【考綱要求】
1.通過實例分析，了解平均變化率、瞬時變化率，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.
2.通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
3.了解利用導(dǎo)數(shù)定義求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
5.能求簡單的復(fù)合函數(shù)(形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù).
【考點預(yù)測】
1.導(dǎo)數(shù)的概念
(1)如果當(dāng)Δx→0時，平均變化率eq \f(Δy,Δx)無限趨近于一個確定的值，即eq \f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱瞬時變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT ＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT .
(2)當(dāng)x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數(shù)，當(dāng)x變化時，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))，記為f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y(tǒng)′＝
eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).
2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
4.導(dǎo)數(shù)的運算法則
若f′(x)，g′(x)存在，則有：
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x).
5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)
(1)一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)與u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x)).
(2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.
【常用結(jié)論】
1.f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，則(f(x0))′＝0.
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,f（x）)))′＝－eq \f(f′（x）,[f（x）]2)(f(x)≠0).
3.曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.
4.函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.
【方法技巧】
1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo).
2.抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.
3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元.
4.求曲線在點P(x0，y0)處的切線，則表明P點是切點，只需求出函數(shù)在P處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點斜式寫出切線方程，若在該點P處的導(dǎo)數(shù)不存在，則切線垂直于x軸，切線方程為x＝x0.
5.求曲線的切線方程要分清“在點處”與“過點處”的切線方程的不同.過點處的切點坐標(biāo)不知道，要設(shè)出切點坐標(biāo)，根據(jù)斜率相等建立方程(組)求解，求出切點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
6.處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常利用曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)：
(1)切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；
(2)切點在切線上，故滿足切線方程；
(3)切點在曲線上，故滿足曲線方程.
7.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)問題時，注意利用數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法.
二、【題型歸類】
【題型一】導(dǎo)數(shù)的概念
【典例1】已知函數(shù)h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)計算從x＝1到x＝1＋Δx的平均變化率，其中Δx的值為①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)根據(jù)(1)中的計算，當(dāng)Δx越來越小時，函數(shù)h(x)在區(qū)間[1，1＋Δx]上的平均變化率有怎樣的變化趨勢？
【解析】(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(huán)(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，
∴eq \f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3.
①當(dāng)Δx＝2時，eq \f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；
②當(dāng)Δx＝1時，eq \f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；
③當(dāng)Δx＝0.1時，eq \f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；
④當(dāng)Δx＝0.01時，eq \f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
(2)當(dāng)Δx越來越小時，函數(shù)h(x)在區(qū)間[1，1＋Δx]上的平均變化率逐漸變大，并接近于－3.3.
【典例2】利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)＝－x2＋3x在x＝2處的導(dǎo)數(shù).
【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在x＝2處的導(dǎo)數(shù)f′(2)=eq \(lim,,\s\d6(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT eq \f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)，
而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，
于是f′(2)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT eq \(lim,,\s\d6(Δx→0))eq \f(－（Δx）2－Δx,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT eq \(lim,,\s\d6(Δx→0))(－Δx－1)＝－1.
【典例3】已知f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝k，求下列各式的值：
(1) eq \(lim,,\s\d6(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT eq \f(f（x0）－f（x0－Δx）,2Δx)；
(2)eq \(lim,,\s\d6(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx).
【解析】(1)∵eq \(lim,,\s\d6(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT eq \f(f（x0）－f（x0－Δx）,x0－（x0－Δx）)＝f′(x0)，
即eq \(lim,,\s\d6(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT eq \f(f（x0）－f（x0－Δx）,Δx)＝f′(x0)＝k.
∴eq \(lim,,\s\d6(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT eq \f(f（x0）－f（x0－Δx）,2Δx)＝eq \f(k,2).
(2)∵eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,（x0＋Δx）－（x0－Δx）)，
即eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[x0－Δx，x0＋Δx]上的平均變化率.
∴當(dāng)Δx→0時，eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx)必趨于f′(x0)＝k，
∴eq \(lim,,\s\d6(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,2Δx)＝k，
∴eq \(lim,,\s\d6(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx)＝2k.
