2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)達標(biāo)檢測第48講直線與橢圓的位置關(guān)系（教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．B．C．6D．8
【分析】求出左焦點坐標(biāo)，利用直線經(jīng)過橢圓的左焦點，結(jié)合橢圓的定義求三角形的周長即可．
【解答】解：∵直線l過橢圓C的左焦點F'（﹣2，0），
直線經(jīng)過左焦點F'，
∴△PQF的周長|PQ|+|PF|+|QF|
＝|PF'|+|PF|+|QF'|+|QF|
＝，
故選：B．
2已知橢圓（a＞b＞0）的焦距為2，右頂點為A．過原點與x軸不重合的直線交C于M，N兩點，線段AM的中點為B，若直線BN經(jīng)過C的右焦點，則C的方程為（）
A．B．
C．D．
【分析】由題意畫出圖形，分別設(shè)出M、N的坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式求得B的坐標(biāo)，再由列式求得a值，利用隱含條件求得b，則橢圓方程可求．
【解答】解：如圖，
設(shè)M（x0，y0），則N（﹣x0，﹣y0），
∵A（a，0），且線段AM的中點為B，∴B（，），
由B，F(xiàn)，N三點共線，得，依題意，F(xiàn)（1，0），
∴，，
即．
又y0≠0，解得a＝3，∴b2＝32﹣12＝8．
可得C的方程為．
故選：C．
3．已知橢圓的右焦點F2（1，0），為橢圓上一點，過左頂點A作直線l⊥x軸，Q為直線l上一點，AP⊥F2Q，則直線PQ在x軸上的截距為（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由已知列關(guān)于a，b的方程組，求得a，b的值，得到A，F(xiàn)2的坐標(biāo)，求得直線F2Q的方程，進一步求解Q的坐標(biāo)，得到PQ的方程，則答案可求．
【解答】解：由題意，得，解得，
∴A（﹣2，0），F(xiàn)2（1，0），
∴直線AP的斜率．
又AP⊥F2Q，∴，即，
∴直線F2Q的方程y＝﹣2（x﹣1），
聯(lián)立，得交點Q（﹣2，6），
∴P、Q兩點連線的斜率kPQ＝．
∴PQ的直線方程為y﹣＝﹣（x﹣1），
令y＝0，得x＝2．
故直線PQ在x軸上的截距為2，
故選：A．
4．已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，下頂點為A，直線AF2與橢圓C的另一個交點為B．若△BF1A為等腰三角形，則橢圓C的離心率為（）
A．B．C．D．
【分析】畫出圖形，過點B作BM⊥x軸，垂足為M，利用△AOF2∽△BMF2，求出B的坐標(biāo)，點B在橢圓C上，轉(zhuǎn)化求解橢圓的離心率即可．
【解答】解：如圖，因為△BF1A為等腰三角形，且|AF1|＝|AF2|＝a，
所以|AB|＝|BF1|，
又|AB|+|BF1|+|AF1|＝4a，所以，所以|AF2|＝2|F2B|．
過點B作BM⊥x軸，垂足為M，則△AOF2∽△BMF2，由A（0，﹣b），F(xiàn)2（c，0），
得．
因為點B在橢圓C上，
所以，所以，
即離心率，
故選：B．
5．已知離心率為的橢圓+y2＝1（m＞1）的左、右頂點分別為A，B，點P為該橢圓上一點，且P在第一象限，直線AP與直線x＝4交于點C，直線BP與直線x＝4交于點D，若|CD|＝，則直線AP的斜率為（）
A．或B．C．或D．或
【分析】由橢圓離心率求出m值，直線AP，BP與直線x＝4聯(lián)立將C點與D點的用k的坐標(biāo)表示出來，最后求出k的值．
【解答】解：由，得m＝9．
設(shè)p（x0，y0），則．
設(shè)kPA＝k（0＜k＜），則，直線AP的方程為y＝k（x+3），則C的坐標(biāo)（4，7k）．
直線BP的方程為y＝，則D坐標(biāo)（4，）．
所以|CD|＝7k+，解得k＝（舍去）或．
故選：B．
6．已知點F為橢圓的左焦點，直線y＝kx（k＞0）與C相交于M、N兩點（其中M在第一象限），若MN＝2c，|FM|＝2|FN|，則橢圓C的離心率是（）
A．B．C．D．
【分析】畫出圖形，設(shè)橢圓右焦點為F'，說明四邊形MFNF'為矩形，設(shè)|FN|＝t，推出，然后求解橢圓的離心率．
【解答】解：如圖，設(shè)橢圓右焦點為F'，由|MN|＝2c，可知|MN|＝|FF'|＝2c，所以∠FMF′＝90°，
則四邊形MFNF'為矩形，且|FN|＝|MF'|，
因為|FM|＝2|FN|，設(shè)|FN|＝t，則．因為|MF|+|MF'|＝2a，MF2+MF′2＝4c2，
解得3t＝2a，，
所以橢圓C的離心率為．
故選：D．
7．已知橢圓+＝1的左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在一點M，使（+）＝0（O為坐標(biāo)原點），且||＝t||，則實數(shù)t的值為（）
