2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第53講圓錐曲線的綜合應(yīng)用

知識(shí)梳理
1．幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法
若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來(lái)解決．
2．函數(shù)取值法
當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值(或值域)、常用方法有：(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)單調(diào)性法；(4)三角換元法；(5)導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.
題型歸納
題型1 構(gòu)建目標(biāo)不等式解最值或范圍問(wèn)題
【例1-1】已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq \f(\r(3),3)，且橢圓C過(guò)點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(2),2))).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C分別相交于A，B兩點(diǎn)，且與圓O：x2＋y2＝2相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求|AB|·|EF|2的取值范圍．
【例1-2】設(shè)橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,3)＝1(a>eq \r(3))的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A.已知|OA|－|OF|＝1，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率．
(1)求橢圓的方程及離心率e的值；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍．
【例1-3】已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，其上一點(diǎn)Q到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為4，離心率為eq \f(\r(3),2).
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN恰被直線x＝－eq \f(1,2)平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為y＝kx＋m，求m的取值范圍．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O，離心率等于eq \f(\r(3),2)，以橢圓E的長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的周長(zhǎng)為4eq \r(5).直線l：y＝kx＋m與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓E相交于A，B兩個(gè)點(diǎn)．
(1)求橢圓E的方程；
(2)若eq \(AP,\s\up7(―→))＝3eq \(PB,\s\up7(―→))，求m2的取值范圍．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】已知直線l1：ax－y＋1＝0，直線l2：x＋5ay＋5a＝0，直線l1與l2的交點(diǎn)為M，點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(1)當(dāng)a變化時(shí)，求曲線C的方程；
(2)已知點(diǎn)D(2,0)，過(guò)點(diǎn)E(－2,0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，求△ABD面積的最大值．
【名師指導(dǎo)】
1.利用題目中隱藏的已知參數(shù)的范圍求新參數(shù)的范圍問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系，將新參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為已知參數(shù)的范圍問(wèn)題.
2.利用已知條件中的幾何關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)不等式的核心是用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，從而構(gòu)建出目標(biāo)不等式.
3.(1)利用點(diǎn)在曲線內(nèi)(外)的充要條件構(gòu)建目標(biāo)不等式的核心是抓住目標(biāo)參數(shù)和某點(diǎn)的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)不等式．
(2)利用判別式構(gòu)建目標(biāo)不等式的核心是抓住直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和判別式Δ的關(guān)系建立目標(biāo)不等式
題型2 構(gòu)建函數(shù)模型解最值或范圍問(wèn)題
【例2-1】在平面直角坐標(biāo)系中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O交x軸于點(diǎn)F1，F(xiàn)2，交y軸于點(diǎn)B1，B2.以B1，B2為頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)的橢圓E恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2))).
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2,0)的直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，求△F2MN面積的最大值．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(a,2eq \r(5))在拋物線C上．
(1)若|MF|＝6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線x＋y＝t與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,0)，且滿足NA⊥NB，原點(diǎn)O到直線AB的距離不小于eq \r(2)，求p的取值范圍．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】已知M為橢圓C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為D，點(diǎn)P滿足eq \(PD,\s\up7(―→))＝eq \f(5,3)eq \(MD,\s\up7(―→)).
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
(2)若A，B兩點(diǎn)分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn)，直線PB與橢圓C交于點(diǎn)Q，直線QF，PA的斜率分別為kQF，kPA，求eq \f(kQF,kPA)的取值范圍．
【名師指導(dǎo)】
求圓錐曲線中范圍、最值的2種方法
幾何法
若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)求解
代數(shù)法
若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值、范圍．常用的方法有基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、判別式法等

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