【題型二】導(dǎo)數(shù)的運算
【典例1】(多選)下列求導(dǎo)運算正確的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,xln2x)
B．(x2ex)′＝2x＋ex
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))′＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)
【解析】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,ln2x)·(ln x)′＝－eq \f(1,xln2x)，
故A正確；
(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B錯誤；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))′＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，故C錯誤；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)，故D正確．
故選AD.
【典例2】函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))sin x，則f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________.
【解析】f′(x)＝2x＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))cs x，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \f(2π,3)＋eq \f(1,2)f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \f(4π,3)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \f(π2,36)＋eq \f(2π,3).
【典例3】已知函數(shù)f′(x)＝exsin x＋excs x，則f(2 021)－f(0)等于( )
A．e2 021cs 2 021 B．e2 021sin 2 021
C.eq \f(e,2) D．e
【解析】因為f′(x)＝exsin x＋excs x，
所以f(x)＝exsin x＋k(k為常數(shù))，
所以f(2 021)－f(0)＝e2 021sin 2 021.
【題型三】求切線方程
【典例1】曲線y＝eq \f(2x－1,x＋2)在點(－1，－3)處的切線方程為__________．
【解析】y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x－1,x＋2)))′＝eq \f(2?x＋2?－?2x－1?,?x＋2?2)＝eq \f(5,?x＋2?2)，所以y′|x＝－1＝eq \f(5,?－1＋2?2)＝5，所以切線方程為y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.
【典例2】已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過點(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為______________．
【解析】∵點(0，－1)不在曲線f(x)＝xln x上，
∴設(shè)切點為(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x，
∴直線l的方程為y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝x0ln x0，,y0＋1＝?1＋ln x0?x0，))解得x0＝1，y0＝0.
∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.
【典例3】已知曲線y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3).
(1)求滿足斜率為1的曲線的切線方程；
(2)求曲線在點P(2，4)處的切線方程；
(3)求曲線過點P(2，4)的切線方程．
【解析】(1)y′＝x2，設(shè)切點為(x0，y0)，
故切線的斜率為k＝xeq \\al(2,0)＝1，
解得x0＝±1，故切點為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))，(－1，1)．
故所求切線方程為y－eq \f(5,3)＝x－1和y－1＝x＋1，
即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.
(2)∵y′＝x2，且P(2，4)在曲線y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)上，
∴在點P(2，4)處的切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝2＝4.
∴曲線在點P(2，4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(3)設(shè)曲線y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)與過點P(2，4)的切線相切于點Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(1,3)xeq \\al(3,0)＋\f(4,3)))，又∵切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝x0＝xeq \\al(2,0)，
∴切線方程為y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)xeq \\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq \\al(2,0)(x－x0)，
即y＝xeq \\al(2,0)x－eq \f(2,3)xeq \\al(3,0)＋eq \f(4,3).
∵點P(2，4)在切線上，∴4＝2xeq \\al(2,0)－eq \f(2,3)xeq \\al(3,0)＋eq \f(4,3)，
即xeq \\al(3,0)－3xeq \\al(2,0)＋4＝0，∴xeq \\al(3,0)＋xeq \\al(2,0)－4xeq \\al(2,0)＋4＝0，
∴xeq \\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，
故所求的切線方程為4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
【題型四】求參數(shù)的值(范圍)
【典例1】直線y＝kx＋1與曲線f(x)＝aln x＋b相切于點P(1,2)，則2a＋b等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】∵直線y＝kx＋1與曲線f(x)＝aln x＋b相切于點P(1,2)，
將P(1,2)代入y＝kx＋1，
可得k＋1＝2，解得k＝1，
∵ f(x)＝aln x＋b，∴ f′(x)＝eq \f(a,x)，
由f′(1)＝eq \f(a,1)＝1，
解得a＝1，可得f(x)＝ln x＋b，
∵P(1,2)在曲線f(x)＝ln x＋b上，
∴f(1)＝ln 1＋b＝2，
解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.
