∴yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，
∴|AB|＝eq \r(?xA－xB?2＋?yA－yB?2)＝eq \r(5)|yA－yB|
＝eq \r(5)×eq \r(?yA＋yB?2－4yAyB)＝4eq \r(15)，
即2p2－p－6＝0，因為p>0，解得p＝2.
(2)因為F(1,0)，顯然直線MN的斜率不可能為零，
設(shè)直線MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x＝my＋n，))可得，y2－4my－4n＝0，
∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，
Δ＝16m2＋16n>0?m2＋n>0，
∵eq \(FM,\s\up6(→))·eq \(FN,\s\up6(→))＝0，∴(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，
即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，
亦即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，
將y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，
4m2＝n2－6n＋1,4(m2＋n)＝(n－1)2>0，
所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2eq \r(2)或n≤3－2eq \r(2).
設(shè)點F到直線MN的距離為d，所以d＝eq \f(|n－1|,\r(1＋m2))，
|MN|＝eq \r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)＝eq \r(1＋m2)|y1－y2|
＝eq \r(1＋m2)eq \r(16m2＋16n)
＝eq \r(1＋m2)eq \r(4?n2－6n＋1?＋16n)＝2eq \r(1＋m2)|n－1|，
所以△MFN的面積S＝eq \f(1,2)×|MN|×d＝eq \f(1,2)×eq \f(|n－1|,\r(1＋m2))×2eq \r(1＋m2)|n－1|＝(n－1)2，
而n≥3＋2eq \r(2)或n≤3－2eq \r(2)，
所以當(dāng)n＝3－2eq \r(2)時，△MFN的面積Smin＝(2－2eq \r(2))2＝12－8eq \r(2).
[解析] (1)解法一：設(shè)H(x，y)為橢圓上任一點，則|PH|＝eq \r(x2＋?y－1?2)＝eq \r(－11\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,11)))2＋\f(144,11))≤eq \f(12\r(11),11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(當(dāng)且僅當(dāng)y＝－\f(1,11)時取等號))
∴|PH|的最大值為eq \f(12\r(11),11).
解法二：設(shè)Q(2eq \r(3)cs θ，sin θ)是橢圓上任意一點，P(0,1)，
則|PQ|2＝12cs2θ＋(1－sin θ)2＝13－11sin2θ－2sin θ＝－11eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ＋\f(1,11)))2＋eq \f(144,11)≤eq \f(144,11)，
當(dāng)且僅當(dāng)sin θ＝－eq \f(1,11)時取等號，故|PQ|的最大值是eq \f(12\r(11),11).
(2)設(shè)直線AB：y＝kx＋eq \f(1,2)，直線AB方程與橢圓eq \f(x2,12)＋y2＝1聯(lián)立，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋\f(1,12)))x2＋kx－eq \f(3,4)＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(k,k2＋\f(1,12))，,x1x2＝－\f(3,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋\f(1,12))))，))
因為直線PA：y＝eq \f(y1－1,x1)x＋1與直線y＝－eq \f(1,2)x＋3交于C，則xC＝eq \f(4x1,x1＋2y1－2)＝eq \f(4x1,?2k＋1?x1－1)，
同理可得，xD＝eq \f(4x2,x2＋2y2－2)＝eq \f(4x2,?2k＋1?x2－1).
則|CD|＝eq \r(1＋\f(1,4))|xC－xD|
＝eq \f(\r(5),2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4x1,?2k＋1?x1－1)－\f(4x2,?2k＋1?x2－1)))
＝2eq \r(5)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x1－x2,[?2k＋1?x1－1][?2k＋1?x2－1])))
＝2eq \r(5)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x1－x2,?2k＋1?2x1x2－?2k＋1??x1＋x2?＋1)))
＝eq \f(3\r(5),2)·eq \f(\r(16k2＋1),|3k＋1|)＝eq \f(6\r(5),5)·eq \f(\r(16k2＋1)\r(\f(9,16)＋1),|3k＋1|)
≥eq \f(6\r(5),5)×eq \f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k×\f(3,4)＋1×1))2),|3k＋1|)＝eq \f(6\r(5),5)，
當(dāng)且僅當(dāng)k＝eq \f(3,16)時取等號，故|CD|的最小值為eq \f(6\r(5),5).
名師點撥：處理圓錐曲線最值問題的求解方法
1．幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法．
2．代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、重要不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等．
【變式訓(xùn)練】
(2024·湖南三湘創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)合體聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，動點P到直線x＝4的距離是它到點M(1,0)的距離的2倍，設(shè)動點P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)直線l：x＝my－1與曲線C交于A，B兩點，求△MAB面積的最大值．

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