2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題32平面向量的概念及線性運(yùn)算（教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【考綱要求】
1.了解向量的實(shí)際背景.
2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義.
3.理解向量的幾何表示.
4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.
5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.
6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1.向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向.向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長(zhǎng)度(或稱模)，記作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運(yùn)算
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.
【常用結(jié)論】
1.中點(diǎn)公式的向量形式：若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))).
2.eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線，則λ＋μ＝1.
3.解決向量的概念問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.
【方法技巧】
1.平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.
(4)非零向量a與eq \f(a,|a|)的關(guān)系：eq \f(a,|a|)是與a同方向的單位向量.
2.(1)解決平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.
(2)在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.
3.與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過(guò)建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.
4.利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.
(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A，B，C三點(diǎn)共線?eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共線.
(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(4)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1.
二、【題型歸類】
【題型一】向量的基本概念
【典例1】(多選)給出下列命題，不正確的有( )
A．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同
B．若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD為平行四邊形
C．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b
D．已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線
【解析】A錯(cuò)誤，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等，但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)；
B正確，因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|且eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形；
C錯(cuò)誤，當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件；
D錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線．
故選ACD.
【典例2】(多選)下列命題正確的是( )
A．零向量是唯一沒(méi)有方向的向量
B．零向量的長(zhǎng)度等于0
C．若a，b都為非零向量，則使eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0成立的條件是a與b反向共線
D．若a＝b，b＝c，則a＝c
【解析】A項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；
B項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長(zhǎng)度為0，故B正確；
C項(xiàng)，因?yàn)閑q \f(a,|a|)與eq \f(b,|b|)都是單位向量，所以只有當(dāng)eq \f(a,|a|)與eq \f(b,|b|)是相反向量，即a與b是反向共線時(shí)才成立，故C正確；
D項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確．
故選BCD.
【典例3】對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【解析】若a＋b＝0，
則a＝－b，則a∥b，即充分性成立；若a∥b，則a＝－b不一定成立，即必要性不成立，
即“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要條件．
故選A.
【題型二】平面向量的線性運(yùn)算
【典例1】設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則( )
A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b|
C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b|
【解析】方法一利用向量加法的平行四邊形法則．
在?ABCD中，設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(DB,\s\up6(→))|，
從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
故選A.
方法二 ∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.
故選A.
【典例2】在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，則eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
C.eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D.eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
【解析】方法一如圖，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)).因?yàn)閑q \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，故選A.
方法二 eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，故選A.
方法三由eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，得eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
故選A.
【典例3】在等腰梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，點(diǎn)E是線段eq \(BC,\s\up6(→))的中點(diǎn)，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________.
【解析】取AB的中點(diǎn)F，連接CF，則由題意可得CF∥AD，且CF＝AD.因?yàn)閑q \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(FC,\s\up6(→))－eq \(FB,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))－\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(3,4)，μ＝eq \f(1,2)，則λ＋μ＝eq \f(5,4).
【題型三】平面向量共線定理的應(yīng)用
【典例1】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；
(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．
【解析】(1)證明：因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共線，又它們有公共點(diǎn)B，
所以A，B，D三點(diǎn)共線．
(2)因?yàn)閗a＋b與a＋kb共線，
所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，
所以k＝±1.
【典例2】已知向量a與b不共線，eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋mb，eq \(AC,\s\up6(→))＝na＋b(m，n∈R)，則eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(AC,\s\up6(→))共線的條件是( )
A．m＋n＝0 B．m－n＝0
C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
【解析】由eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋mb，eq \(AC,\s\up6(→))＝na＋b(m，n∈R)共線，得a＋mb＝λ(na＋b)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λn，,m＝λ，))所以mn－1＝0.
故選D.
【典例3】已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若eq \(CB,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，則點(diǎn)P一定在( )
A．△ABC的內(nèi)部 B．AC邊所在直線上
C．AB邊所在直線上 D．BC邊所在直線上
【解析】由eq \(CB,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))得eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))，eq \(CP,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→)).則eq \(CP,\s\up6(→))，eq \(PA,\s\up6(→))為共線向量，又eq \(CP,\s\up6(→))，eq \(PA,\s\up6(→))有一個(gè)公共點(diǎn)P，所以C，P，A三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在直線AC上．
故選B.
