A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)題意，寫出數(shù)列前4項，然后歸納出通項公式．
【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列的前4項為，，，，…
則有a1，
a2，
a3，
a4，
則數(shù)列的通項公式可以為an；
故選：C．
2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2﹣2n+2，則a8＝（ ）
A．13B．15C．17D．19
【分析】利用a8＝S8﹣S7，即可得出．
【解答】解：a8＝S8﹣S7＝82﹣2×8+2﹣（72﹣2×7+2）＝13，
故選：A．
3．現(xiàn)有這么一列數(shù)：1，，，，___，，，…，按照規(guī)律，___中的數(shù)應(yīng)為（ ）
A．B．C．D．
【分析】分別求出分子分母的規(guī)律即可求解結(jié)論．
【解答】解：由題意可得：分子為連續(xù)的奇數(shù)，分母依次為首項為1、公比為2的等比數(shù)列，
即其通項為：；
故括號中的數(shù)應(yīng)該為．
故選：A．
4．已知數(shù)列{an}的前n項和，則a5﹣a1＝（ ）
A．13B．14C．15D．16
【分析】數(shù)列{an}的前n項和，可得a1＝S1＝3，a5＝S5﹣S4，即可得出．
【解答】解：數(shù)列{an}的前n項和，
∴a1＝S1＝3，a5＝S5﹣S4＝（2×52+1）﹣（2×42+1）＝18．
則a5﹣a1＝18﹣3＝15．
故選：C．
5．如圖是謝賓斯基（Sierpinsiki）三角形，在所給的四個三角形圖案中，著色的小三角形個數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項，則{an}的通項公式可以是（ ）
A．a(chǎn)n＝3n﹣1B．a(chǎn)n＝2n﹣1C．a(chǎn)n＝3nD．a(chǎn)n＝2n﹣1
【分析】著色的小三角形個數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項，分別得出，即可得出{an}的通項公式．
【解答】解：著色的小三角形個數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項，分別為：a1＝1，a2＝3，a3＝3×3＝32，a4＝32×3，
因此{(lán)an}的通項公式可以是：an＝3n﹣1．
故選：A．
6．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2?an（n≥2），而a1＝1，通過計算a2，a3，a4，猜想an等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用數(shù)列{an}的前n項和 Sn＝n2an（n≥2），a1＝1，代入即可計算a2，a3，從而可以猜想an．
【解答】解：（1）∵Sn＝n2an，∴an+1＝Sn+1﹣Sn＝（n+1）2an+1﹣n2an
∴an+1an，
∴a2，
a3?，
猜測；an，
故選：B．
7．已知數(shù)列{an}的通項公式為an（n∈N*），其前n項和為Sn，則在數(shù)列S1，S2，…，S2019中，有理數(shù)項的項數(shù)為（ ）
A．42B．43C．44D．45
【分析】本題先要對數(shù)列{an}的通項公式an運(yùn)用分母有理化進(jìn)行化簡，然后求出前n項和為Sn的表達(dá)式，再根據(jù)Sn的表達(dá)式的特點判斷出那些項是有理數(shù)項，找出有理數(shù)項的下標(biāo)的規(guī)律，再求出2019內(nèi)屬于有理數(shù)項的個數(shù)．
【解答】解：由題意，可知：
an
．
∴Sn＝a1+a2+…+an
＝1
＝1．
∴S3，S8，S15…為有理項，
又∵下標(biāo)3，8，15，…的通項公式為bn＝n2﹣1（n≥2），
∴n2﹣1≤2 019，且n≥2，
解得：2≤n≤44，
∴有理項的項數(shù)為44﹣1＝43．
故選：B．
8．?dāng)?shù)列{an}的通項an＝﹣3n2+2020n+1，當(dāng)an取最大值時，n＝（ ）
A．336B．337C．336或337D．338
【分析】根據(jù)數(shù)列{an}的通項公式，結(jié)合二次函數(shù)的知識，分析計算即可得到當(dāng)n取最大值時n的值．
【解答】解：依題意，an＝﹣3n2+2020n+1，表示拋物線f（n）＝3n2+2020n+1當(dāng)n為正整數(shù)時對應(yīng)的函數(shù)值，
又y＝3n2+2020n+1為開口向下的拋物線，
故到對稱軸n距離越近的點，函數(shù)值越大，
故當(dāng)n＝337時，an＝f（n）有最大值，
故選：B．
9．大衍數(shù)列來源于我國古代文獻(xiàn)《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋我國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和．已知該數(shù)列前10項是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則大衍數(shù)列中奇數(shù)項的通項公式為（ ）
