【考綱要求】
1.通過實例分析，了解平均變化率、瞬時變化率，了解導數(shù)概念的實際背景.
2.通過函數(shù)圖象，理解導數(shù)的幾何意義.
3.了解利用導數(shù)定義求基本初等函數(shù)的導數(shù).
4.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù).
5.能求簡單的復合函數(shù)(形如f(ax＋b))的導數(shù).
【考點預測】
1.導數(shù)的概念
(1)如果當Δx→0時，平均變化率eq \f(Δy,Δx)無限趨近于一個確定的值，即eq \f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)(也稱瞬時變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT ＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT .
(2)當x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數(shù)，當x變化時，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù))，記為f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y(tǒng)′＝
eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).
2.導數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
4.導數(shù)的運算法則
若f′(x)，g′(x)存在，則有：
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x).
5.復合函數(shù)的定義及其導數(shù)
(1)一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)與u＝g(x)的復合函數(shù)，記作y＝f(g(x)).
(2)復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.
【常用結(jié)論】
1.f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導數(shù)，則(f(x0))′＝0.
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,f（x）)))′＝－eq \f(f′（x）,[f（x）]2)(f(x)≠0).
3.曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.
4.函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.
【方法技巧】
1.求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導.
2.抽象函數(shù)求導，恰當賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.
3.復合函數(shù)求導，應由外到內(nèi)逐層求導，必要時要進行換元.
4.求曲線在點P(x0，y0)處的切線，則表明P點是切點，只需求出函數(shù)在P處的導數(shù)，然后利用點斜式寫出切線方程，若在該點P處的導數(shù)不存在，則切線垂直于x軸，切線方程為x＝x0.
5.求曲線的切線方程要分清“在點處”與“過點處”的切線方程的不同.過點處的切點坐標不知道，要設(shè)出切點坐標，根據(jù)斜率相等建立方程(組)求解，求出切點坐標是解題的關(guān)鍵.
6.處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常利用曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)：
(1)切點處的導數(shù)是切線的斜率；
(2)切點在切線上，故滿足切線方程；
(3)切點在曲線上，故滿足曲線方程.
7.利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)問題時，注意利用數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法.
二、【題型歸類】
【題型一】導數(shù)的概念
【典例1】已知函數(shù)h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)計算從x＝1到x＝1＋Δx的平均變化率，其中Δx的值為①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)根據(jù)(1)中的計算，當Δx越來越小時，函數(shù)h(x)在區(qū)間[1，1＋Δx]上的平均變化率有怎樣的變化趨勢？
【典例2】利用導數(shù)的定義求函數(shù)f(x)＝－x2＋3x在x＝2處的導數(shù).
【典例3】已知f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)＝k，求下列各式的值：
(1) eq \(lim,,\s\d6(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT eq \f(f（x0）－f（x0－Δx）,2Δx)；
(2)eq \(lim,,\s\d6(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) \* MERGEFORMAT eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx).
【題型二】導數(shù)的運算
【典例1】(多選)下列求導運算正確的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,xln2x)
B．(x2ex)′＝2x＋ex
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))′＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)
【典例2】函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))sin x，則f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________.
【典例3】已知函數(shù)f′(x)＝exsin x＋excs x，則f(2 021)－f(0)等于( )
A．e2 021cs 2 021 B．e2 021sin 2 021
C.eq \f(e,2) D．e
【題型三】求切線方程
【典例1】曲線y＝eq \f(2x－1,x＋2)在點(－1，－3)處的切線方程為__________．
【典例2】已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過點(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為______________．
【典例3】已知曲線y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3).
(1)求滿足斜率為1的曲線的切線方程；
(2)求曲線在點P(2，4)處的切線方程；
(3)求曲線過點P(2，4)的切線方程．
【題型四】求參數(shù)的值(范圍)
【典例1】直線y＝kx＋1與曲線f(x)＝aln x＋b相切于點P(1,2)，則2a＋b等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【典例2】已知f(x)＝ln x，g(x)＝eq \f(1,2)x2＋mx＋eq \f(7,2)(m0)的切線，恰有2條，則實數(shù)a的取值范圍是________．
【題型五】導數(shù)與函數(shù)圖象
【典例1】已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是( )

【典例2】已知y＝f(x)是可導函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)＝______.
