A．三角形確定一個平面
B．四邊形確定一個平面
C．一個點和一條直線確定一個平面
D．兩條直線確定一個平面
【分析】直接利用平面的性質(zhì)的應用求出結(jié)果．
【解答】解：對于選項：三角形的三角不共線，所以不共線的三點確定的平面有且只有一個，故正確．
對于選項：四邊形假設(shè)為空間四邊形，確定的平面可能有四個，故錯誤．
對于選項：只有當點不在直線上時，才能確定一個平面，故錯誤．
對于選項：兩條直線平行或相交時，確定的平面有且只有一個，故錯誤．
故選：．
2．一正四面體木塊如圖所示，點是棱的中點，過點將木塊鋸開，使截面平行于棱和，則下列關(guān)于截面的說法正確的是
A．滿足條件的截面不存在B．截面是一個梯形
C．截面是一個菱形D．截面是一個三角形
【分析】取中點，中點，中點，連結(jié)、、、，推導出截面是菱形．
【解答】解：取中點，中點，中點，
連結(jié)、、、，
點是棱的中點，，，，，
，，，，
過點將木塊鋸開，使截面平行于棱和，
，，，，
，，四邊形是平行四邊形，
，，截面是菱形．
故選：．
3．下列命題是公理的是
A．平行于同一個平面的兩個平面互相平行
B．垂直于同一條直線的兩條直線互相平行
C．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線
D．空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補
【分析】由所學知識可知，為定理，為公理，再判斷錯誤得答案．
【解答】解：，為定理，不是公理；
對于，垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、也可能相交、也可能異面，故錯誤；
是教材中給出的公理．
故選：．
4．如圖，點、、、分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點，則直線與是異面直線的圖是
A．B．
C．D．
【分析】利用正方體的性質(zhì)、異面直線的定義即可判斷出結(jié)論．
【解答】解：中，，中，，中，與為異面直線，．與相交．
故選：．
5．在正四棱柱中，，，點，分別為棱，上兩點，且，，則
A．，且直線，異面B．，且直線，相交
C．，且直線，異面D．，且直線，相交
【分析】作圖，通過計算可知，取點為的中點，則共面，顯然點不在面內(nèi)，由此直線，異面．
【解答】解：，
如圖，取點為的中點，則，
故共面，點在面面外，
故直線，異面．
故選：．
6．在長方體中，若，，則異面直線和所成角的余弦值為
A．B．C．D．
【分析】連結(jié)，，由長方體的性質(zhì)得，從而是異面直線和所成角（或補角），由此能求出異面直線和所成角的余弦值．
【解答】解：如圖，連結(jié)，，
由長方體的性質(zhì)得，
是異面直線和所成角（或補角），
由已知得，，
，
．
異面直線和所成角的余弦值為．
故選：．
7．在正三棱柱中，為側(cè)面的中心，為側(cè)面的中心，為的中點，則直線與直線所成的角為
A．B．C．D．
【分析】由題意畫出圖形，可得，再由，得到，則答案可求．
【解答】解：如圖，
為側(cè)面的中心，為側(cè)面的中心，，
為的中點，連接，則．
，即直線與直線所成的角為．
故選：．
8．在三棱錐中，，，，分別是，，，的中點，若，且與所成的角為，則四邊形的面積為
A．B．C．D．
【分析】由題意畫出圖形，可得四邊形為菱形，再由已知異面直線所成角求得，代入三角形面積公式計算．
【解答】解：如圖，
，，，分別是，，，的中點，
，，
四邊形為平行四邊形，
又與所成的角為，（或．
，，則四邊形為菱形．
．
故選：．
9．如圖，在三棱柱中，平面，四邊形為正方形，，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為
A．B．C．D．
【分析】過點作，交于點，則為異面直線與所成角（或所成角的補角），由此能求出異面直線與所成角的余弦值．
【解答】解：如圖，過點作，交于點，
則為異面直線與所成角（或所成角的補角），
在三棱柱中，平面，
四邊形為正方形，，，為的中點，
由題意知，，，
異面直線與所成角的余弦值為：
．
故選：．
10．在正四面體中，，，，分別是，，，的中點，則與所成的角為
A．B．C．D．
【分析】推導出，，從而是與所成的角（或所成角的補角），由此能求出與所成的角．
【解答】解：在正四面體中，
，，，分別是，，，的中點，
，，
是與所成的角（或所成角的補角），
是等邊三角形，，
與所成的角為．
故選：．
11．（多選）如圖，在邊長為4的正三角形中，，，分別為各邊的中點，，分別為，的中點，將沿，，折成正四面體，則在此正四面體中，下列說法正確的是
A．與所成的角的正弦值為
B．與成角
C．與所成的角為
D．與所成角余弦值為
