2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強化測試專題19利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點（學(xué)生版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【方法技巧】
1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點常用方法
(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點的個數(shù).
(2)利用零點存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個零點.
2.函數(shù)零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，根據(jù)圖象的幾何直觀求解.
3.與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊點判斷函數(shù)的大致圖象，進而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點情況.
4.利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號確定函數(shù)零點的個數(shù)，此類問題在求解過程中可以通過數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點的條件．
二、【題型歸類】
【題型一】判斷、證明或討論零點的個數(shù)
【典例1】已知函數(shù)f(x)＝xsin x－eq \f(3,2).
判斷函數(shù)f(x)在(0，π)內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明.
【典例2】已知函數(shù)f(x)＝eq \f(1,3)x3－a(x2＋x＋1).
(1)若a＝3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：f(x)只有一個零點.
【典例3】已知函數(shù)f(x)＝x－aln x(a>0)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求函數(shù)g(x)＝eq \f(1,2)x2－ax－f(x)的零點個數(shù)．
【題型二】根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍
【典例1】函數(shù)f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示：
(1)求a，b的值并寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)y＝f(x)有三個零點，求c的取值范圍．
【典例2】已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．
(1)若f(0)＝2，求實數(shù)a的值，并求此時f(x)在[－2，1]上的最小值；
(2)若函數(shù)f(x)不存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．
【典例3】已知函數(shù)f(x)＝x3－kx＋k2.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若f(x)有三個零點，求k的取值范圍．
【題型三】利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點
【典例1】已知函數(shù)f(x)＝xsin x＋cs x，g(x)＝x2＋4.
(1)討論f(x)在[－π，π]上的單調(diào)性；
(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，試證明h(x)在R上有且僅有三個零點．
【典例2】已知函數(shù)f(x)＝eq \f(1,3)x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：f(x)只有一個零點．
【典例3】已知函數(shù)f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)，證明：
(1)f′(x)在區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(π,2)))上存在唯一極大值點；
(2)f(x)有且僅有2個零點．
【題型四】與函數(shù)零點相關(guān)的綜合問題
【典例1】已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝eq \f(xa,ax)(x>0)．
(1)當(dāng)a＝2時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．
【典例2】設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－aln x.
(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點的個數(shù)；
(2)證明：當(dāng)a>0時，f(x)≥2a＋aln eq \f(2,a).
【典例3】設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))處的切線與y軸垂直.
(1)求b；
(2)若f(x)有一個絕對值不大于1的零點，證明：f(x)所有零點的絕對值都不大于1.
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax2＋(a－b－1)x＋b＋1(a，b∈R)．
(1)若a＝0，試討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若00.
(1)若曲線y＝f(x)經(jīng)過坐標(biāo)原點，求該曲線在原點處的切線方程；
(2)若f(x)＝g(x)＋m在[0，＋∞)上有解，求實數(shù)m的取值范圍．
【訓(xùn)練四】已知函數(shù)f(x)＝ex＋1－kx－2k(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，k∈R)．
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個零點x1，x2時，證明x1＋x2>－2.
【訓(xùn)練五】已知函數(shù)f(x)＝eq \f(x2－a,sin x)－2(a∈R)．
(1)若曲線y＝f(x)在點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))))處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，求實數(shù)a；
(2)當(dāng)a>0時，判斷函數(shù)f(x)在x∈(0，π)上的零點個數(shù)，并說明理由．
【訓(xùn)練六】已知函數(shù)f(x)＝x3－3kx＋2，k∈R.
(1)若x＝－2是函數(shù)f(x)的極值點，求k的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)f(x)在[0，2]上有且僅有2個零點，求f(x)在[0，2]上的最大值g(k).
四、【強化測試】
【解答題】
1. 已知函數(shù)f(x)＝a＋eq \r(x)ln x(a∈R)．
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)試判斷f(x)的零點個數(shù)．
2. 已知函數(shù)f(x)＝eq \f(a,6)x3－eq \f(a,4)x2－ax－2的圖象過點Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(10,3))).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－2m＋3有3個零點，求m的取值范圍．
3. 已知函數(shù)f(x)＝aex－aex－1，g(x)＝－x3－eq \f(3,2)x2＋6x，其中a>0.
(1)若曲線y＝f(x)經(jīng)過坐標(biāo)原點，求該曲線在原點處的切線方程；
(2)若f(x)＝g(x)＋m在[0，＋∞)上有解，求實數(shù)m的取值范圍．
4. 已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋1)，曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝bx－e.
(1)求a，b的值；
(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－3ex－m有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．
5. 已知函數(shù)f(x)＝ex－(k＋1)ln x＋2sin α.
(1)若函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，求實數(shù)k的取值范圍；
(2)當(dāng)k＝0時，證明：函數(shù)f(x)無零點．
6. 已知函數(shù)f(x)＝ln x－aex＋1(a∈R)．
(1)當(dāng)a＝1時，討論f(x)極值點的個數(shù)；
(2)討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù)．
7. 已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋1)，曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝bx－e.
(1)求a，b的值；
(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－3ex－m有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．
8. 已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.
(1)討論函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的單調(diào)性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在區(qū)間[1，e]上有兩個不相等的解，求a的取值范圍．
9. 已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．
(1)若函數(shù)f(x)在x＝0處取得極值，求實數(shù)a的值，并求此時f(x)在[－2,1]上的最大值；
(2)若函數(shù)f(x)不存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．
10. 已知函數(shù)f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R.
(1)證明：ln x≤x－1；
(2)若a≥1，討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù)．
11. 已知函數(shù)f(x)＝a＋eq \r(x)ln x(a∈R)．
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)試判斷f(x)的零點個數(shù)．
12. 已知函數(shù)f(x)＝eq \f(a,6)x3－eq \f(a,4)x2－ax－2的圖象過點Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(10,3))).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－2m＋3有3個零點，求m的取值范圍．
13. 已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ln x－x－1.證明：
(1)f(x)存在唯一的極值點；
(2)f(x)＝0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù)．
14. 已知函數(shù)f(x)＝aex－eq \f(x,ex)－1，其中a＞0.若函數(shù)f(x)有唯一零點，求a的值．
15. 設(shè)函數(shù)f(x)＝eq \f(1,2)x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x，m>0.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)m≥1時，討論f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù)．
16. 已知函數(shù)f(x)＝xsin x＋cs x，g(x)＝x2＋4.
(1)討論f(x)在[－π，π]上的單調(diào)性；
(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，試證明h(x)在R上有且僅有三個零點．