知識(shí)梳理
1．四個(gè)公理
公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．
公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．
公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
2．空間直線的位置關(guān)系
(1)位置關(guān)系的分類(lèi)
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(共面直線\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)))
(2)異面直線所成的角
①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)；
②范圍：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．
(3)定理
空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系
(1)空間中直線與平面的位置關(guān)系
(2)空間中兩個(gè)平面的位置關(guān)系
題型歸納
題型1 平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用
【例1-1】（2020春?海安市校級(jí)月考）如圖，空間四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，、分別在、上，且．
（1）求證：、、、四點(diǎn)共面；
（2）設(shè)與交于點(diǎn)，求證：、、三點(diǎn)共線．
【分析】（1）推導(dǎo)出，，從而，由此能證明、、、四點(diǎn)共面．
（2）由，，，從而平面，平面，推導(dǎo)出直線．由此能證明、、三點(diǎn)共線．
【解答】證明：（1）中，、為、中點(diǎn)，．
中，，
，（平行線公理），
、、、四點(diǎn)共面．
（2），，，
平面，平面，
又平面平面，
直線．
、、三點(diǎn)共線．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2020?汕頭二模）如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則
A．、、、四點(diǎn)共面，且
B．、、、四點(diǎn)共面，且
C．、、、四點(diǎn)不共面，且
D．、、、四點(diǎn)不共面，且
【分析】根據(jù)，確定平面即可判斷四點(diǎn)共面，利用勾股定理計(jì)算、得出和是否相等．
【解答】解：連接，，
是正方形的中心，直線，
又平面，平面，
又直線，平面，
又平面，平面，
、、、四點(diǎn)共面．
取的中點(diǎn)，連接，，則，，
，
取的中點(diǎn)，連接，，則，，
．
．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2019秋?樂(lè)山期末）如圖所示，正方體中，與截面交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，求證：，，三點(diǎn)共線．
【分析】欲證，，三點(diǎn)共線，只須證它們都在平面與平面的交線上，根據(jù)立體幾何中的公理可知，只要說(shuō)明，，三點(diǎn)是平面與平面的公共點(diǎn)即可．
【解答】證明：如圖，因?yàn)槠矫?，且平面?br>是平面與平面的公共點(diǎn)，又因?yàn)?，所以平面?br>，平面，也是平面與平面的公共點(diǎn)，
是平面與平面交線，
是與平面的交點(diǎn)，平面，平面，
也是平面與平面的公共點(diǎn)，
直線，即，，三點(diǎn)共線．
【名師指導(dǎo)】
1．證明點(diǎn)或線共面問(wèn)題的2種方法
(1)首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；
(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．
2．證明點(diǎn)共線問(wèn)題的2種方法
(1)先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；
(2)直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．
3．證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法
先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．
題型2 空間兩直線位置關(guān)系的判定
【例2-1】（2020?廣元模擬）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則
A．，且直線，是共面直線
B．，且直線，是異面直線
C．，且直線，是異面直線
D．，且直線，是共面直線
【分析】可連接，根據(jù)條件即可說(shuō)明四邊形是平行四邊形，從而得出，且直線，是共面直線．
【解答】解：如圖，連接，
，分別為棱，的中點(diǎn)，，，，
，，
，且，
四邊形是平行四邊形，
，且，
，是共面直線．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020?瀘州模擬）正方體，下列命題中正確的是
A．與相交直線且垂直B．與是異面直線且垂直
C．與是相交直線且垂直D．與是異面直線且垂直
【分析】分別求出與、與、與所成角判斷、、錯(cuò)誤；證明與垂直判斷正確．
【解答】解：如圖，
連接，可得△為正三角形，可得與是相交直線且成角，故錯(cuò)誤；
，與是異面直線且成角，故錯(cuò)誤；
與是相交直線，所成角為，其正切值為，故錯(cuò)誤；