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】莊嚴(yán)美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系．在如圖所示的正五角星中，以P，Q，R，S，T為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且eq \f(PT,AT)＝eq \f(\r(5)－1,2).下列關(guān)系中正確的是( )
A.eq \(BP,\s\up6(→))－eq \(TS,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)＋1,2)eq \(RS,\s\up6(→)) B．eq \(CQ,\s\up6(→))＋eq \(TP,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)＋1,2)eq \(TS,\s\up6(→))
C.eq \(ES,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(BQ,\s\up6(→)) D．eq \(AT,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(CR,\s\up6(→))
【解析】由已知，eq \(BP,\s\up6(→))－eq \(TS,\s\up6(→))＝eq \(TE,\s\up6(→))－eq \(TS,\s\up6(→))＝eq \(SE,\s\up6(→))＝eq \f(\(RS,\s\up6(→)),\f(\r(5)－1,2))＝eq \f(\r(5)＋1,2)eq \(RS,\s\up6(→))，所以A正確；
eq \(CQ,\s\up6(→))＋eq \(TP,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(TP,\s\up6(→))＝eq \(TA,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)＋1,2)eq \(ST,\s\up6(→))，所以B錯(cuò)誤；
eq \(ES,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(RC,\s\up6(→))－eq \(QC,\s\up6(→))＝eq \(RQ,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(QB,\s\up6(→))，所以C錯(cuò)誤；
eq \(AT,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \(SD,\s\up6(→))＋eq \(RD,\s\up6(→))，eq \f(\r(5)－1,2)eq \(CR,\s\up6(→))＝eq \(RS,\s\up6(→))＝eq \(RD,\s\up6(→))－eq \(SD,\s\up6(→))，若eq \(AT,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(CR,\s\up6(→))，則eq \(SD,\s\up6(→))＝0，不合題意，所以D錯(cuò)誤．
故選A.
【訓(xùn)練二】若2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，S△AOC，S△ABC分別表示△AOC，△ABC的面積，則S△AOC∶S△ABC＝________.
【解析】若2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
設(shè)eq \(OA′,\s\up6(——→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC′,\s\up6(——→))＝3eq \(OC,\s\up6(→))，
可得O為△A′BC′的重心，如圖，
設(shè)S△AOB＝x，S△BOC＝y(tǒng)，S△AOC＝z，
則S△A′OB＝2x，S△BOC′＝3y，S△A′OC′＝6z，
由2x＝3y＝6z，
可得S△AOC∶S△ABC＝z∶(x＋y＋z)＝1∶6.
【訓(xùn)練三】如圖，在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(NC,\s\up6(→))，P是BN上一點(diǎn)，若eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)_______.
【解析】法一因?yàn)閑q \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(NC,\s\up6(→))，
所以eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(5,2)eq \(AN,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(AN,\s\up6(→))，
因?yàn)锽，P，N三點(diǎn)共線，
所以t＋eq \f(5,6)＝1，所以t＝eq \f(1,6).
法二因?yàn)閑q \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(NC,\s\up6(→))，所以eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→))，
設(shè)eq \(NP,\s\up6(→))＝λeq \(NB,\s\up6(→))，則eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(NP,\s\up6(→))
＝eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→))＋λeq \(NB,\s\up6(→))
＝eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→))＋λ(eq \(NA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)\(AC,\s\up6(→))＋\(AB,\s\up6(→))))
＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)(1－λ)eq \(AC,\s\up6(→)).
又eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以teq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)(1－λ)eq \(AC,\s\up6(→))，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝λ，,\f(2,5)（1－λ）＝\f(1,3)，))解得t＝λ＝eq \f(1,6).
【訓(xùn)練四】經(jīng)過(guò)△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝neq \(OB,\s\up6(→))，m，n∈R＋.
(1)證明：eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)為定值；
(2)求m＋n的最小值.
【解析】(1)證明設(shè)eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b.
由題意知eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)(a＋b)，
eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝nb－ma，
eq \(PG,\s\up6(→))＝eq \(OG,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)b，
由P，G，Q三點(diǎn)共線得，
存在實(shí)數(shù)λ，使得eq \(PQ,\s\up6(→))＝λeq \(PG,\s\up6(→))，
即nb－ma＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)λb，
從而eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))，,n＝\f(1,3)λ，))
消去λ得eq \f(1,n)＋eq \f(1,m)＝3.
