【考綱要求】
1.借助函數圖象，了解函數在某點取得極值的必要和充分條件.
2.會用導數求函數的極大值、極小值.
3.會求閉區(qū)間上函數的最大值、最小值．
【考點預測】
1.函數的極值
(1)函數的極小值：
函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0.則a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值.
(2)函數的極大值：
函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0.則b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值.
(3)極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值.
2.函數的最大(小)值
(1)函數f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：
如果在區(qū)間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟：
①求函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；
②將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.
【常用結論】
1.求最值時，應注意極值點和所給區(qū)間的關系，關系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值就是最值.
2.函數最值是“整體”概念，而函數極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關系.
【方法技巧】
1.由圖象判斷函數y＝f(x)的極值，要抓住兩點：
(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點，可得函數y＝f(x)的可能極值點；
(2)由導函數y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負，從而可得函數y＝f(x)的單調性.兩者結合可得極值點.
2.運用導數求函數f(x)極值的一般步驟：
(1)確定函數f(x)的定義域；
(2)求導數f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函數定義域內的所有根；
(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側值的符號；
(5)求出極值.
3.已知函數極值，確定函數解析式中的參數時，要注意：根據極值點的導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解.
4.導數值為0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數法求解后必須檢驗.
5.利用導數求函數f(x)在[a，b]上的最值的一般步驟：
(1)求函數在(a，b)內的極值.
(2)求函數在區(qū)間端點處的函數值f(a)，f(b).
(3)將函數f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.
6.求函數在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值.
二、【題型歸類】
【題型一】根據函數圖象判斷極值
【典例1】(多選)設函數f(x)在R上可導，其導函數為f′(x)，且函數g(x)＝xf′(x)的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是( )
A．f(x)有兩個極值點
B．f(0)為函數的極大值
C．f(x)有兩個極小值
D．f(－1)為f(x)的極小值
【解析】由題圖知，當x∈(－∞，－2)時，g(x)>0，
∴f′(x)0，x－10，f(x)單調遞增；
當x∈(3，＋∞)時，y0?f′(x)0)，
當a－1≤0，即a≤1時，f′(x)>0，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，無極小值．
當a－1>0，即a>1時，由f′(x)1時，f(x)極小值＝1＋ln(a－1)．
【典例2】已知函數f(x)＝x3＋6ln x，f′(x)為f(x)的導函數．
(1)求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)求函數g(x)＝f(x)－f′(x)＋eq \f(9,x)的單調區(qū)間和極值．
【解析】(1)因為f(x)＝x3＋6ln x，所以f′(x)＝3x2＋eq \f(6,x).可得f(1)＝1，f′(1)＝9，所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－1＝9(x－1)，即y＝9x－8.
(2)依題意，g(x)＝x3－3x2＋6ln x＋eq \f(3,x)，x∈(0，＋∞)．從而可得g′(x)＝3x2－6x＋eq \f(6,x)－eq \f(3,x2)，整理可得g′(x)＝eq \f(3（x－1）3（x＋1）,x2).令g′(x)＝0，解得x＝1.
當x變化時，g′(x)，g(x)的變化情況如表所示：
所以函數g(x)的單調遞減區(qū)間為(0，1)，單調遞增區(qū)間為(1，＋∞)；g(x)的極小值為g(1)＝1，無極大值．
【典例3】已知函數f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函數f(x)的極值．
【解析】因為f(x)＝x2－1－2aln x(x>0)，
所以f′(x)＝2x－eq \f(2a,x)＝eq \f(2?x2－a?,x).
①當a0，且x2－a>0，所以f′(x)>0對x>0恒成立．所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，f(x)無極值．
②當a>0時，令f′(x)＝0，解得x1＝eq \r(a)，x2＝－eq \r(a)(舍去)．
所以當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
所以當x＝eq \r(a)時，f(x)取得極小值，且f(eq \r(a))＝(eq \r(a))2－1－2aln eq \r(a)＝a－1－aln a．無極大值．
綜上，當a0時，函數f(x)在x＝eq \r(a)處取得極小值a－1－aln a，無極大值．
【題型三】已知函數的極值求參數值(范圍)
【典例1】函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，則a＋b等于( )
A．－7 B．0
C．－7或0 D．－15或6
【解析】由題意知，函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，
可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因為f(x)在x＝1處取得極值10，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′?1?＝3＋2a＋b＝0，,f?1?＝1＋a＋b＋a2＝10，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝－11，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝3，))
檢驗知，當a＝－3，b＝3時，
可得f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
此時函數f(x)單調遞增，函數無極值點，不符合題意；
當a＝4，b＝－11時，可得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，
當x1時，
f′(x)>0，f(x)單調遞增；
當－eq \f(11,3)

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