【方法技巧】
眾所周知，函數(shù)滿足定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱；可以理解為函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點(diǎn). 如二次函數(shù)的頂點(diǎn)就是極值點(diǎn)，若的兩根的中點(diǎn)為，則剛好有，即極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒有偏移.
若相等變?yōu)椴坏?，則為極值點(diǎn)偏移：若單峰函數(shù)的極值點(diǎn)為，且函數(shù)滿足定義域內(nèi)左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點(diǎn)左右側(cè)變化快慢不同. 故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)滿足，則與極值點(diǎn)必有確定的大小關(guān)系：
①若，則稱為極值點(diǎn)左偏；②若，則稱為極值點(diǎn)右偏.[來源:學(xué)_科_X_K]
1.對(duì)稱變換主要用來解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和、積相關(guān)的不等式的證明問題.其解題要點(diǎn)如下：
(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為x0)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)x0.
(2)構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若證x1x2>xeq \\al(2,0)，則令F(x)＝f(x)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,0),x))).
(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論F(x)的單調(diào)性.
(4)比較大小，即判斷函數(shù)F(x)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出f(x)與f(2x0－x)的大小關(guān)系.
(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將f(x)與f(2x0－x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與2x0－x之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求.
2.含參函數(shù)問題可考慮先消去參數(shù)，其目的就是減元，進(jìn)而建立與所求解問題相關(guān)的函數(shù).
3.比(差)值換元就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)之比(差)作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的.一般用t表示兩個(gè)極值點(diǎn)之比(差)，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)問題.
4.對(duì)數(shù)均值不等式可用對(duì)稱化構(gòu)造或比值換元進(jìn)行證明，在解答題中，一般要先證明后應(yīng)用. 設(shè)a，b>0，a≠b，則eq \f(a＋b,2)>eq \f(a－b,ln a－ln b)>eq \r(ab)，其中eq \f(a－b,ln a－ln b)被稱之為對(duì)數(shù)平均數(shù)，上述不等式稱為對(duì)數(shù)均值不等式.
二、【題型歸類】
【題型一】消參減元
【典例1】已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax，a為常數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，求證：x1·x2>e2.
【典例2】已知函數(shù)f(x)＝ln(ax)＋eq \f(1,2)ax2－2x，a>0.設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且x12.
【題型二】對(duì)稱變換
【典例1】已知函數(shù)f(x)＝eq \f(ex,x)－ln x＋x－a.
(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；
(2)證明：若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，則x1x22)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，證明：x1＋x2>4.
【題型三】比(差)值換元
【典例1】已知函數(shù)f(x)＝xln x的圖象與直線y＝m交于不同的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2).求證：x1x22.
【題型四】對(duì)數(shù)均值不等式
【典例1】設(shè)函數(shù)其圖象與軸交于兩點(diǎn),且.
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）證明：為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）；
【典例2】已知f(x)＝a－eq \f(1,x)－ln x有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x12.
9. 已知函數(shù)．
（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（2）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，證明：．
10. 已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：．
11. 已知,,（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若,函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,求證：.
12. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí),求的最大值；
（2）設(shè)點(diǎn)和是曲線上不同的兩點(diǎn),且,若恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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