【方法技巧】
1.待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減左”的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式.
2.若直接求導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)式比較復(fù)雜或無從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目標(biāo).在證明過程中，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處g(x)min≥f(x)max恒成立，從而f(x)≤g(x)恒成立.
3.等價(jià)變形的目的是求導(dǎo)后簡單地找到極值點(diǎn)，一般地，ex與ln x要分離，常構(gòu)造xn與ln x，xn與ex的積、商形式.便于求導(dǎo)后找到極值點(diǎn).
4.某些不等式，直接構(gòu)造函數(shù)不易求其最值，可以適當(dāng)?shù)乩檬熘暮瘮?shù)不等式ex≥x＋1，1－eq \f(1,x)≤ln x≤x－1等進(jìn)行放縮，有利于簡化后續(xù)導(dǎo)數(shù)式的求解或函數(shù)值正負(fù)的判斷；也可以利用局部函數(shù)的有界性進(jìn)行放縮，然后再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.
5.在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題，則可以考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問題．
6.在證明過程中，“隔離”化是關(guān)鍵，此處f(x)min>g(x)max恒成立．從而f(x)>g(x)，但此處f(x)與g(x)取到最值的條件不是同一個(gè)“x的值”．
7.換元法構(gòu)造函數(shù)證明不等式的基本思路是直接消掉參數(shù)a，再結(jié)合所證問題，巧妙引入變量c＝eq \f(x1,x2)，從而構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)．其解題要點(diǎn)為：
二、【題型歸類】
【題型一】移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)證明不等式
【典例1】已知函數(shù)f(x)＝ex－3x＋3a(e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)求證：當(dāng)a＞ln eq \f(3,e)，且x＞0時(shí)，eq \f(ex,x)＞eq \f(3,2)x＋eq \f(1,x)－3a.
【典例2】證明：當(dāng)x>1時(shí)，eq \f(1,2)x2＋ln x0)，a為常數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1≠x2)．求證：x1x2>e2.
【典例2】已知函數(shù)f(x)＝ln x－eq \f(1,2)ax2＋x，a∈R.
(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求函數(shù)f(x)的圖象在(1，f(1))處的切線方程；
(2)若a＝－2，正實(shí)數(shù)x1，x2滿足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求證：x1＋x2≥eq \f(\r(5)－1,2).
【題型三】將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題
【典例1】已知函數(shù)g(x)＝x3＋ax2.
(1)若函數(shù)g(x)在[1,3]上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)已知a>－1，x>0，求證：g(x)>x2ln x.
【典例2】已知函數(shù)f(x)＝1－eq \f(ln x,x)，g(x)＝eq \f(ae,ex)＋eq \f(1,x)－bx，若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)的一個(gè)公共點(diǎn)是A(1,1)，且在點(diǎn)A處的切線互相垂直．
(1)求a，b的值；
(2)證明：當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＋g(x)≥eq \f(2,x).
【典例3】已知函數(shù)f(x)＝ln x＋eq \f(a,x)，a∈R.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)a>0時(shí)，證明：f(x)≥eq \f(2a－1,a).
【題型四】將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行比較
【典例1】已知函數(shù)f(x)＝aln x＋x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)a＝1時(shí)，證明：xf(x)0時(shí)，f(x)2時(shí)，f(x)eq \f(1,ex＋1)－eq \f(2,e2x)成立．
【訓(xùn)練二】已知函數(shù)f(x)＝λln x－e－x(λ∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)，求λ的取值范圍；
(2)求證：當(dāng)0a>0，證明：eq \f(b－a,ln b－ln a)1－eq \f(1,e2).
3. 已知函數(shù)f(x)＝ln x＋eq \f(a,x)，a∈R.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)a>0時(shí)，證明：f(x)≥eq \f(2a－1,a).
4. 已知函數(shù)f(x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)a＝e時(shí)，證明：xf(x)－ex＋2ex≤0.
5. 已知函數(shù)f(x)＝ax－ln x－1.
(1)若f(x)≥0恒成立，求a的最小值；
(2)證明：eq \f(e－x,x)＋x＋ln x－1≥0.
6. 已知函數(shù)f(x)＝xex－1－ax＋1，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線l的斜率為3e－2.
(1)求a的值及切線l的方程；
(2)證明：f(x)≥0.
7. 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)求證：當(dāng)a>ln 2－1且x>0時(shí)，ex>x2－2ax＋1.
8. 已知函數(shù)f(x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)a＝e時(shí)，證明：xf(x)－ex＋2ex≤0.
9. 已知函數(shù)f(x)＝eq \f(ln x,x＋a)(a∈R)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(e，f(e))處的切線方程為y＝eq \f(1,e).
(1)求實(shí)數(shù)a的值，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)≤x－1.
10. 已知函數(shù)f(x)＝ax＋xln x在x＝e－2(e為自然對數(shù)的底數(shù))處取得極小值．
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)當(dāng)x>1時(shí)，求證：f(x)>3(x－1)．
11. 已知f(x)＝xln x.
(1)求函數(shù)f(x)的極值；
(2)證明：對一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)n x>eq \f(1,ex)－eq \f(2,ex)成立．
12. 已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)討論函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性；
(2)證明：ex－e2ln x>0恒成立．
13. 已知函數(shù)f(x)＝ln x－eq \f(aln x,x2).
(1)若a＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若a＝0，x∈(0，1)，證明：x2－eq \f(1,x)0恒成立．
聯(lián)立
消參
利用方程f(x1)＝f(x2)消掉解析式中的參數(shù)a
抓商
構(gòu)元
令c＝eq \f(x1,x2)，消掉變量x1，x2，構(gòu)造關(guān)于c的函數(shù)h(c)
用導(dǎo)
求解
利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)h(c)的最小值，從而可證得結(jié)論

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