(2)解由(1)知，eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝3，
于是m＋n＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥eq \f(1,3)(2＋2)＝eq \f(4,3).
當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝eq \f(2,3)時(shí)，m＋n取得最小值，最小值為eq \f(4,3).
【訓(xùn)練五】經(jīng)過(guò)△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝neq \(OB,\s\up6(→))，m，n∈R*.
(1)證明：eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)為定值；
(2)求m＋n的最小值．
【解析】(1)證明設(shè)eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b.
由題意知eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(a＋b)，
eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝nb－ma，
eq \(PG,\s\up6(→))＝eq \(OG,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)b，
由P，G，Q三點(diǎn)共線得，
存在實(shí)數(shù)λ，使得eq \(PQ,\s\up6(→))＝λeq \(PG,\s\up6(→))，
即nb－ma＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)λb，
從而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))，,n＝\f(1,3)λ，))
消去λ得eq \f(1,n)＋eq \f(1,m)＝3.
(2)解由(1)知，eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝3，
于是m＋n＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥eq \f(1,3)(2＋2)＝eq \f(4,3).
當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝eq \f(2,3)時(shí)，m＋n取得最小值，最小值為eq \f(4,3).
【訓(xùn)練六】已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；
(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1.
【證明】(1)若m＋n＝1，
則eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq \(OB,\s\up6(→))
＝eq \(OB,\s\up6(→))＋m(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，
所以eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝m(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，
即eq \(BP,\s\up6(→))＝meq \(BA,\s\up6(→))，所以eq \(BP,\s\up6(→))與eq \(BA,\s\up6(→))共線．
又因?yàn)閑q \(BP,\s\up6(→))與eq \(BA,\s\up6(→))有公共點(diǎn)B，
所以A，P，B三點(diǎn)共線．
(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，
則存在實(shí)數(shù)λ，使eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))，所以eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝λ(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))．
又eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→)).
故有meq \(OA,\s\up6(→))＋(n－1)eq \(OB,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))－λeq \(OB,\s\up6(→))，
即(m－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋(n＋λ－1)eq \(OB,\s\up6(→))＝0.
因?yàn)镺，A，B不共線，所以eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))不共線，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))所以m＋n＝1.
四、【強(qiáng)化測(cè)試】
【單選題】
1. 若a，b為非零向量，則“eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)”是“a，b共線”的( )
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
【解析】eq \f(a,|a|)，eq \f(b,|b|)分別表示與a，b同方向的單位向量，eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)，則有a，b共線，而a，b共線，則eq \f(a,|a|)，eq \f(b,|b|)是相等向量或相反向量，所以“eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)”是“a，b共線”的充分不必要條件．
故選B.
2. 設(shè)a＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→)))，b是一個(gè)非零向量，則下列結(jié)論不正確的是( )
A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)＋b＝a
C．a(chǎn)＋b＝b D．|a＋b|＝|a|＋|b|
【解析】由題意得，a＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→)))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，且b是一個(gè)非零向量，所以a∥b成立，所以A正確；由a＋b＝b，所以B不正確，C正確；由|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，
所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正確．
故選B.
3. 如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))等于( )
A．0 B.eq \(BE,\s\up6(→))
C.eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(CF,\s\up6(→))
【解析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，
易得，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))
＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))
＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CF,\s\up6(→)).
故選D.
4. 已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及△ABC，若eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，則點(diǎn)P與△ABC的位置關(guān)系是( )
A．點(diǎn)P在線段AB上 B．點(diǎn)P在線段BC上
C．點(diǎn)P在線段AC上 D．點(diǎn)P在△ABC外部
【解析】由eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，得eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))，即eq \(PC,\s\up6(→))＝－2eq \(PA,\s\up6(→))，故點(diǎn)P在線段AC上．
故選C.
5. 已知O是正方形ABCD的中心．若eq \(DO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則eq \f(λ,μ)＝( )
A．－2 B．－eq \f(1,2)
C．－eq \r(2) D．eq \r(2)
【解析】eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝AB－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，所以λ＝1，μ＝－eq \f(1,2)，因此eq \f(λ,μ)＝－2.
