高中數(shù)學(xué)高考第36講數(shù)列求和（達(dá)標(biāo)檢測(cè)）（教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．B．C．D．
【分析】本題根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可先求出連續(xù)奇偶項(xiàng)的和，然后運(yùn)用分組求和法可計(jì)算出的值，得到正確選項(xiàng)．
【解答】解：由題意，令，則
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，
，
．
故選：．
2．（2020春?福州期末）已知數(shù)列滿足，則
A．B．C．D．
【分析】本題先根據(jù)公式法計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后計(jì)算出的表達(dá)式并根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)進(jìn)行裂項(xiàng)，最后計(jì)算時(shí)相消即可得到結(jié)果．
【解答】解：由題意，可知
，
則，
．
故選：．
3．（2020春?龍鳳區(qū)校級(jí)期末）已知數(shù)列滿足：，則數(shù)列的前項(xiàng)和為
A．B．C．D．
【分析】在中取為，得到，兩式相減求得，再用裂項(xiàng)累加即可．
【解答】解：在中，取，易得
數(shù)列滿足：①，
②，
②①可得，，也滿足）．
，
則數(shù)列的前項(xiàng)和．
故選：．
4．（2020春?宣城期末）已知數(shù)列滿足：，．正項(xiàng)數(shù)列滿足：對(duì)于每個(gè)，，且，，成等比數(shù)列，則的前項(xiàng)和為
A．B．C．D．
【分析】運(yùn)用數(shù)列的累乘法求得，再由等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)可得，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和．
【解答】解：，
可得，
由，可得
，
可得，
由，，成等比數(shù)列，
可得，
可得，
則，
所以
．
故選：．
5．（2020春?成都期末）數(shù)列是首項(xiàng)和公差都為1的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若是數(shù)列的前項(xiàng)和，則
A．1B．C．D．
【分析】由題意，，，即可得，累加即可．
【解答】解：由題意，，故，
于是，
，
故選：．
6．（2019秋?吉安期末）已知等差數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則
A．32B．28C．128D．0
【分析】設(shè)公差為，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，再討論數(shù)列的項(xiàng)的符號(hào)，由等差數(shù)列的求和公式可得所求和．
【解答】解：設(shè)公差為，由，，
可得，，解得，，
故，
易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，，
則．
故選：．
7．（2020春?溫州期末）等差數(shù)列中，，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則
A．B．C．D．
【分析】等差數(shù)列的公差設(shè)為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，由等差數(shù)列的求和公式可得，，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和．
【解答】解：等差數(shù)列的公差設(shè)為，
由，，可得，，
解得，
可得，
則，
可得則．
故選：．
8．（2020?吳忠模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且數(shù)列的前6項(xiàng)和等于321，則的值等于
A．B．C．1D．2
【分析】先由題設(shè)條件得到：，再由求得，進(jìn)而求得，再由其前6項(xiàng)和等于321求得的值．
【解答】解：依題意得：當(dāng)時(shí)，有，解得：；
當(dāng)時(shí)，由，
兩式相減可得：，
即：，
故，，
故數(shù)列的前6項(xiàng)和為．
令①，則②，
由①②可得：，
則，
，
解得：．
故選：．
9．（2020春?河南期末）公元1202年意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，．此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用．若記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則
A．0B．1C．2019D．2020
【分析】直接利用關(guān)系式的變換求出數(shù)列為等比數(shù)列．進(jìn)一步利用分組法求出數(shù)列的和．
【解答】解：由題意知，
由于，
所以，
所以．
故選：．
10．（多選）（2019秋?菏澤期末）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，．，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)，求出其遞推關(guān)系式；再對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)檢驗(yàn)即可
【解答】解：．由，，，可得成立；
．由，，，可得，；
成立；
．由，，，，，可得：．
故是斐波那契數(shù)列中的第2020項(xiàng)．即答案成立；
．斐波那契數(shù)列總有，
則，，，，
，
；
；即答案成立
故選：．
11．（多選）（2020春?如皋市期末）已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，．，數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列結(jié)論正確的是
A．B．
C．當(dāng)時(shí)，取最小值D．當(dāng)時(shí)，取最小值
【分析】由已知求出數(shù)列的首項(xiàng)與公差，得到通項(xiàng)公式判斷與；再求出，由的項(xiàng)分析的最小值．
【解答】解：在遞增的等差數(shù)列中，
由，得，
又，聯(lián)立解得，，
則，．
．
故正確，錯(cuò)誤；
可得數(shù)列的前4項(xiàng)為負(fù)，第5項(xiàng)為正，第六項(xiàng)為負(fù)，第六項(xiàng)以后均為正．
而．
當(dāng)時(shí)，取最小值，故正確，錯(cuò)誤．
故選：．
12．（2020春?慈溪市期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則．
【分析】由已知數(shù)列遞推式，可得，再由累積法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法求和．
【解答】解：由，①
得當(dāng)時(shí)，，②
①②得：，
即，則：
，
，
，
，
．
累乘可得：，
又，，
則
．
故答案為：．
13．（2020?鹽城四模）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則的值為．
【分析】先對(duì)分當(dāng)，與，兩類研究，進(jìn)而得到與，然后分別求出與即可求得的值．
【解答】解：，
當(dāng)，時(shí)，有；
當(dāng)，時(shí)，有，
又，
．又，
．
故答案為：299．
14．（2020?南崗區(qū)校級(jí)四模）已知數(shù)列滿足，為的前項(xiàng)和，記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．
【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式可得，求得，考慮每隔四項(xiàng)的和，結(jié)合特殊角的余弦函數(shù)值，計(jì)算可得所求和．
【解答】解：，可得，
則，
則
．
故答案為：．
15．（2020春?安徽期末）數(shù)列中，，，，則的前項(xiàng)和．
