【考綱要求】
1.理解復(fù)數(shù)的基本概念.
2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.
3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.
4.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.
5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a是實(shí)部，b是虛部，i為虛數(shù)單位．
(2)復(fù)數(shù)的分類：
復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(實(shí)數(shù)?b＝0?，,虛數(shù)?b≠0??其中，當(dāng)a＝0時(shí)為純虛數(shù)?.))
(3)復(fù)數(shù)相等：
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共軛復(fù)數(shù)：
a＋bi與c＋di互為共軛復(fù)數(shù)?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)復(fù)數(shù)的模：
向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對(duì)值，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．
2．復(fù)數(shù)的幾何意義
(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)．
(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
3．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(?a＋bi??c－di?,?c＋di??c－di?)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行．
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(-→))＋eq \(OZ2,\s\up6(-→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(-→))＝eq \(OZ2,\s\up6(-→))－eq \(OZ1,\s\up6(-→)).
【常用結(jié)論】
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
3.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系
z·eq \(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq \(z,\s\up6(－))|2.
【方法技巧】
1.解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)
(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．
(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部．
2.復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．
3.復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．
4.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀．
二、【題型歸類】
【題型一】復(fù)數(shù)的概念
【典例1】如果復(fù)數(shù)eq \f(2＋bi,i)(b∈R)的實(shí)部與虛部相等，那么b＝( )
A.－2 B.1 C.2 D.4
【典例2】(多選)若復(fù)數(shù)z＝eq \f(2,1＋i)，其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是( )
A.z的虛部為－1
B.|z|＝eq \r(2)
C.z2為純虛數(shù)
D.z的共軛復(fù)數(shù)為－1－i
【典例3】(多選)設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是( )
A.若|z1－z2|＝0，則eq \(z,\s\up6(－))1＝eq \(z,\s\up6(－))2
B.若z1＝eq \(z,\s\up6(－))2，則eq \(z,\s\up6(－))1＝z2
C.若|z1|＝|z2|，則z1·eq \(z,\s\up6(－))1＝z2·eq \(z,\s\up6(－))2
D.若|z1|＝|z2|，則zeq \\al(2,1)＝zeq \\al(2,2)
【題型二】復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
【典例1】(多選)設(shè)z1，z2，z3為復(fù)數(shù)，z1≠0.下列命題中正確的是( )
A．若|z2|＝|z3|，則z2＝±z3
B．若z1z2＝z1z3，則z2＝z3
C．若eq \x\t(z)2＝z3，則|z1z2|＝|z1z3|
D．若z1z2＝|z1|2，則z1＝z2
【典例2】在數(shù)學(xué)中，記表達(dá)式ad－bc為由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))所確定的二階行列式．若在復(fù)數(shù)域內(nèi)，z1＝1＋i，z2＝eq \f(2＋i,1－i)，z3＝eq \x\t(z)2，則當(dāng)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z1 z2,z3 z4))＝eq \f(1,2)－i時(shí)，z4的虛部為________．
【典例3】若z＝eq \f(i2 023,1－i)，則|z|＝________；z＋eq \x\t(z)＝________.
【題型三】復(fù)數(shù)的幾何意義
【典例1】已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)eq \f(1－i,1＋2i)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【典例2】設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1＝2＋i(i為虛數(shù)單位)，則z1z2＝( )
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
【典例3】已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是________．
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】在復(fù)數(shù)列{an}中，已知a1＝－i，an＝aeq \\al(2,n－1)＋i(n≥2，n∈N*)，則eq \f(a1＋a3＋…＋a2 019,a2＋a4＋…＋a2 020)＝________．
【訓(xùn)練二】在數(shù)學(xué)中，記表達(dá)式ad－bc是由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))所確定的二階行列式．若在復(fù)數(shù)域內(nèi)，z1＝1＋i，z2＝eq \f(2＋i,1－i)，z3＝eq \(z,\s\up6(－))2，則當(dāng)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z1 z2,z3 z4))＝eq \f(1,2)－i時(shí)，z4的虛部為________．
【訓(xùn)練三】(2022·青島模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足|z－1－i|≤1，則|z|的最小值為( )
A．1 B.eq \r(2)－1 C.eq \r(2) D.eq \r(2)＋1
【訓(xùn)練四】已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，且滿足|z－2|＝1，則eq \f(y,x)的取值范圍是________.