A．B．C．D．
【分析】取特殊值代入即可求解結(jié)論．
【解答】解：因為第一項為0，故D錯；
第三項為4，故AC錯；
故選：B．
10．（多選）下列選項中能滿足數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項公式的有（ ）
A．a(chǎn)nB．a(chǎn)n＝sin2
C．a(chǎn)n＝cs2D．a(chǎn)n
【分析】分n為奇數(shù)和偶數(shù)分別驗證即可．
【解答】解：可以驗證，當(dāng)n為奇數(shù)時，ABCD對應(yīng)的項均為1，
當(dāng)n為偶數(shù)時，ABCD對應(yīng)的項均為0，
故選：ABCD．
11．在數(shù)列中，第3項是 ；是它的第 項．
【分析】根據(jù)題意，設(shè)該數(shù)列為{an}，易得an，據(jù)此分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)該數(shù)列為{an}，則數(shù)列的通項公式為an，
則其第三項a3，
若an，解可得n＝7，
故答案為：，7．
12．已知數(shù)列{an}的前項n和為Sn＝n2，則a4＝ ．
【分析】根據(jù)題意，分析可得a4＝S4﹣S3，代入數(shù)據(jù)計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}的前項n和為Sn＝n2，則a4＝S4﹣S3＝42﹣32＝16﹣9＝7；
故答案為：7
13．已知數(shù)列{an}滿足an，則S3＝ ．
【分析】求出數(shù)列的前3項，然后求解即可．
【解答】解：數(shù)列{an}滿足an，
可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，
所以S3＝1+3+6＝10．
故答案為：10．
14．已知數(shù)列{an}的通項公式為．若a1＝1，a2＝3，則a7＝ ．
【分析】由，a1＝1，a2＝3，可得：a+b＝1，a2+b2＝3，由a＝1﹣b代入可得：b2＝b+1，解得b，a．不妨取b，a．即可得出a7．
【解答】解：∵，a1＝1，a2＝3，
∴a+b＝1，a2+b2＝3，
由a＝1﹣b代入可得：b2＝b+1，
解得b，
∴b，a；b，a．
不妨取b，a．
可得：an，
則a7＝a7+b729．
故答案為：29．
15．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝﹣3n2+37n，則數(shù)列{an}中最小正項是 項．
【分析】Sn＝﹣3n2+37n，n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1，n＝1時，a1＝S1．可得an，令an＞0，解得n，可得數(shù)列{an}中最小正項．
【解答】解：Sn＝﹣3n2+37n，
n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣3n2+37n﹣[﹣3（n﹣1）2+37（n﹣1）]＝﹣6n+40，
n＝1時，a1＝S1＝﹣3+37＝34．對于上式成立．
可得an＝﹣6n+40．
令an＝﹣6n+40＞0，解得n6．
∴數(shù)列{an}中最小正項是第6項．
故答案為：6．
16．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，2n+1，則a1+a7＝ ．
【分析】由題意利用數(shù)列的前n項和與第n項的關(guān)系，求得結(jié)果．
【解答】解：數(shù)列{an}的前n項和為Sn，2n+1，故 Sn＝2n2+n﹣1，
∴a1＝S1＝2，a7＝S7﹣S6＝（2×72+7﹣1）﹣（2×62+6﹣1）＝27，
則a1+a7＝2+27＝29，
故答案為：29．
17．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2+2n+1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝ ．
【分析】根據(jù)公式an計算，并檢驗是否可以合并．
【解答】解：n＝1時，a1＝S1＝4；
n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+2n+1﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]＝2n+1，
n＝1時不符合上式，
∴an，
故答案為：．
18． 18世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家提丟斯給出一串?dāng)?shù)列：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易發(fā)現(xiàn)，從第3項開始，每一項是前一項的2倍．將每一項加上4得到一個數(shù)列：4，7，10，16，28，52，100，196，…．再每一項除以10得到：0.4，0.7，1.0，，5.2，10.0，…，這個數(shù)列稱為提丟斯數(shù)列．則提丟斯數(shù)列的通項an＝ ．
【分析】由題意可得：n≥3，10an﹣4，為數(shù)列0，3，6，12，24，48，96，192，…，可得：10an﹣4＝6×2n﹣3＝3×2n﹣2，解得：an．驗證n＝1，2時，即可得出．