A．2B．2C．D．1
【分析】由向量的加減運算和數(shù)量積的性質(zhì)，可得||＝||＝c，即有△MF1F2為直角三角形，且∠F1MF2＝90°，由勾股定理和橢圓的定義，解方程即可得到所求值．
【解答】解：（+）＝0，則（+）?（）＝0，
所以＝0，所以||＝||＝c，
即有△MF1F2為直角三角形，且∠F1MF2＝90°，
可得橢圓+＝1的a＝4，b＝2，c＝＝2，
設(shè)|MF2|＝m，由橢圓的定義可得|MF1|＝2a﹣m＝8﹣m，
且||＝t||，所以（8﹣m）2+m2＝4c2＝32，解得m＝4，
由mt＝8﹣m，解得t＝1，
故選：D．
8．如圖，已知F1、F2分別是橢圓C：的左、右焦點，過F1的直線l1與過F2的直線l2交于點N，線段F1N的中點為M，線段F1N的垂直平分線MP與l2的交點P（第一象限）在橢圓上，若O為坐標(biāo)原點，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．（0，1）
【分析】結(jié)合圖形說明|F1M|＝|MN|．設(shè)點P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）．由兩點間的距離公式，以及焦半徑公式轉(zhuǎn)化求解的表達式，然后求解取值范圍．
【解答】解：如圖所示，點P在y軸右邊，
因為PM為F1N的垂直平分線，所以|F1M|＝|MN|．
由中位線定理可得．
設(shè)點P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）．由兩點間的距離公式，
得
＝，同理可得|PF2|＝a﹣ex0，
所以|F2N|＝|PF1|﹣|PF2|＝2ex0，故|OM|＝ex0，
因為a＝8，，所以，故，
所以．
因為x0∈（0，8），所以．
故的取值范圍為（0，1）．
故選：D．
9．（多選）已知F1、F2是橢圓C：的左、右焦點，M、N是左、右頂點，e為橢圓C 的離心率，過右焦點F2的直線l與橢圓交于A，B兩點，已知＝0，3，|AF1|＝2|AF2|，設(shè)直線AB的斜率為k，直線AM和直線AN的斜率分別為k1，k2，直線BM和之間BN的斜率分別為k3，k4，則下列結(jié)論一定正確的是（）
A．e＝B．k＝C．k1?k2＝﹣D．k3?k4＝
【分析】過點F2作F1B的平行線，交AF1于點E，設(shè)|F2A|＝2t，|F1A|＝4t，可得AB|＝5t，由橢圓定義可得a＝3t．|BF1|＝|BF2|＝3t，在△EF1F2中，由勾股定理可得：c，b即可判斷AB的正誤，
設(shè)A（x，y），則＝，即可判斷 CD正誤．
【解答】解：∵＝0，∴AF1⊥BF1，過點F2作F1B的平行線，交AF1于點E，∴AF1⊥EF2．
設(shè)|F2A|＝2t，|F1A|＝4t，
又3，∴|AB|＝5t，
∵AF1⊥BF1，∴|F1B|＝3t，∴12t＝4a，∴a＝3t．
∴|BF1|＝|BF2|＝3t＝a，∴B（0，b），
在△EF1F2中，EF1＝＝，EF2＝＝，F(xiàn)1F2＝2c，
∵EF12+EF22＝F1F22，∴，b＝＝，
∴橢圓離心率e＝，故A正確，
k＝，故B錯，
設(shè)A（x，y），易得M（﹣a，0），N（a，0），
則＝，故C正確，
同理，故D錯．
故選：AC．
10．（多選）設(shè)橢圓的右焦點為F，直線與橢圓交于A，B兩點，則（）
A．|AF|+|BF|為定值
B．△ABF的周長的取值范圍是[6，12]
C．當(dāng)時，△ABF為直角三角形
D．當(dāng)m＝1時，△ABF的面積為
【分析】利用橢圓的性質(zhì)以及定義，直線與橢圓的位置關(guān)系，向量的數(shù)量積以及三角形的面積，分析判斷選項的正誤即可．
【解答】解：設(shè)橢圓的左焦點為F'，則|AF'|＝|BF|，所以|AF|+|BF|＝|AF|+|AF'|為定值6，A正確；
△ABF的周長為|AB|+|AF|+|BF|，因為|AF|+|BF|為定值6，易知|AB|的范圍是（0，6），所以△ABF的周長的范圍是（6，12），B錯誤；
將與橢圓方程聯(lián)立，可解得，，又易知，所以，所以△ABF為直角三角形，C正確；
將y＝1與橢圓方程聯(lián)立，解得，，所以，D正確．
故選：ACD．
11．已知橢圓C：+＝1（{a＞b＞0}）的左焦點為F，A、B分別為C的右頂點和上頂點，直線FB與直線x＝a的交點為M，若，且△AFM的面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【分析】由，且OB∥AM（O為坐標(biāo)原點），可得，可得a，c的關(guān)系，及面積的值可得a，b的值，進而求出橢圓的方程．
【解答】解：由，且OB∥AM（O為坐標(biāo)原點），
得，所以a＝2c，|AM|＝3b，，
又因為，解得c＝1，
所以a＝2，，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：+＝1．