【分析】對于，推導出，，連結(jié)，取中點，則，異面直線與所成角為，求出與所成的角的正弦值為；對于，推導出平面，從而；對于，連結(jié)，，則，從而異面直線與所成的角為，由余弦定理求出與所成的角為；對于，異面直線與所成角為，由余弦定理能求出結(jié)果．
【解答】解：對于，的邊長為4，折成正四面體后，如圖，
，，分別為各邊的中點，，分別為，的中點，
，，
連結(jié)，取中點，則，
異面直線與所成角為，
，，連結(jié)，得，，
，
與所成的角的正弦值為：，故錯誤；
對于，正四面體中，取中點，連結(jié)，，
則，，平面，
，與成角，故正確；
對于，連結(jié)，，則，
異面直線與所成的角為，
，，
，，
與所成的角為，故正確；
對于，異面直線與所成角為，
，故正確．
故選：．
12．（多選）如圖，在正四棱柱中，，，分別為，的中點，異面直與所成角的余弦值為，則
A．B．直線與直線共面
C．D．直線與直線異面
【分析】可連接，，從而看出為異面直線與所成的角，可設(shè)，從而可得出，這樣在中，根據(jù)余弦定理即可求出異面直與所成角的余弦值的值；然后連接，，從而可得出，這樣即可得出直線與直線共面．
【解答】解：如圖，連接，，則，
為異面直線與所成的角，
，為正四棱柱，，分別為，的中點，設(shè)，則，，
在中，根據(jù)余弦定理，，
；
連接，，，則，，
，
與共面．
故選：．
13．作一個平面截正方體得到一個多邊形（包括三角形）截面，那么截面形狀可能是 （填上所有你認為正確的選項的序號）．
①正三角形；②正方形；③菱形；④非正方形的矩形；⑤正五邊形；⑥正六邊形．
【分析】作出可能的截面圖形，能求出結(jié)果．
【解答】解：如圖，作一個平面截正方體得到一個多邊形（包括三角形）截面，
對于①，截面形狀可能是正三角形，故①正確；
對于②，截面形狀可能是正方形，其中、、、分別是所在棱的中點，故②正確；
對于③，截面形狀可能是菱形，其中、、、分別是所在棱的中點，故③正確；
對于④，截面形狀可能是，故④正確；
對于⑤，由正方體的對稱性得截面形狀不可能是正五邊形，故⑤錯誤；
對于⑥，截面形狀可能是正六邊形，其中、、、、、分別是所在棱的中點，故⑥正確；
故答案為：①②③④⑥．
14．在正方體的各條棱中，棱所在直線與直線異面的有 條
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形寫出棱所在直線與直線是異面直線的條數(shù)．
【解答】解：如圖所示，正方體中，
棱所在直線、、和與直線是異面直線，共有4條．
故答案為：4．
15．四面體中，，，則異面直線與的夾角為 .
【分析】取中點，連接，，由已知可得，，再由線面垂直的判定可得平面，從而得到異面直線與的夾角為．
【解答】解：如圖，
取中點，連接，，
，，
，，
又，平面，則．
即異面直線與的夾角為．
故答案為：．
16．如圖，是正方體，，，，，，分別是所在棱的中點，則下列結(jié)論錯誤的有 ．
①和是平行直線；和是相交直線
②和是平行直線；和是相交直線
③和是相交直線；和是異面直線
④和是異面直線；和也是異面直線
【分析】根據(jù)空間中兩條直線的位置關(guān)系，對題目中的命題進行分析、判斷即可．
【解答】解：對于①，和是平行直線，但和是異面直線，不是相交直線，①錯誤；
對于②，和是平行直線；和是相交直線，并且它們的交點在直線上，②正確；
對于③，和是平行直線，不是相交直線；和是異面直線，③錯誤；
對于④，和是異面直線；但和是相交直線，不是異面直線，④錯誤；
綜上，錯誤的命題序號是①③④．
故答案為：①③④．
17．已知：平面，，，，，，，，，，直線與的夾角是，則線段的長為 ．
【分析】推導出，從而，由此能求出線段的長．
【解答】解：平面，，，，，，，，，，
，
，
直線與的夾角是，或，
當時，線段的長為：，
當時，線段的長為：．
故答案為：或5．
18．已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且是邊長為1的正三角形，，、分別為、的中點，則異面直線與所成的角為 ．
【分析】由題意畫出圖形，由，可得即為異面直線與所成角，再由已知求解三角形得答案．
【解答】解：如圖，
在直三棱柱中，，
即為異面直線與所成角．
底面，，
，，且、分別為、的中點，
，，
在中，由，，
得．
，即異面直線與所成的角為．
故答案為：．
19．如圖，在三棱錐中，平面，，．若三棱錐外接球的半徑為，則直線與平面所成角的正切值為 ．
【分析】設(shè)為的外心，為三棱錐的外接球的球心，推導出，取的中點，由，推導出，外接圓的半徑，由此能求出直線與平面所成角的正切值．
【解答】解：如圖，設(shè)為的外心，為三棱錐的外接球的球心，
由平面，平面，知，
取的中點，由，知為的中點，且四邊形為矩形，
又，，外接圓的半徑，
在中，由，得，
，
直線與平面所成角的正切值為．
故答案為：．
20．在空間四邊形中，，分別是，的中點，，分別邊，上的點，且．求證：