連接，可知，則，可知與是異面直線且垂直，故正確．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2019秋?吉林期末）如圖，正方體的所有棱中，其所在的直線與直線成異面直線的共有 條．
【分析】由異面直線的定義可以直接得到結(jié)果．
【解答】解：正方體的共有12條棱中，
成異面直線的有：
，，，，，，共6條．
故答案為：6．
【跟蹤訓(xùn)練2-3】（2019秋?武邑縣校級(jí)期末）在圖中，、、、分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線、是異面直線的圖形有 ．（填上所有正確答案的序號(hào)）
【分析】圖（1）中，直線，圖（2）中面，圖（3）中，圖（4）中，面．
【解答】解析：如題干圖（1）中，直線；
圖（2）中，、、三點(diǎn)共面，但面，因此直線與異面；
圖（3）中，連接，，因此，與共面；
圖（4）中，、、共面，但面，與異面．
所以圖（2）、（4）中與異面．
故答案為：（2）、（4）
【名師指導(dǎo)】
異面直線的判定方法
題型3 求異面直線所成的角
【例3-1】（2020春?赤峰期末）在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為
A．B．C．D．
【分析】連結(jié)，，由，得到是異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），再求出異面直線與所成角的正切值．
【解答】解：在正方體，中，為棱的中點(diǎn)，
連結(jié)，，，
是異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則，，
．
則異面直線與所成角的正切值為．
故選：．
【例3-2】（2020春?讓胡路區(qū)校級(jí)期末）在空間四邊形中，已知，，，分別是，的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的大小為
A．B．C．D．
【分析】取中點(diǎn)，連結(jié)、、，則，，從而是異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），利用余弦定理能求出異面直線與所成角．
【解答】解：取中點(diǎn)，連結(jié)、、，
，，，分別是，的中點(diǎn)，，
，，
是異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），
，，
，
，
異面直線與所成角為：．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020春?保山期末）如圖所示，三棱柱所有棱長(zhǎng)均相等，各側(cè)棱與底面垂直，，分別為棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為
A．B．C．D．
【分析】取中點(diǎn)，連接，，可得，則異面直線與所成角為，設(shè)三棱柱各棱長(zhǎng)為2，求解三角形得答案．
【解答】解：取中點(diǎn)，連接，，
，分別為棱，的中點(diǎn)，
，．
且，則四邊形為平行四邊形，則．
異面直線與所成角為，連接．
設(shè)三棱柱各棱長(zhǎng)為2，則，．
在三角形中，由余弦定理可得，
即異面直線與所成角的余弦值為．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020春?玉林期末）在四棱錐中，平面，，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是
A．B．C．D．
【分析】取的中點(diǎn)，連接，．推導(dǎo)出，得到為異面直線與的所成角（或補(bǔ)角），由此能求出異面直線與所成角的余弦值．
【解答】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，．
是的中點(diǎn)，所以，
則為異面直線與的所成角（或補(bǔ)角）．
由題意可得，，．
在中，由余弦定理可得．
異面直線與所成角的余弦值是．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練3-3】（2020春?尖山區(qū)校級(jí)期末）已知三棱錐，底面，，底面是等腰直角三角形，，是的中點(diǎn)．求
（1）三棱錐的體積；
（2）異面直線與所成角的大?。?br>【分析】（1）推導(dǎo)出是平面的高，由此能求出三棱錐的體積．
（2）取的中點(diǎn)，連接，．推導(dǎo)出，連接，則與成角即為與成角．由此能求出異面直線與成角．
【解答】解：（1）平面，是平面的高．
，
又為等腰直角三角形，，
，
又，．
（2）取的中點(diǎn)，連接，．
、是中點(diǎn)，是中位線，
，連接，
與成角即為與成角．
在中，，，，
，異面直線與成角．
【名師指導(dǎo)】
用平移法求異面直線所成的角的三步驟
(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；
(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；
(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．
位置關(guān)系
圖形表示
符號(hào)表示
公共點(diǎn)
直線a在平面α內(nèi)
a?α
有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
直線在平面外
直線a與平面α平行
a∥α
沒(méi)有公共點(diǎn)
直線a與平面α斜交
a∩α＝A
有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
直線a與平面α垂直
a⊥α
位置關(guān)系
圖形表示
符號(hào)表示
公共點(diǎn)
兩平面平行
α∥β
沒(méi)有
公共點(diǎn)兩平面相交
斜交
α∩β＝l
有一條公共直線
垂直
α⊥β且
α∩β＝a

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