12．橢圓+＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點（P在x軸上方），|PF1|＝|PQ|．若PQ⊥PF1，則橢圓的離心率e＝．
【分析】設(shè)|PF2|的值，由橢圓的定義可得|PF1|的值，再由|PF1|＝|PQ|，可得|QF2|，|QF1|的值，由若PQ⊥PF1，在兩個三角形中由勾股定理可得a，c的關(guān)系，進而求出橢圓的離心率．
【解答】解：設(shè)|PF2|＝m，則|PF1|＝2a﹣m，
因為|PF1|＝|PQ|，所以|QF2|＝2a﹣m﹣m＝2a﹣2m，
由橢圓的定義可得|QF1|＝2a﹣（2a﹣2m）＝2m，
因為PQ⊥PF1，在△PF1Q中，|QF1|2＝2|PF1|2，即4m2＝2（2a﹣m）2①，可得m＝a，
在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2，即4c2＝（2a﹣m）2+m2②，
由①﹣②×2可得4m2﹣8c2＝﹣2m2，即m2＝c2，可得m＝c，③，
所以a＝c，所以＝﹣
故答案為：﹣．
13．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，過F1的直線l與C交于A，B兩點，若AB⊥AF2，|AB|：|AF2|＝3：4，則橢圓的離心率為．
【分析】設(shè)|AF2|的值，由比例關(guān)系求出|AB|的值，再由橢圓的代入可得|AF1|，|BF1|，|BF2|的值，又有AB⊥AF2，在兩個直角三角形中由勾股定理可得a，c的關(guān)系，進而求出橢圓的離心率．
【解答】解：設(shè)|AF2|＝4m，因為|AB|：|AF2|＝3：4，所以|AB|＝3m，由題意的定義可得|AF1|＝2a﹣4m，
所以|BF1|＝3m﹣（2a﹣4m）＝7m﹣2a，進而可得|BF2|＝2a﹣（7m﹣2a）＝4a﹣7m，
因為AB⊥AF2，在△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2，即（2c）2＝（2a﹣4m）2+（4m）2，整理可得c2＝（a﹣2m）2+4m2①
在△ABF2中，|BF2|2＝|AB|2+|AF2|2，即（4a﹣7m）2＝（3m）2+（4m）2，整理可得：2a2﹣7am+3m2＝0，解得a＝（舍）或a＝3m即m＝，
將m＝代入①可得c2＝（a﹣）2+4（）2＝整理可得＝，
所以橢圓離心率為
故答案為：．
14．已知F是橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左焦點，AB是橢圓C過F的弦，AB的垂直平分線交x軸于點P．若，且P為OF的中點，則橢圓C的離心率為．
【分析】由題意可得P的坐標(biāo)，由題意設(shè)直線AB的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進而求出線段AB的中點的坐標(biāo)，求出線段AB的中垂線的構(gòu)成，令y＝0求出P的坐標(biāo)，可得參數(shù)的關(guān)系，再由，可得A，B的縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，代入兩根之和及兩根之積中可得參數(shù)的關(guān)系，兩式聯(lián)立求出參數(shù)的值及a，c的關(guān)系，進而求出橢圓的離心率．
【解答】解：由題意可得直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為x＝my﹣c，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
因為P為OF的中點，所以P（﹣，0），
因為，所以（﹣c﹣x1，﹣y1）＝2（x2+c，y2），所以可得y1＝﹣2y2，
聯(lián)立直線AB與橢圓的方程，整理可得：（a2+m2b2）y2﹣2b2mcy+b2c2﹣a2b2＝0，
所以y1+y2＝，x1+x2＝m（y1+y2）﹣2c＝﹣，所以A，B的中點坐標(biāo)（﹣，），
所以線段AB的中垂線方程為：y﹣＝﹣m（x+），
令y＝0，可得x＝，由題意可得﹣＝，可得a2（1+m2）＝（2+m2） c2，①
由，可得：9m2c2＝（1+m2）a2②，
由①②可得：9m2＝2+m2，解得m2＝，
將m2＝代入①可得a2＝c2，所以＝，
故答案為：．
15．已知橢圓C：＝1的右焦點為F（1，0），上頂點為B，則B的坐標(biāo)為，直線MN與橢圓C交于M，N兩點，且△BMN的重心恰為點F，則直線MN斜率為．
【分析】由題意的方程及右焦點的坐標(biāo)及a，b，c之間的關(guān)系求出m的值，進而求出上頂點B的坐標(biāo)，設(shè)直線MN的方程，與橢圓聯(lián)立求出兩根之和，進而求出弦MN的中點的坐標(biāo)，由F為三角形的重心可得＝2，將點的坐標(biāo)代入可得直線MN的斜率的值．
