知識(shí)梳理
1．排列、組合的定義
2．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)
題型歸納
題型1排列問(wèn)題
【例1-1】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．
(1)選5人排成一排；
(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；
(3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；
(4)全體排成一排，女生必須站在一起；
(5)全體排成一排，男生互不相鄰．
【解】 (1)從7人中選5人排列，有Aeq \\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2 520(種)．
(2)分兩步完成，先選3人站前排，有Aeq \\al(3,7)種方法，余下4人站后排，有Aeq \\al(4,4)種方法，共有Aeq \\al(3,7)Aeq \\al(4,4)＝5 040(種)．
(3)法一：(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有Aeq \\al(6,6)種排列方法，共有5×Aeq \\al(6,6)＝3 600(種)．
法二：(特殊位置優(yōu)先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有Aeq \\al(2,6)種排法，其他有Aeq \\al(5,5)種排法，共有Aeq \\al(2,6)Aeq \\al(5,5)＝3 600(種)．
(4)(捆綁法)將女生看作一個(gè)整體與3名男生一起全排列，有Aeq \\al(4,4)種方法，再將女生全排列，有Aeq \\al(4,4)種方法，共有Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(4,4)＝576(種)．
(5)(插空法)先排女生，有Aeq \\al(4,4)種方法，再在女生之間及首尾5個(gè)空位中任選3個(gè)空位安排男生，有Aeq \\al(3,5)種方法，共有Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(3,5)＝1 440(種)．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】高三要安排畢業(yè)晚會(huì)的4個(gè)音樂(lè)節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求2個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是( )
A．1 800 B．3 600
C．4 320 D．5 040
【解析】選B 先排除舞蹈節(jié)目以外的5個(gè)節(jié)目，共Aeq \\al(5,5)種，再把2個(gè)舞蹈節(jié)目插在6個(gè)空位中，有Aeq \\al(2,6)種，所以共有Aeq \\al(5,5)Aeq \\al(2,6)＝3 600(種)．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且大于3 000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有( )
A．250個(gè) B．249個(gè)
C．48個(gè) D．24個(gè)
【解析】選C ①當(dāng)千位上的數(shù)字為4時(shí)，滿足條件的四位數(shù)有Aeq \\al(3,4)＝24(個(gè))；②當(dāng)千位上的數(shù)字為3時(shí)，滿足條件的四位數(shù)有Aeq \\al(3,4)＝24(個(gè))．由分類加法計(jì)數(shù)原理得滿足條件的四位數(shù)共有24＋24＝48(個(gè))，故選C.
【跟蹤訓(xùn)練1-3】將7個(gè)人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排頭，乙不能在排尾，丙、丁兩人必須相鄰，則不同的排法共有( )
A．1 108種 B．1 008種
C．960種 D．504種
【解析】選B 將丙、丁兩人進(jìn)行捆綁，看成一人．將6人全排列有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(6,6)種排法；將甲排在排頭，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(5,5)種排法；乙排在排尾，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(5,5)種排法；甲排在排頭，乙排在排尾，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)種排法．則甲不能在排頭，乙不能在排尾，丙、丁兩人必須相鄰的不同排法共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(6,6)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(5,5)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(5,5)＋Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)＝1 008(種)．
【名師指導(dǎo)】
求解排列應(yīng)用問(wèn)題的6種主要方法
題型2組合問(wèn)題
【例2-1】某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．
(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同取法有多少種？
(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同取法有多少種？
(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同取法有多少種？
(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同取法有多少種？
(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同取法有多少種？
【解】 (1)從余下的34種商品中，
選取2種有Ceq \\al(2,34)＝561(種)取法，
所以某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種．
(2)從34種可選商品中，選取3種，
有Ceq \\al(3,34)種或者Ceq \\al(3,35)－Ceq \\al(2,34)＝Ceq \\al(3,34)＝5 984(種)取法．
所以某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5 984種．
(3)從20種真貨中選取1種，