【解答】解：由題意可得：n≥3，10an﹣4，為數(shù)列0，3，6，12，24，48，96，192，…，
∴10an﹣4＝6×2n﹣3＝3×2n﹣2，解得：an．
n＝2時，a2＝0.7，也滿足條件．
n＝1時，a1＝0.4．
故答案為：an，n∈N*．
19．已知數(shù)列{an}的通項公式為an．
（1）求這個數(shù)列的第10項；
（2）在區(qū)間（）內(nèi)是否存在數(shù)列中的項？若有，有幾項？若沒有，請明理由．
【分析】（1）根據(jù)題意，由數(shù)列的通項公式可得a10，即可得答案；
（2）根據(jù)題意，解可得n的取值范圍，進(jìn)而分析可得n的值，據(jù)此可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，數(shù)列{an}的通項公式為an，
則a10；
（2）根據(jù)題意，，解可得：n，
又由n為正整數(shù)，則n＝2，
則在區(qū)間（）內(nèi)只存在數(shù)列的一項．
20．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2﹣5n+4
（1）數(shù)列中有多少項是負(fù)數(shù)？
（2）n為何值時，an有最小值？并求出最小值．
【分析】（1）令an＝n2﹣5n+4＜0，解出n的范圍，由此可得負(fù)項的項數(shù)；
（2）對an進(jìn)行配方，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最小值．
【解答】解：（1）由n2﹣5n+4＜0，得1＜n＜4，
故數(shù)列中有兩項為負(fù)數(shù)；
（2）an＝n2﹣5n+4，
因此當(dāng)n＝2或3時，an有最小值，最小值為﹣2．
[B組]—強(qiáng)基必備
1．已知r，s，t為整數(shù)，集合A＝{a|a＝2r+2s+2t，0≤r＜s＜t}中的數(shù)從小到大排列，組成數(shù)列{an}，如a1＝7，a2＝11，a121＝（ ）
A．515B．896C．1027D．1792
【分析】根據(jù)條件，通過限定t的取值，先判斷符合條件的項有多少，將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為排列組合問題；再推斷a121項所在的位置，進(jìn)而求得a121的值．
【解答】解：當(dāng)t＝2時，r只能取0，s只能取1，故符合條件的項有項；
當(dāng)t＝3時，r和s從0，1，2中取兩個，故符合條件的項有項；
同理，當(dāng)t＝4時，符合條件的項有項；
以此類推可知，因為；
∴a121是當(dāng)t＝10時，r，s，t所組成的最小的項，即r＝0，s＝1；
∴；
故選：C．
2．設(shè)0＜α，若x1＝sinα，xn+1＝（sinα）（n＝1，2，3…），則數(shù)列{xn}是（ ）
A．遞增數(shù)列
B．遞減數(shù)列
C．奇數(shù)項遞增，偶數(shù)項遞減的數(shù)列
D．偶數(shù)項遞增，奇數(shù)項遞減的數(shù)列
【分析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的性質(zhì)分析可得0＜sinα＜1，進(jìn)而可得函數(shù)y＝（sinα）x為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，0＜α，則0＜sinα＜1，
指數(shù)函數(shù)y＝（sinα）x為減函數(shù)，
∴（sinα）1＜（sinα）sinα＜（sinα）0＝1，
即，
∴，
即0＜x1＜x3＜x4＜x2＜1，
∴，
即0＜x1＜x3＜x5＜x4＜x2＜1，…，
0＜x1＜x3＜x5＜x7＜…＜x8＜x6＜x4＜x2＜1．
∴數(shù)列{xn}是奇數(shù)項遞增，偶數(shù)項遞減的數(shù)列
故選：C．
3．定義函數(shù)f（x）＝{x{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整數(shù)，如{1.4}＝2，{﹣2.3}＝﹣2，當(dāng)x∈（0，n]（n∈N*）時，函數(shù)f（x）的值域為An，記集合An中元素的個數(shù)為an，則an＝ ．
【分析】當(dāng)x∈（n﹣1，n]時，{x}＝n，所以x{x}所在的區(qū)間為（n（n﹣1），n2]，區(qū)間長度為n，{x{x}取到的整數(shù)為n2﹣n+1，n2﹣n+2，……，n2﹣n+n＝n2，共n個，則由此可求得an．
【解答】解：由題意得：當(dāng)x∈（n﹣1，n]時，{x}＝n，所以x{x}所在的區(qū)間為（n（n﹣1），n2]，區(qū)間長度為n，
{x{x}}取到的整數(shù)為n2﹣n+1，n2﹣n+2，……，n2﹣n+n＝n2，共n個，
所以，當(dāng)x∈（0，1]時，{x{x}}有1個；當(dāng)x∈（1，2]時，{x{x}}有2個；當(dāng)x∈（2，3]時，{x{x}}有3個；……，當(dāng)x∈（n﹣1，n]時，{x{x}}有n個．
所以x∈（0，n]時，{x{x}}共有1+2+3+……+n個數(shù)．
故．
故答案為：．

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