【考綱要求】
1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求簡單函數(shù)的定義域和值域.
2.在實(shí)際情景中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).
3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.
【考點(diǎn)預(yù)測】
1.函數(shù)的概念
2.同一個函數(shù)
(1)前提條件：①定義域相同；②對應(yīng)關(guān)系相同.
(2)結(jié)論：這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).
3.函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.
4.分段函數(shù)
(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)表示的是一個函數(shù).
(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集.
【常用結(jié)論】
1.直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f(x)的圖象至多有1個交點(diǎn).
2.注意以下幾個特殊函數(shù)的定義域：
(1)分式型函數(shù)，分母不為零的實(shí)數(shù)集合.
(2)偶次方根型函數(shù)，被開方式非負(fù)的實(shí)數(shù)集合.
(3)f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實(shí)數(shù)集合.
(4)若f(x)＝x0，則定義域?yàn)閧x|x≠0}.
(5)正切函數(shù)y＝tan x的定義域?yàn)閑q \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
【方法技巧】
1.函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A中的任何一個元素在非空數(shù)集B中有且只有一個元素與之對應(yīng)，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應(yīng)的元素.
2.構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同
3.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法
求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對于實(shí)際問題，定義域應(yīng)使實(shí)際問題有意義.
4.求抽象函數(shù)定義域的方法
(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域.
5.函數(shù)解析式的求法
(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式.
(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法.
(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.
(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))或f(－x)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).
6.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.
7.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.
二、【題型歸類】
【題型一】判斷兩個函數(shù)是否相等
【典例1】已知函數(shù)f(x)＝|x－1|，則下列函數(shù)中與f(x)相等的函數(shù)是( )
A．g(x)＝eq \f(|x2－1|,|x＋1|)
B．g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(|x2－1|,|x＋1|)，x≠－1，,2，x＝－1))
C．g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1，x＞0，,1－x，x≤0))
D．g(x)＝x－1
【解析】∵g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(|x2－1|,|x＋1|)＝|x－1|，x≠－1，,2，x＝－1)) 與f(x)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，故選B.
【典例2】下列各組函數(shù)中，是同一函數(shù)的是( )
A．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝eq \r(3,x3)
B．f(x)＝eq \f(|x|,x)，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x≥0，,－1，x＜0))
C．f(x)＝eq \r(2n＋1,x2n＋1)，g(x)＝(eq \r(2n－1,x))2n－1，n∈N*
D．f(x)＝eq \r(x)·eq \r(x＋1)，g(x)＝eq \r(x（x＋1）)
【解析】對于A，f(x)＝eq \r(x2)＝|x|，g(x)＝eq \r(3,x3)＝x，它們的值域和對應(yīng)關(guān)系都不同，所以不是同一函數(shù)；對于B，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定義域?yàn)镽，所以不是同一函數(shù)；對于C，當(dāng)n∈N*時，2n±1為奇數(shù)，則f(x)＝eq \r(2n＋1,x2n＋1)＝x，g(x)＝(eq \r(2n－1,x))2n－1＝x，它們的定義域、對應(yīng)關(guān)系都相同，所以是同一函數(shù)；對于D，f(x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，而g(x)的定義域?yàn)?－∞，－1]∪[0，＋∞)，它們的定義域不同，所以不是同一函數(shù)．故選C.
【典例3】(多選)下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是( )
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝eq \f(x2－1,x＋1)
C．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x0，,x＋1≠1，,4－x2≥0，))
解得－10，,x2＋6x≥0，))
解得x>2或x≤－6.
因此函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，－6]∪(2，＋∞)．故選B.
【典例3】函數(shù)f(x)＝eq \f(1,\r(1－4x2))＋ln(3x－1)的定義域?yàn)? )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
【解析】要使函數(shù)f(x)＝eq \f(1,\r(1－4x2))＋ln(3x－1)有意義，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－4x2>0，,3x－1>0))?eq \f(1,3)0，))則下列結(jié)論中正確的是( )
A．f(－2)＝4 B．若f(m)＝9，則m＝±3
C．f(x)是偶函數(shù) D．f(x)在R上單調(diào)遞減
【解析】由于－20知m≤0且m2＝9，因此m＝－3，故B選項(xiàng)錯誤；由f(x)的圖象(圖略)可知f(x)是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減，故C選項(xiàng)錯誤，D選項(xiàng)正確．故選AD.
12. 已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2（x－1），x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≤1，))則下列結(jié)論正確的是( )
A．f(f(1))＝eq \f(\r(2),2) B．f(f(－1))＝eq \f(1,2)
C．f(f(0))＝eq \f(1,2) D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,19)))))＝19
【解析】f(f(1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2)，選項(xiàng)A正確；f(f(－1))＝f(2)＝0≠eq \f(1,2)，選項(xiàng)B不正確；f(f(0))＝f(1)＝eq \f(1,2)，選項(xiàng)C正確；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,19)))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(1,19)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(lg2\f(1,19))＝2eq \s\up12(lg2\f(1,19))＝19，選項(xiàng)D正確．
故選ACD.
【填空題】
13. 若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[－1，2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式為________．
【解析】由題圖可知，當(dāng)－1≤x

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