【分析】（1）直接利用等比數(shù)列的定義求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．
【解答】解：數(shù)列中，，，，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列．
所以，
所以．
則：，
所以，
所以．
故答案為：
16．（2020?和平區(qū)校級(jí)二模）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，．設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則．
【分析】由數(shù)列的遞推式：時(shí)，；時(shí)，，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，化簡(jiǎn)整理可得所求和．
【解答】解：數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，．
可得時(shí)，，解得，
時(shí)，，又，
相減可得，
化為，
由，可得，
則，
，
可得
．
故答案為：．
17．（2020春?讓胡路區(qū)校級(jí)期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求的前項(xiàng)和為．
【分析】（1）直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）利用裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．
【解答】解：（1）設(shè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，
所以，解得，
所以．、
（2）由于，
所以，
所以．
18．（2020春?赤峰期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，為等比數(shù)列，且，．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【分析】（1）由數(shù)列的遞推式可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，計(jì)算出，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得；
（2）求得，再由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)可得．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，滿足上式，則；
因?yàn)?，，則，
因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，
所以；
（2），
由，
所以，①
，②
①②可得，
所以．
19．（2020春?威寧縣期末）已知在等差數(shù)列中，，．
（Ⅰ）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【分析】（Ⅰ）直接利用等差數(shù)列的定義求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出數(shù)列是等比數(shù)列．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，進(jìn)一步利用分組法求出數(shù)列的和．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)公差為的等差數(shù)列中，，．
整理得，解得，
所以．
由于，所以，，
整理得（常數(shù)），
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由于數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以．
所以，
故：．
20．（2020春?韶關(guān)期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【分析】（1）直接利用等差數(shù)列的定義和性質(zhì)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和．
【解答】解：（1）設(shè)公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，且，．
所以，解得，
整理得
（2）由（1）得：
數(shù)列滿足，
則．
21．（2020春?湖北期末）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和是，且____（①，，成等比數(shù)列，②，③，任選一個(gè)條件填入上空），設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【分析】選①：由已知得，再利用錯(cuò)位相減法求和；
選②：，再利用錯(cuò)位相減法求和；
選③：求得，，再利用錯(cuò)位相減法求和；
【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
選①：由，，成等比數(shù)列得，
化簡(jiǎn)得，，
于是，
，
，
相減得：，
；
選②：，
時(shí)，，符合上式，，
下同①；
選③：，，
，
，
，
相減得，
．
[B組]—強(qiáng)基必備
1．（2020春?諸暨市校級(jí)期中）為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，，，對(duì)任意大于2的正整數(shù)，有恒成立，則使得成立的正整數(shù)的最小值為
A．7B．6C．5D．4
【分析】先由題設(shè)條件求出，得到：，整理得：，從而有數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，求出，再利用累加法求出，然后利用裂項(xiàng)相消法整理可得，解出的最小值．
【解答】解：依題意知：當(dāng)時(shí)有，，，，
，，即，
，即，，
又，，，
數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，
故，，，，，
由上面的式子累加可得：，，
，．
由可得：，
整理得，且，
解得：．所以的最小值為6．
故選：．
2．（2020?江西模擬）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，在和之間插入1個(gè)數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；；在和之間插入個(gè)數(shù)，，，，使，，，，，成等差數(shù)列．這樣得到新數(shù)列，，，，，，，，，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，有下列判斷：
①；②；③；④．
其中正確的判斷序號(hào)是．
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列求和的方法逐一判斷即可．
【解答】解：以題意，有①，故①正確；
②在數(shù)列中是第項(xiàng)，所以，故②錯(cuò)誤；
③，，故③正確；
④，故④正確．
故答案為：①③④．
3．（2020?南通模擬）定義數(shù)列，先給出，接著復(fù)制該項(xiàng)，再添加1的后繼數(shù)2，于是，，接下來(lái)再?gòu)?fù)制前面所有項(xiàng)，之后再添加2的后繼數(shù)3，如此繼續(xù)，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，，設(shè)是的前項(xiàng)和，則．
【分析】由數(shù)列的構(gòu)造方法可知，，，，可得，即，由于數(shù)表的前行共有個(gè)數(shù)，于是，先計(jì)算．在前個(gè)數(shù)中，共有1個(gè)，2個(gè)，個(gè)，，個(gè)，，個(gè)1，因此，，兩式相減，得．，即可得出．
【解答】解：由數(shù)列的構(gòu)造方法可知，，，，
可得，即，
故．
由于數(shù)表的前行共有個(gè)數(shù)，于是，先計(jì)算．
在前個(gè)數(shù)中，共有1個(gè)，2個(gè)，個(gè)，，個(gè)，，個(gè)1，
因此，
則，
兩式相減，得．
．

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