【解答】解：由橢圓的方程可得：a2＝4，b2＝m，所以c2＝a2﹣b2＝4﹣m＝1，可得m＝3，所以上頂點B（0，），
所以橢圓的方程為：+＝1；
設(shè)直線MN的方程為：y＝kx+t，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
將直線MN的方程與橢圓的方程聯(lián)立整理可得：（3+4k2）+8ktx+4t2﹣12＝0，
△＝64k2t2﹣4（3+4k2）（4t2﹣12）＞0，
可得：t2＜3+4k2，x1+x2＝﹣，所以y1+y2＝k（x1+x2）+2t＝，
所以MN的中點D（﹣，），
因為F為三角形BMN的重心，所以＝2，即（1，﹣）＝2（﹣﹣1，），
所以，即兩式相比可得k＝，
故答案分別為：（0，），．
16．已知橢圓的焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）（c＞0），兩條平行線l1：y＝x﹣c，l2：y＝x+c交橢圓于A，B，C，D四點，若以A，B，C，D為頂點的四邊形面積為2b2，則橢圓的離心率為．
【分析】直線CD的方程與橢圓的方程聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進而求出弦長CD，再求兩條平行線間的距離，進而求出平行四邊形的面積，再由題意可得a，c的關(guān)系，進而求出橢圓的離心率．
【解答】解：設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），聯(lián)立直線l1與橢圓的方程：，整理可得：（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2＝0，x1+x2＝，x1x2＝，
所以|CD|＝＝?＝?2，
直線l1，l2間的距離d＝＝，
所以平行四邊形的面積S＝|CD|?d＝?2?＝2b2，整理可得：c2+2ac﹣2a2＝0，即e2+2e﹣2＝0，解得：e＝﹣±2，由橢圓的性質(zhì)可得，離心率e＝2﹣，
故答案為：2﹣．
17．設(shè)橢圓+＝1（a＞b＞0）的左焦點為F，左頂點為A，上頂點為B．已知|OA|＝2|OB|（O為原點）．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點F且斜率為的直線l與橢圓在x軸上方的交點為P，圓C同時與x軸和直線l相切，圓心C在直線x＝4上，且OC∥AP．求橢圓的方程．
【分析】（Ⅰ）由題意可得a＝2b，再由離心率公式可得所求值；
（Ⅱ）求得a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為+＝1，設(shè)直線FP的方程為y＝（x+c），聯(lián)立橢圓方程求得P的坐標(biāo)，以及直線AP的斜率，由兩條直線平行的條件和直線與圓相切的條件，解方程可得c＝2，即可得到所求橢圓方程．
【解答】解：（Ⅰ）|OA|＝2|OB|，即為a＝2b，
可得e＝＝＝＝；
（Ⅱ）b＝a，c＝a，
即a＝2c，b＝c，
可得橢圓方程為+＝1，
設(shè)直線FP的方程為y＝（x+c），
代入橢圓方程可得7x2+6cx﹣13c2＝0，
解得x＝c或x＝﹣，
代入直線PF方程可得y＝或y＝﹣（舍去），
可得P（c，），
圓心C在直線x＝4上，且OC∥AP，可設(shè)C（4，t），
可得＝，解得t＝2，
即有C（4，2），可得圓的半徑為2，
由直線FP和圓C相切的條件為d＝r，
可得＝2，解得c＝2，
可得a＝4，b＝2，
可得橢圓方程為+＝1．
18．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為4，且橢圓過點，過點F2且不平行與坐標(biāo)軸的直線l交橢圓與P，Q兩點，點Q關(guān)于x軸的對稱點為R，直線PR交x軸于點M．
（1）求△PF1Q的周長；
（2）求△PF1M面積的最大值．
【分析】（1）根據(jù)橢圓定義求出a，代入即可；
（2）設(shè)直線l：x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），橢圓的方程為，求出M坐標(biāo)，聯(lián)立解方程求出x1y2+x2y1＝2my1y2+2（y1+y2）＝，利用面積公式求出即可．
【解答】解：（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，則2c＝4，c＝2，F(xiàn)1（﹣2.0），F(xiàn)2（2，0），且橢圓過點A，
由橢圓的定義2a＝AF1+AF2＝6，故a＝3，
所以，△PF1Q的周長為4a＝12；
（2）由（1）知，b2＝9﹣4＝5，故橢圓的方程為，
設(shè)直線l：x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），則R（x2，﹣y2），
直線PR：，得M（，0），