【典例2】已知f(x)＝ln x，g(x)＝eq \f(1,2)x2＋mx＋eq \f(7,2)(m0，
∴切線方程為y＝ (x－x0＋1)，
又P(1，e)在切線上，
∴ (2－x0)＝e，
即eq \f(e,a)＝ (2－x0)有兩個不同的解，
令φ(x)＝ex(2－x)，
∴φ′(x)＝(1－x)ex，
當(dāng)x∈(－∞，1)時，φ′(x)>0；
當(dāng)x∈(1，＋∞)時，φ′(x)0)，得y′＝2ax，
由y＝ex，得y′＝ex，
曲線C1：y＝ax2(a>0)與曲線C2：y＝ex存在公共切線，
設(shè)公切線與曲線C1切于點(x1，axeq \\al(2,1))，
與曲線C2切于點(x2，)，
則2ax1＝
可得2x2＝x1＋2，
∴a＝，
記f(x)＝，
則f′(x)＝，
當(dāng)x∈(0,2)時，f′(x)0，f(x)單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x＝2時，f(x)min＝eq \f(e2,4).
∴a的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e2,4)，＋∞)).
【典例3】若f(x)＝ln x與g(x)＝x2＋ax兩個函數(shù)的圖象有一條與直線y＝x平行的公共切線，則a等于( )
A．1 B．2 C．3 D．3或－1
【解析】設(shè)在函數(shù)f(x)＝ln x處的切點為(x，y)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到k＝eq \f(1,x)＝1，
解得x＝1，故切點為(1,0)，可求出切線方程為y＝x－1，此切線和g(x)＝x2＋ax也相切，
故x2＋ax＝x－1，
化簡得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要滿足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.
故選D.
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】若曲線y＝eq \f(1,4)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)cs2x在A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點處的切線互相垂直，則|x1－x2|的最小值為( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C.eq \f(2π,3) D．π
【解析】∵y＝eq \f(1,4)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)cs2x
＝eq \f(1,4)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(1＋cs 2x,2)
＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋eq \f(\r(3),4)，
∴y′＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
∴曲線的切線斜率在[－1,1]范圍內(nèi)，
又曲線在兩點處的切線互相垂直，
故在A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點處的切線斜率必須一個是1，一個是－1.
不妨設(shè)在A點處切線的斜率為1，
則有2x1＋eq \f(π,3)＝2k1π(k1∈Z)，
2x2＋eq \f(π,3)＝2k2π＋π(k2∈Z)，則可得x1－x2＝(k1－k2)π－eq \f(π,2)＝kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，
∴|x1－x2|min＝eq \f(π,2).
故選B.
【訓(xùn)練二】已知曲線C1：y＝ex＋m，C2：y＝x2，若恰好存在兩條直線l1，l2與C1，C2都相切，則實數(shù)m的取值范圍是____________．
【解析】由題意知，l1，l2的斜率存在，
設(shè)直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，設(shè)l1與C1，C2的切點坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k1＝＝2x2?k1>0?，,k1x1＋b1＝，,k1x2＋b1＝x\\al(2,2)，))
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝ln k1－m，,x2＝\f(k1,2)，,k1?x2－x1?＝x\\al(2,2)－，))
故k1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k1,2)－ln k1＋m))＝eq \f(k\\al(2,1),4)－k1，
整理得m＝ln k1－eq \f(k1,4)－1，
同理可得，當(dāng)直線l2：y＝k2x＋b2與C1，C2都相切時，
有m＝ln k2－eq \f(k2,4)－1，
綜上所述，只需m＝ln k－eq \f(k,4)－1(k>0)有兩解，
令f(k)＝ln k－eq \f(k,4)－1，
則f′(k)＝eq \f(1,k)－eq \f(1,4)＝eq \f(4－k,4k)，
故當(dāng)f′(k)>0時，0

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2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強化測試專題32平面向量的概念及線性運算（教師版）：

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2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強化測試專題35復(fù)數(shù)（教師版）：

這是一份2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強化測試專題35復(fù)數(shù)（教師版），共12頁。試卷主要包含了【知識梳理】，【題型歸類】，【培優(yōu)訓(xùn)練】，【強化測試】等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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