從15種假貨中選取2種有Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)＝2 100(種)取法．
所以恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 100種．
(4)選取2種假貨有Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)種，選取3種假貨有Ceq \\al(3,15)種，
共有選取方式Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)＋Ceq \\al(3,15)＝2 100＋455＝2 555(種)．
所以至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 555種．
(5)法一：(間接法)
選取3種商品的總數(shù)為Ceq \\al(3,35)，因此共有選取方式
Ceq \\al(3,35)－Ceq \\al(3,15)＝6 545－455＝6 090(種)．
所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6 090種．
法二：(直接法)
共有選取方式Ceq \\al(3,20)＋Ceq \\al(2,20)Ceq \\al(1,15)＋Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)＝6 090(種)．
所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6 090種．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】從{1,2,3，…，10}中選取三個(gè)不同的數(shù)，使得其中至少有兩個(gè)相鄰，則不同的選法種數(shù)是( )
A．72 B．70
C．66 D．64
【解析】選D 從{1,2,3，…，10}中選取三個(gè)不同的數(shù)，恰好有兩個(gè)數(shù)相鄰，共有Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,7)＋Ceq \\al(1,7)·Ceq \\al(1,6)＝56種選法，三個(gè)數(shù)相鄰共有Ceq \\al(1,8)＝8種選法，故至少有兩個(gè)數(shù)相鄰共有56＋8＝64種選法．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字作答)
【解析】從2位女生，4位男生中選3人，共有Ceq \\al(3,6)種情況，沒(méi)有女生參加的情況有Ceq \\al(3,4)種，故共有Ceq \\al(3,6)－Ceq \\al(3,4)＝20－4＝16(種)．
【答案】16
【跟蹤訓(xùn)練2-3】在《爸爸去哪兒》第二季第四期中，村長(zhǎng)給6位“萌娃”布置一項(xiàng)搜尋空投食物的任務(wù)．已知：①食物投擲地點(diǎn)有遠(yuǎn)、近兩處；②由于Grace年紀(jì)尚小，所以要么不參與該項(xiàng)任務(wù)，但此時(shí)另需一位小孩在大本營(yíng)陪同，要么參與搜尋近處投擲點(diǎn)的食物；③所有參與搜尋任務(wù)的小孩須被均分成兩組，一組去遠(yuǎn)處，一組去近處．那么不同的搜尋方案有________種．
【解析】若Grace不參與任務(wù)，則需要從剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有Ceq \\al(1,5)種挑法，再?gòu)氖Ｏ碌?位小孩中挑出2位搜尋遠(yuǎn)處，有Ceq \\al(2,4)種挑法，最后剩下的2位小孩搜尋近處，因此一共有Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,4)＝30種搜尋方案；若Grace參與任務(wù)，則其只能去近處，需要從剩下的5位小孩中挑出2位搜尋近處，有Ceq \\al(2,5)種挑法，剩下3位小孩去搜尋遠(yuǎn)處，因此共有Ceq \\al(2,5)＝10種搜尋方案．綜上，一共有30＋10＝40種搜尋方案．
【答案】40
【名師指導(dǎo)】
組合問(wèn)題的2類題型及求解方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外的元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx?。?br>(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．
題型3排列與組合問(wèn)題的綜合應(yīng)用
【例3-1】(1)在高三某班進(jìn)行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能連續(xù)出場(chǎng)，且女生甲不能排第一個(gè)，那么出場(chǎng)的順序的排法種數(shù)為_(kāi)_______．
(2)大數(shù)據(jù)時(shí)代出現(xiàn)了滴滴打車服務(wù)，二胎政策的放開(kāi)使得家庭中有兩個(gè)孩子的現(xiàn)象普遍存在．某城市關(guān)系要好的A，B，C，D四個(gè)家庭各有兩個(gè)孩子共8人，他們準(zhǔn)備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4個(gè)孩子不考慮位置)，其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4個(gè)孩子恰有2個(gè)來(lái)自于同一個(gè)家庭的乘坐方式共有________種．
【解析】 (1)2位男生不能連續(xù)出場(chǎng)的排法共有N1＝Aeq \\al(3,3)×Aeq \\al(2,4)＝72(種)，女生甲排第一個(gè)且2位男生不連續(xù)出場(chǎng)的排法共有N2＝Aeq \\al(2,2)×Aeq \\al(2,3)＝12(種)，所以出場(chǎng)順序的排法種數(shù)為N＝N1－N2＝60.
(2)根據(jù)題意，分兩種情況討論：
①A家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上另外的兩個(gè)孩子要來(lái)自不同的家庭，可以在剩下的三個(gè)家庭中任選2個(gè)，再?gòu)拿總€(gè)家庭的2個(gè)孩子中任選一個(gè)來(lái)乘坐甲車．有Ceq \\al(2,3)×Ceq \\al(1,2)×Ceq \\al(1,2)＝12(種)乘坐方式；
②A家庭的孿生姐妹不在甲車上，需要在剩下的三個(gè)家庭中任選1個(gè)，讓其2個(gè)孩子都在甲車上，對(duì)于剩余的兩個(gè)家庭，從每個(gè)家庭的2個(gè)孩子中任選一個(gè)來(lái)乘坐甲車，有Ceq \\al(1,3)×Ceq \\al(1,2)×Ceq \\al(1,2)＝12(種)乘坐方式，
故共有12＋12＝24(種)乘坐方式．
【答案】 (1)60 (2)24