聯(lián)立，消去x，得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，
，，
x1y2+x2y1＝2my1y2+2（y1+y2）＝，
所以?|y1|＝，當(dāng)且僅當(dāng)P在短軸頂點處取得等號，
故△PF1M面積的最大值為．
19．已知橢圓C：的離心率為，直線y＝x交橢圓C于A、B兩點，橢圓C的右頂點為P，且滿足．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y＝kx+m（k≠0，m≠0）與橢圓C交于不同兩點M、N，且定點滿足，求實數(shù)m的取值范圍．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)向量的運算，求得a＝2，利用橢圓的離心率公式即可求得b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及△＞0，根據(jù)中點坐標(biāo)公式及直線的斜率公式即可求得6m﹣1＝4k2，即可求得6m﹣1＞m2﹣1，求得m的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）由即2||＝4，則a＝2，
由e＝＝，所以c＝，b＝1，
則橢圓C的方程為．
（Ⅱ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
聯(lián)立，整理得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
則△＝64k2m2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，即4k2＞m2﹣1，且x1+x2＝﹣，
又設(shè)MN中點D的坐標(biāo)為（xD，yD），
因為，所以DQ⊥MN，即＝﹣，
又xD＝＝﹣，yD＝kxD+m＝，
所以6m﹣1＝4k2，故6m﹣1＞0，且6m﹣1＞m2﹣1，故＜m＜6．
∴m的取值范圍（，6）．
20．已知橢圓方程為．
（1）設(shè)橢圓的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上運動，求的值．
（2）設(shè)直線l和圓x2+y2＝2相切，和橢圓交于A、B兩點，O為原點，線段OA，OB分別和圓x2+y2＝2交于兩點，設(shè)△AOB，△COD的面積分別為S1，S2，求的取值范圍．
【分析】（1）由已知求得橢圓焦點坐標(biāo)，設(shè)P（x，y），由焦半徑公式及數(shù)量積公式可得＝；
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為x＝，求得．若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx+m，由已知可得，則m2＝2（1+k2），
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將直線l與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及三角形面積公式寫出，再由換元法結(jié)合二次函數(shù)求最值．
【解答】解：（1）由已知，F(xiàn)1（﹣，0），F(xiàn)2（），設(shè)P（x，y），
由焦半徑公式可得＝，
＝x2+y2﹣3．
結(jié)合，得，
故＝；
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為x＝，
由對稱性，不妨設(shè)x＝，此時A（），B（），C（1，1），D（1，﹣1），
故．
若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx+m，
由已知可得，則m2＝2（1+k2），
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將直線l與橢圓方程聯(lián)立，
得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣6＝0．，．
結(jié)合|OC|＝|OD|＝及，，
可知＝
＝＝．
將根與系數(shù)的關(guān)系代入整理得：
，結(jié)合m2＝2（k2+1），得．
設(shè)t＝2k2+1≥1，u＝∈（0，1]，
則＝＝∈[2，]．
∴的取值范圍是[2，]．
21．已知橢圓的左、右焦點分別為點F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為A，B，長軸長為4，橢圓上任意一點P（不與A，B重合）與A，B連線的斜率乘積均為．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，過點F1的直線l1與橢圓C交于M，N兩點，過點F2的直線l2與橢圓C交于P，Q兩點，且l1∥l2，試問：四邊形MNPQ可否為菱形？并請說明理由．
