù)列的通項(xiàng)為，則是否屬于？
（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求的取值范圍；
（3）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，數(shù)列中是否存在無窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列，若存在，給出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)：若不存在，說明理由．
【分析】（1）直接利用數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用求出結(jié)果．
（2）利用等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用求出首項(xiàng)的取值范圍．
（3）利用假設(shè)法的應(yīng)用，建立不等量關(guān)系，進(jìn)一步求出結(jié)果．
【解答】解：（1）因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，即．
（2）設(shè)的公差為，因?yàn)椋?br>所以
特別的當(dāng)時(shí)，，即，
由得，
整理得，
因?yàn)樯鲜霾坏仁綄?duì)一切恒成立，所以必有，解得，
又，所以，
于是，即，所以，
即，
（3）由得，所以，即，
所以，從而有，
又，所以，即，
又，，所以有，
所以，假設(shè)數(shù)列中存在無窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列，
不妨設(shè)該等差數(shù)列的第項(xiàng)為為常數(shù)），
則存在，，使得，即，
設(shè)，，，則，
即（3），
于是當(dāng)時(shí)，，從而有：當(dāng)時(shí)，即，
于是當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式有無窮多個(gè)解，顯然不成立，

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