【例3-2】某學(xué)校舉行校慶文藝晚會(huì)，已知節(jié)目單中共有七個(gè)節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場(chǎng)氣氛，主辦方特地邀請(qǐng)了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個(gè)不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變?cè)瓉?lái)的節(jié)目順序，則不同的安排方式有________種．
【解析】 添入三個(gè)節(jié)目后共十個(gè)節(jié)目，故該題可轉(zhuǎn)化為安排十個(gè)節(jié)目，其中七個(gè)節(jié)目順序固定．這七個(gè)節(jié)目的不同安排方法共有Aeq \\al(7,7)種，添加三個(gè)節(jié)目后，節(jié)目單中共有十個(gè)節(jié)目，先將這十個(gè)節(jié)目進(jìn)行全排列，不同的排列方法有Aeq \\al(10,10)種，而原先七個(gè)節(jié)目的順序一定，故不同的安排方式共有eq \f(A\\al(10,10),A\\al(7,7))＝720(種)．
【答案】 720
【例3-3】(1)國(guó)家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分派方法．
(2)有4名優(yōu)秀學(xué)生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所學(xué)校，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案共有________種．
(3)若將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法．
【解析】 (1)先把6個(gè)畢業(yè)生平均分成3組，有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))＝15(種)方法．再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有Aeq \\al(3,3)＝6(種)方法，故6個(gè)畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))·Aeq \\al(3,3)＝90(種)分派方法．
(2)先把4名學(xué)生分為2,1,1共3組，有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))＝6(種)分法，再將3組對(duì)應(yīng)3個(gè)學(xué)校，有Aeq \\al(3,3)＝6(種)情況，則共有6×6＝36(種)不同的保送方案．
(3)將6名教師分組，分三步完成：
第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有Ceq \\al(1,6)種取法；
第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有Ceq \\al(2,5)種取法；
第3步，余下的3名教師作為一組，有Ceq \\al(3,3)種取法．
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,3)＝60種取法．
再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有Aeq \\al(3,3)＝6種分法，
故共有60×6＝360種不同的分法．
【答案】 (1)90 (2)36 (3)360
【跟蹤訓(xùn)練3-1】某學(xué)校獲得5個(gè)高校自主招生推薦名額，其中甲大學(xué)2個(gè)，乙大學(xué)2個(gè)，丙大學(xué)1個(gè)，并且甲大學(xué)和乙大學(xué)都要求必須有男生參加，學(xué)校通過(guò)選拔定下3男2女共5個(gè)推薦對(duì)象，則不同的推薦方法共有( )
A．36種 B．24種
C．22種 D．20種
【解析】選B 根據(jù)題意，分兩種情況討論：第一種，3名男生每個(gè)大學(xué)各推薦1人，2名女生分別推薦給甲大學(xué)和乙大學(xué)，共有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)＝12種推薦方法；第二種，將3名男生分成兩組分別推薦給甲大學(xué)和乙大學(xué)，共有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝12種推薦方法．故共有24種推薦方法．
【跟蹤訓(xùn)練3-2】第十四屆全國(guó)運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2021年在陜西舉辦，為宣傳地方特色，某電視臺(tái)派出3名男記者和2名女記者到民間進(jìn)行采訪報(bào)導(dǎo)．工作過(guò)程中的任務(wù)劃分為：“負(fù)重扛機(jī)”，“對(duì)象采訪”，“文稿編寫(xiě)”，“編制剪輯”四項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少一人參加，但2名女記者不參加“負(fù)重扛機(jī)”工作，則不同的安排方案數(shù)共有( )
A．150 B．126
C．90 D．54
【解析】選B 根據(jù)題意，“負(fù)重扛機(jī)”可由1名男記者或2名男記者參加，當(dāng)由1名男記者參加“負(fù)重扛機(jī)”工作時(shí)，有Ceq \\al(1,3)種方法，剩余2男2女記者可分為3組參加其余三項(xiàng)工作，共有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),A\\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)種方法，故由1名男記者參加“負(fù)重扛機(jī)”工作時(shí)，有Ceq \\al(1,3)·eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),A\\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)種方法；當(dāng)由2名男記者參加“負(fù)重扛機(jī)”工作時(shí)，剩余1男2女3名記者各參加一項(xiàng)工作，有Ceq \\al(2,3)·Aeq \\al(3,3)種方法．故滿足題意的不同安排方案數(shù)共有Ceq \\al(1,3)·eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),A\\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)·Aeq \\al(3,3)＝108＋18＝126.故選B.
【跟蹤訓(xùn)練3-3】冬季供暖就要開(kāi)始，現(xiàn)分配出5名水暖工去3個(gè)不同的居民小區(qū)檢查暖氣管道，每名水暖工只去一個(gè)小區(qū)，且每個(gè)小區(qū)都要有人去檢查，那么分配的方案共有______種．