【訓(xùn)練五】已知復(fù)數(shù)z滿足z2＝3＋4i，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限．
(1)求復(fù)數(shù)z；
(2)設(shè)a∈R，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋z,1＋\x\t(z))))2 021＋a))＝2，求實(shí)數(shù)a的值．
【訓(xùn)練六】若虛數(shù)z同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：
①z＋eq \f(5,z)是實(shí)數(shù)；
②z＋3的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)．
這樣的虛數(shù)是否存在？若存在，求出z；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
四、【強(qiáng)化測(cè)試】
【單選題】
1. 設(shè)z＝－3＋2i，則在復(fù)平面內(nèi)eq \(z,\s\up6(－))對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2. 若復(fù)數(shù)z＝eq \f(a,1＋i)＋1為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
3. 已知復(fù)數(shù)z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，則實(shí)數(shù)a＝( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．2 D．－2
4. 如圖，已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為eq \(OZ,\s\up6(→))，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|z|為( )
A．1 B．eq \r(2)
C.eq \r(3) D．2
5. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1＋i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則z等于( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
6. 若復(fù)數(shù)z滿足z(1－i)＝|1－i|＋i，則z的實(shí)部為( )
A.eq \f(\r(2)－1,2) B.eq \r(2)－1
C．1 D.eq \f(\r(2)＋1,2)
7. 已知i是虛數(shù)單位，則“a＝i”是“a2＝－1”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
8. 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，已知p，q為實(shí)數(shù)，1－i是關(guān)于x的方程x2＋px＋q＝0的一個(gè)根，則p＋q等于( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
【多選題】
9. 已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝eq \f(3＋2i,2－i)，則以下說(shuō)法正確的是( )
A.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限
B.z的虛部是－eq \f(7,5)
C.|z|＝3eq \r(5)
D.若復(fù)數(shù)z1滿足|z1－z|＝1，則|z1|的最大值為1＋eq \f(\r(65),5)
10. 若復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)·z＝5＋3i(其中i是虛數(shù)單位)，則( )
A．z的虛部為－i
B．z的模為eq \r(17)
C．z的共軛復(fù)數(shù)為4－i
D．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
11. 下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z＝eq \f(2,－1＋i)的四個(gè)命題，其中真命題的是( )
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i D．z的虛部為－1
12. 在復(fù)平面內(nèi)，下列命題是真命題的是( )
A．若復(fù)數(shù)z滿足eq \f(1,z)∈R，則z∈R
B．若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R
C．若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝eq \x\t(z)2
D．若復(fù)數(shù)z∈R，則eq \x\t(z)∈R
【填空題】
13. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足eq \(z,\s\up6(－))＝|1－i|＋i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z＝________．
14. 已知復(fù)數(shù)z＝eq \f(4＋2i,（1＋i）2)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x－2y＋m＝0上，則m＝________．
15. 當(dāng)復(fù)數(shù)z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)的模最小時(shí)，eq \f(4i,z)＝________．
16. 已知復(fù)數(shù)z1＝1－i，z2＝4＋6i(i為虛數(shù)單位)，則eq \f(z2,z1)＝________；若復(fù)數(shù)z＝1＋bi(b∈R)滿足z＋z1為實(shí)數(shù)，則|z|＝________．
17. 設(shè)復(fù)數(shù)eq \(z,\s\up6(－))滿足z＝|1－i|＋i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z＝________．
18. 已知復(fù)數(shù)z＝eq \f(4＋2i,（1＋i）2)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x－2y＋m＝0上，則m＝________．
19. 已知a∈R，則復(fù)數(shù)z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第________象限，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是________．
20. 如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是z1，z2，則|z1－z2|＝________．
21. 設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq \r(3)＋i，則|z1－z2|＝________．
22. 若復(fù)數(shù)z＝i＋i2 022，則eq \(z,\s\up6(－))＋eq \f(10,z)的模等于________.

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