【分析】（1）求出b，得到橢圓的方程；（2）先判斷四邊形MNPQ為平行四邊形，再判斷是否成立，方程是否有解，即可判斷．
【解答】解：（1）由題意，a＝2，則A（﹣2，0），B（2，0），
設(shè)，則點P與點A連線的斜率為，點P與點B連線的斜率為，故，
又因為點P在橢圓C上，故有，
聯(lián)立解得b2＝3，則橢圓C的方程為．
（2）由于點F1，F(xiàn)2關(guān)于原點對稱且l1∥l2，故l1，l2關(guān)于原點對稱，又橢圓關(guān)于原點對稱，所以四邊形MNPQ為平行四邊形；
由（1），知F1（﹣1，0），易知直線MN不能平行于x軸．所以令直線MN的方程為x＝my﹣1，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）．
聯(lián)立方程，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，
所以，．
若MNPQ是菱形，則OM⊥ON，即，于是有，
整理得到，即12m2+5＝0，
上述關(guān)于m的方程顯然沒有實數(shù)解，故四邊形MNPQ不可能是菱形．
[B組]—強基必備
1．已知橢圓Γ：內(nèi)有一定點P（1，1），過點P的兩條直線l1，l2分別與橢圓Γ交于A、C和B、D兩點，且滿足，，若λ變化時，直線CD的斜率總為，則橢圓Γ的離心率為（）
A．B．C．D．
【分析】由向量的坐標(biāo)運算及點差法作差求得：＝﹣?，代入即可求得a和b的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率．
【解答】解：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），
由，即（1﹣x1，1﹣y1）＝λ（x3﹣1，y3﹣1），則x1+λx3＝1+λ，y1+λy3＝1+λ，
由，同理可得：x2+λx4＝1+λ，y2+λy4＝1+λ．
則（y1+y2）+λ（y3+y4）＝（x1+x2）+λ（x3+x4），
將點A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程作差可得：＝﹣?，
由題意可得：AB∥CD，∴kAB＝kCD＝﹣．
則a2（y1+y2）＝4b2（x1+x2）①，
同理可得：a2（y3+y4）＝4b2（x3+x4），
∴λa2（y3+y4）＝4λb2（x3+x4），②
①+②得：a2[（y1+y2）+λ（y3+y4）]＝4b2[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，
∴a2[（x1+x2）+λ（x3+x4）]＝4b2[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，
∴a2＝4b2，
則橢圓的離心率e＝＝＝．
故選：A．
2．已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上不與左右頂點重合的任意一點，I，G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心，當(dāng)IG⊥x軸時，橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【分析】如圖所示，設(shè)P（x0，y0），不妨設(shè)y0＞0．利用三角形重心性質(zhì)可得G（，），根據(jù)IG⊥x軸，可得xI＝．設(shè)三角形內(nèi)切圓的半徑為r．由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得：r（2a+2c）＝?2c?y0．可得r＝＝y(tǒng)I．設(shè)PF1，PF2分別與內(nèi)切圓相切于點D，E．可得PD＝PE＝（2a﹣2c）＝a﹣c．在Rt△PDI中，由勾股定理可得：PD2+ID2＝PI2．化簡整理即可得出．
【解答】解：如圖所示，設(shè)P（x0，y0），不妨設(shè)y0＞0．
F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）．
則G（，），∵IG⊥x軸，∴xI＝．
設(shè)三角形內(nèi)切圓的半徑為r．
由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得：r（2a+2c）＝?2c?y0．
解得r＝，∴yI＝．
設(shè)PF1，PF2分別與內(nèi)切圓相切于點D，E．
則PD＝PE＝（2a﹣2c）＝a﹣c．
在Rt△PDI中，由勾股定理可得：PD2+ID2＝PI2．
∴（a﹣c）2+＝+，
化為：+＝1．
與橢圓比較可得：a2＝，
∴a＝（a﹣c），可得＝．
∴e＝．
故選：A．

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