故選A.
6. 矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若eq \(DE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，則λ2＋μ2＝( )
A.eq \f(5,8) B.eq \f(1,4) C.1 D.eq \f(5,16)
【解析】eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，
∴λ＝eq \f(1,4)，μ＝－eq \f(3,4).∴λ2＋μ2＝eq \f(1,16)＋eq \f(9,16)＝eq \f(5,8).
故選A.
7. 在△ABC中，點(diǎn)M為AC上的點(diǎn)，且eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MC,\s\up6(→))，若eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))，則λ－μ的值是( )
A.1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
【解析】由eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MC,\s\up6(→))，得eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，又因?yàn)閑q \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(2,3)，μ＝eq \f(1,3)，故λ－μ＝eq \f(1,3).
故選C.
8. 如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，若eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，則x等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
【解析】連接AE(圖略)，因?yàn)镕為DE的中點(diǎn)，
所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))，
而eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，
又eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以x＝eq \f(1,2).
故選C.
【多選題】
9. 下列選項(xiàng)中的式子，結(jié)果為零向量的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))
B.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))
C.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))
D.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))
【解析】利用向量運(yùn)算，易知A，D中的式子結(jié)果為零向量．
故選AD.
10. (多選)下列說(shuō)法中正確的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0
B．若|a|＝|b|且a∥b，則a＝b
C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量
D．若a∥b，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa
【解析】由eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))互為相反向量，得eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0，故A正確；
由|a|＝|b|且a∥b，得a＝b或a＝－b，故B錯(cuò)誤；
若a與b不共線，則a與b都是非零向量，故C正確；
根據(jù)向量共線基本定理可知D錯(cuò)誤，因?yàn)橐懦阆蛄浚?br>故選AC.
11. (多選)設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)
B．若eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M在邊BC的延長(zhǎng)線上
C．若eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(BM,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))，則點(diǎn)M是△ABC的重心
D．若eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq \f(1,2)，則△MBC的面積是△ABC面積的eq \f(1,2)
【解析】若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，故A正確；
若eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，即有eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，
即eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，
則點(diǎn)M在邊CB的延長(zhǎng)線上，故B錯(cuò)誤；
若eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(BM,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))，
即eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝0，
則點(diǎn)M是△ABC的重心，故C正確；
如圖，eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，
且x＋y＝eq \f(1,2)，
可得2eq \(AM,\s\up6(→))＝2xeq \(AB,\s\up6(→))＋2yeq \(AC,\s\up6(→))，
設(shè)eq \(AN,\s\up6(→))＝2eq \(AM,\s\up6(→))，
則M為AN的中點(diǎn)，
則△MBC的面積是△ABC面積的eq \f(1,2)，故D正確．
故選ACD.
12. 點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))|－|eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－2eq \(PA,\s\up6(→))|＝0，則△ABC不可能是( )
A．鈍角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等邊三角形
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且|eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))|－|eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－2eq \(PA,\s\up6(→))|＝0，
所以|eq \(CB,\s\up6(→))|－|(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))＋(eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))|＝0，
即|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))|，
等式兩邊平方并化簡(jiǎn)得eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，∠BAC＝90°，則△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是鈍角三角形和等邊三角形．
故選AD.
【填空題】
13. 若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，則|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝________．
【解析】因?yàn)閨eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|＝2，
所以△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|為△ABC的邊BC上的高的2倍，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).
14. 已知e1，e2為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，eq \(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq \(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三點(diǎn)共線，則λ＝________．
【解析】因?yàn)镸，N，P三點(diǎn)共線，
所以存在實(shí)數(shù)k使得eq \(MN,\s\up6(→))＝keq \(NP,\s\up6(→))，
所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，
又e1，e2為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，
可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝kλ，,－3＝6k，))解得λ＝－4.
15. 已知?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則eq \(DC,\s\up6(→))＝________，eq \(BC,\s\up6(→))＝________．(用a，b表示)
【解析】如圖，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝－a－b.
16. 在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq \r(3)，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上，若eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AB,\s\up6(→))，則μ的取值范圍是________．
【解析】由已知AD＝1，CD＝eq \r(3)，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→)).