【解析】5名水暖工去3個(gè)不同的居民小區(qū)，每名水暖工只去一個(gè)小區(qū)，且每個(gè)小區(qū)都要有人去檢查，5名水暖工分組方案為3,1,1和1,2,2，則分配的方案共有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C\\al(3,5)C\\al(1,2),2)＋\f(C\\al(1,5)C\\al(2,4),2)))·Aeq \\al(3,3)＝150(種)．
【答案】150
【名師指導(dǎo)】
一、解排列、組合問(wèn)題要遵循的兩個(gè)原則
(1)按元素(位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；
(2)按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步．具體地說(shuō)，解排列、組合問(wèn)題常以元素(位置)為主體，即先滿足特殊元素(位置)，再考慮其他元素(位置)．
二、解定序排列問(wèn)題的方法
定序問(wèn)題，消序處理，即先不考慮順序限制，整體進(jìn)行排列后，再除以定序元素的全排列．
對(duì)于某些順序一定的元素(m個(gè))的排列問(wèn)題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個(gè))進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)Aeq \\al(n,n)除以m個(gè)順序一定的元素之間的全排列數(shù)Aeq \\al(m,m)，即得到不同排法種eq \f(A\\al(n,n),A\\al(m,m))＝Aeq \\al(n－m,n).
三、分組、分配問(wèn)題的求解策略
1．對(duì)不同元素的分配問(wèn)題
(1)對(duì)于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．
(2)對(duì)于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組，就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．
(3)對(duì)于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．
2．對(duì)于相同元素的“分配”問(wèn)題，常用方法是采用“隔板法”．排列的定義
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素
按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列
組合的定義
合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合
排列數(shù)
組合數(shù)
定義
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)
公式
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,?n－m?！)
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)
性質(zhì)
Aeq \\al(n,n)＝n！，0！＝1
Ceq \\al(0,n)＝1，Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)，Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)
直接法
把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算
優(yōu)先法
優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法
把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列
插空法
對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中
定序問(wèn)題除法處理
對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
間接法
正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法

相關(guān)試卷

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第50講雙曲線（教師版）：

這是一份2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第50講雙曲線（教師版），共9頁(yè)。試卷主要包含了雙曲線的定義，雙曲線的幾何性質(zhì)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第46講圓的方程（教師版）：

這是一份2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第46講圓的方程（教師版），共9頁(yè)。試卷主要包含了圓的定義與方程，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，確定圓心位置的方法等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第01講集合（教師版）：

這是一份2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第01講集合（教師版），共9頁(yè)。試卷主要包含了集合的有關(guān)概念，集合間的基本關(guān)系，集合間的基本運(yùn)算等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第12講函數(shù)與方程（教師版）

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第12講函數(shù)與方程（教師版）
2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第32講復(fù)數(shù)（教師版）

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第32講復(fù)數(shù)（教師版）
2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第36講數(shù)列求和（教師版）

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第36講數(shù)列求和（教師版）
第56講 排列與組合（講） 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納 （學(xué)生版+教師版）

第56講 排列與組合（講） 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納 （學(xué)生版+教師版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部