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專題06 函數(shù)及其表示
知識(shí)梳理
考綱要求
考點(diǎn)預(yù)測(cè)
常用結(jié)論
方法技巧


題型歸類
題型一：判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等
題型二：求具體函數(shù)定義域
題型三：求抽象函數(shù)定義域
題型四：求函數(shù)的解析式
題型五：求常見函數(shù)的值域
題型六：求分段函數(shù)的函數(shù)值
題型七：分段函數(shù)與方程、不等式問(wèn)題

培優(yōu)訓(xùn)練
訓(xùn)練一：
訓(xùn)練二：
訓(xùn)練三：
訓(xùn)練四：
訓(xùn)練五：
訓(xùn)練六：
強(qiáng)化測(cè)試
單選題：共8題
多選題：共4題
填空題：共4題
解答題：共6題
一、【知識(shí)梳理】
【考綱要求】
1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域.
2.在實(shí)際情景中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).
3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1.函數(shù)的概念
概念
一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)
三要素
對(duì)應(yīng)關(guān)系
y＝f(x)，x∈A
定義域
x的取值范圍
值域
與x對(duì)應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一個(gè)函數(shù)
(1)前提條件：①定義域相同；②對(duì)應(yīng)關(guān)系相同.
(2)結(jié)論：這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù).
3.函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.
4.分段函數(shù)
(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)表示的是一個(gè)函數(shù).
(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集.
【常用結(jié)論】
1.直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f(x)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).
2.注意以下幾個(gè)特殊函數(shù)的定義域：
(1)分式型函數(shù)，分母不為零的實(shí)數(shù)集合.
(2)偶次方根型函數(shù)，被開方式非負(fù)的實(shí)數(shù)集合.
(3)f(x)為對(duì)數(shù)式時(shí)，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實(shí)數(shù)集合.
(4)若f(x)＝x0，則定義域?yàn)閧x|x≠0}.
(5)正切函數(shù)y＝tan x的定義域?yàn)?
【方法技巧】
1.函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A中的任何一個(gè)元素在非空數(shù)集B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，即可以“多對(duì)一”，不能“一對(duì)多”，而B中有可能存在與A中元素不對(duì)應(yīng)的元素.
2.構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同
3.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法
求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，定義域應(yīng)使實(shí)際問(wèn)題有意義.
4.求抽象函數(shù)定義域的方法
(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域.
5.函數(shù)解析式的求法
(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式.
(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法.
(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍.
(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出f(x).
6.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.
7.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.
二、【題型歸類】
【題型一】判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等
【典例1】已知函數(shù)f(x)＝|x－1|，則下列函數(shù)中與f(x)相等的函數(shù)是(　　)
A．g(x)＝
B．g(x)＝
C．g(x)＝
D．g(x)＝x－1
【解析】∵g(x)＝ 與f(x)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，故選B.
【典例2】下列各組函數(shù)中，是同一函數(shù)的是(　　)
A．f(x)＝，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝()2n－1，n∈N*
D．f(x)＝·，g(x)＝
【解析】對(duì)于A，f(x)＝＝|x|，g(x)＝＝x，它們的值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都不同，所以不是同一函數(shù)；對(duì)于B，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定義域?yàn)镽，所以不是同一函數(shù)；對(duì)于C，當(dāng)n∈N*時(shí)，2n±1為奇數(shù)，則f(x)＝＝x，g(x)＝()2n－1＝x，它們的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，所以是同一函數(shù)；對(duì)于D，f(x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，而g(x)的定義域?yàn)?－∞，－1]∪[0，＋∞)，它們的定義域不同，所以不是同一函數(shù)．故選C.
【典例3】(多選)下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x
【解析】AC正確，B定義域不同，D對(duì)應(yīng)法則不同.故選AC.
【題型二】求具體函數(shù)定義域
【典例1】函數(shù)f(x)＝1lnx+1＋的定義域?yàn)?　　)
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
【解析】要使函數(shù)有意義，
則需
解得－12或x≤－6.
因此函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，－6]∪(2，＋∞)．故選B.
【典例3】函數(shù)f(x)＝＋ln(3x－1)的定義域?yàn)?　　)
A. B.
C. D.
【解析】要使函數(shù)f(x)＝＋ln(3x－1)有意義，
則?

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