因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CD上，所以eq \(DE,\s\up6(→))＝λeq \(DC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)．
因?yàn)閑q \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))，
又eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋2μeq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2μ,λ)eq \(DE,\s\up6(→))，
所以eq \f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq \f(λ,2).
因?yàn)?≤λ≤1，所以0≤μ≤eq \f(1,2).
【解答題】
17. 在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB＝2GE，設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AG,\s\up6(→)).
【解析】eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b；
eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b.
18. 已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；
(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1.
【解析】證明：(1)若m＋n＝1，
則eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq \(OB,\s\up6(→))
＝eq \(OB,\s\up6(→))＋m(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，
所以eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝m(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，
即eq \(BP,\s\up6(→))＝meq \(BA,\s\up6(→))，所以eq \(BP,\s\up6(→))與eq \(BA,\s\up6(→))共線．
又因?yàn)閑q \(BP,\s\up6(→))與eq \(BA,\s\up6(→))有公共點(diǎn)B，
所以A，P，B三點(diǎn)共線．
(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，
則存在實(shí)數(shù)λ，使eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))，所以eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝λ(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))．
又eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→)).
故有meq \(OA,\s\up6(→))＋(n－1)eq \(OB,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))－λeq \(OB,\s\up6(→))，
即(m－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋(n＋λ－1)eq \(OB,\s\up6(→))＝0.
因?yàn)镺，A，B三點(diǎn)不共線，所以eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))不共線，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))所以m＋n＝1.
19. 已知a，b不共線，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(OD,\s\up6(→))＝d，eq \(OE,\s\up6(→))＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】由題設(shè)知，eq \(CD,\s\up6(→))＝d－c＝2b－3a，
eq \(CE,\s\up6(→))＝e－c＝(t－3)a＋tb，
C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得eq \(CE,\s\up6(→))＝keq \(CD,\s\up6(→))，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因?yàn)閍，b不共線，
所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t－3＋3k＝0，,2k－t＝0，))解得t＝eq \f(6,5).
故存在實(shí)數(shù)t＝eq \f(6,5)使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上．
20. 如圖，在△ABC中，D為BC的四等分點(diǎn)，且靠近B點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AC，AD的三等分點(diǎn)，且分別靠近A，D兩點(diǎn)，設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b.
(1)試用a，b表示eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))；
(2)證明：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．
【解析】(1)解在△ABC中，因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，
所以eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a，
eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))
＝a＋eq \f(1,4)(b－a)＝eq \f(3,4)a＋eq \f(1,4)b，
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,3)b.
(2)證明因?yàn)閑q \(BE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,3)b，
eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
＝－a＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)a＋\f(1,4)b))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,6)b
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(1,3)b))，
所以eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))與eq \(BE,\s\up6(→))共線，且有公共點(diǎn)B，
所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．
21. 設(shè)兩向量a與b不共線.
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b).求證：A，B，D三點(diǎn)共線；
(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.
【解析】(1)證明 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b).
∴eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up6(→)).
∴eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共線，又它們有公共點(diǎn)B，
∴A，B，D三點(diǎn)共線.
(2)解 ∵ka＋b與a＋kb共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共線的兩個(gè)向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
22. 如圖，EF是等腰梯形ABCD的中位線，M，N是EF上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→)).
(1)用a，b表示eq \(AM,\s\up6(→))；
(2)證明：A，M，C三點(diǎn)共線．
【解析】(1)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))
＝a＋b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a))＝eq \f(1,2)a＋b，
又E為AD的中點(diǎn)，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b，
因?yàn)镋F是梯形ABCD的中位線，且eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)a))＝eq \f(3,4)a，
又M，N是EF的三等分點(diǎn)，
所以eq \(EM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)a，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EM,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,4)a
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.
(2)證明：由(1)知eq \(MF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a，
所以eq \(MC,\s\up6(→))＝eq \(MF,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＝eq \(AM,\s\up6(→))，
又eq \(MC,\s\up6(→))與eq \(AM,\s\up6(→))有公共點(diǎn)M，所以A，M，C三點(diǎn)共線．
向量運(yùn)算
定義
法則(或幾何意義)
運(yùn)算律
加法
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算
三角形法則
平行四邊形法則
(1)交換律：
a＋b＝b＋a.
(2)結(jié)合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
求兩個(gè)向量差的運(yùn)算
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb

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