【典例3】已知y＝f(x)是可導函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)等于( )
A．－1 B．0 C．2 D．4
【題型六】與兩曲線的公切線有關(guān)的問題
【典例1】已知函數(shù)f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直線l與f(x)的圖象相切于點A(1,0)，若直線l與g(x)的圖象也相切，則a等于( )
A．0 B．－1 C．3 D．－1或3
【典例2】若曲線C1：y＝ax2(a>0)與曲線C2：y＝ex存在公共切線，則a的取值范圍為________．
【典例3】若f(x)＝ln x與g(x)＝x2＋ax兩個函數(shù)的圖象有一條與直線y＝x平行的公共切線，則a等于( )
A．1 B．2 C．3 D．3或－1
三、【培優(yōu)訓練】
【訓練一】若曲線y＝eq \f(1,4)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)cs2x在A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點處的切線互相垂直，則|x1－x2|的最小值為( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C.eq \f(2π,3) D．π
【訓練二】已知曲線C1：y＝ex＋m，C2：y＝x2，若恰好存在兩條直線l1，l2與C1，C2都相切，則實數(shù)m的取值范圍是____________．
【訓練三】給出定義：設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)，f″(x)是函數(shù)f′(x)的導函數(shù)，若方程f″(x)＝0有實數(shù)解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點”．已知函數(shù)f(x)＝5x＋4sin x－cs x的“拐點”是M(x0，f(x0))，則點M( )
A．在直線y＝－5x上
B．在直線y＝5x上
C．在直線y＝－4x上
D．在直線y＝4x上
【訓練四】已知函數(shù)f(x)＝|ex－1|，x10，函數(shù)f(x)的圖象在點A(x1，f(x1))和點B(x2，f(x2))處的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則eq \f(|AM|,|BN|)的取值范圍是________.
【訓練五】已知函數(shù)f(x)＝x－eq \f(3,x).
(1)求曲線f(x)過點(0，－3)的切線方程；
(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值．
【訓練六】若直線l與曲線C滿足下列兩個條件：(1)直線l在點P(x0，y0)處與曲線C相切；(2)曲線C在點P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點P處“切過”曲線C.下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號)．
①直線l：y＝0在點P(0，0)處“切過”曲線C：y＝x3
②直線l：x＝－1在點P(－1，0)處“切過”曲線C：y＝(x＋1)2
③直線l：y＝x在點P(0，0)處“切過”曲線C：y＝sinx
④直線l：y＝x在點P(0，0)處“切過”曲線C：y＝tanx
⑤直線l：y＝x－1在點P(1，0)處“切過”曲線C：y＝lnx
四、【強化測試】
【單選題】
1. 下列求導運算正確的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2) B．(lg2x)′＝eq \f(1,xln 2)
C．(5x)′＝5xlg5x D．(x2cs x)′＝－2xsin x
2. 曲線f(x)＝eq \f(1－2ln x,x)在點P(1，f(1))處的切線l的方程為( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－3＝0
C．3x＋y＋2＝0 D．3x＋y－4＝0
3. 已知函數(shù)f(x)＝eq \f(1,4)x2＋cs x，則其導函數(shù)f′(x)的圖象大致是( )
4. 設(shè)點P是曲線y＝x3－eq \r(3)x＋eq \f(2,3)上的任意一點，則曲線在點P處切線的傾斜角α的取值范圍為( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,6)))
5. 已知函數(shù)f(x)可導，則eq \(lim,\s\d5(Δt→0)) eq \f(f（2＋2Δx）－f（2）,2Δx)等于( )
A．f′(x) B．f′(2)
C．f(x) D．f(2)
6. 如圖，y＝f(x)是可導函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)＝( )
A．－1 B．0
C．3 D．4
7. 在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，則f′(0)＝( )
A．26 B．29
C．212 D．215
8. 設(shè)曲線C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，在曲線C上一點M(1，－4)處的切線記為l，則切線l與曲線C的公共點個數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【多選題】
9. 若函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則f(x)的解析式可能為( )
A．f(x)＝3cs x B．f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝x＋eq \f(1,x) D．f(x)＝ex＋x
10. 已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，f′(x)是f(x)的導函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．f′(3)>f′(2)
B．f′(3)f′(3)
D．f(3)－f(2)

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