①點，，，四點共面；
②直線，，相交于一點．
【分析】①利用三角形的中位線平行于第三邊和平行線分線段成比例定理，
得到、都平行于，由平行線的傳遞性得到，
根據(jù)兩平行線確定一平面得出證明；
②利用分別在兩個平面內(nèi)的點在這兩個平面的交線上，即可證明．
【解答】證明：①如圖所示，
空間四邊形中，，分別是，的中點，
；
又．
，
，
、、、四點共面；
②設(shè)與交于點，
平面
在平面內(nèi)，
同理在平面內(nèi)，且平面平面，
點在直線上，
直線，，相交于一點．
21．已知正四棱錐的全面積為2，記正四棱錐的高為．
（1）試用表示底面邊長，并求正四棱錐體積的最大值；
（2）當取最大值時，求異面直線和所成角的正切值．
【分析】（1）設(shè)正四棱錐的底面邊長為，側(cè)面三角形的高為，由題意可得關(guān)于的關(guān)系式，寫出四棱錐體積，整理后利用基本不等式求最值；
（2）取的中點，正方形的中心為，連接，，，由，得即為異面直線與所成角，結(jié)合（1）中求得的值，即可求得異面直線和所成角的正切值．
【解答】解：（1）設(shè)正四棱錐的底面邊長為，側(cè)面三角形的概為，則，
，又，．
正四棱錐體積．
（當且僅當，即時取等號）．
，即正四棱錐體積的最大值為（當，時取最大值）；
（2）取的中點，正方形的中心為，連接，，．
，即為異面直線與所成角．
為的中點，，．
即，由（1）知，．
又，．
即異面直線和所成角的正切值為3．
22．已知圓錐的頂點為，底面圓心為，半徑為2．
（Ⅰ）設(shè)圓錐的母線長為4，求圓錐的體積；
（Ⅱ）設(shè)，，是底面半徑，且，為線段的中點，如圖，求異面直線與所成的角的正切值．
【分析】（1）由已知取得圓錐的高，再由圓錐體積公式求解；
（2）證明平面，取中點，連接，則，且．可得為異面直線與所成的角，再證明，然后求解三角形可得異面直線與所成的角的正切值．
【解答】解：（1）由圓錐母線長為4，即，底面半徑，
可得圓錐的高．
該圓錐的體積；
（2）底面，，
又，即，，
平面，
取中點，連接，則，且．
為異面直線與所成的角．
由平面，，可得平面，得．
在中，求得，
在中，可得．
23．如圖，在正方體中，、、、分別是棱、、、的中點．
（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求異面直線與所成的角的大?。?br>【分析】（1）法一：取的中點，推導出，在平面中，延長與必交于右側(cè)一點，且，同理，在平面中，延長與必交于右側(cè)一點，且，由與重合，得到直線與相交．
法二：推導出是平行四邊形，從而，再由，得，，由此能推導出直線與相交．
（2）推導出是平行四邊形，，，從而，與所成的角即為與所成的角，再由△為等邊三角形，能求出由直線與所成的角的大?。?br>【解答】解：（1）解法一：取的中點，
、、分別是正方形中、、的中點，，
在平面中，延長與必交于右側(cè)一點，且
同理，在平面中，延長與必交于右側(cè)一點，且，
與重合
進而，直線與相交．
解法二：在正方體中，、分別是、的中點，
，是平行四邊形，，
又、分別是、的中點，
，，，
、是梯形的兩腰，
直線與相交．
（2）解：在正方體中，，
是平行四邊形，，
又、分別是、的中點，，，
與所成的角即為與所成的角，
與所成的角即為及其補角中的較小角，
又在正方體中，△為等邊三角形
，由直線與所成的角為．
[B組]—強基必備
1．我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載，斜解立方為“塹堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱（直三棱柱為側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）．如圖，棱柱為一個“塹堵”，底面的三邊中的最長邊與最短邊分別為，，且，，點在棱上，且，則當?shù)拿娣e取最小值時，異面直線與所成的角的余弦值為 ．
【分析】設(shè)直三棱柱的高為，，先根據(jù)，利用勾股定理，可得①；過作于點，再過點作為于點，則，即為的邊上的高，結(jié)合三角函數(shù)的知識和三角形的面積公式可得②，把①代入②式消去整理后得，利用基本不等式推出當?shù)拿娣e取最小值時，；最后結(jié)合平移的思想，可知即為所求．
【解答】解：設(shè)直三棱柱的高為，，則，
為直角三角形，且，，，
由勾股定理知，，，
，，即，整理得，即．
過作于點，再過點作為于點，則，即為的邊上的高，
在中，，，
，
，
把代入上式，化簡得，
當且僅當，即，時，等號成立，此時的面積取得最小值，．
，即為異面直線與所成的角，
，
，即異面直線與所成的角的余弦值為．
故答案為：．

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