【方法技巧】
1.分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略
(1)分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.
2.根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關(guān)鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個(gè)值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.
3.含參不等式能成立問題(有解問題)可轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決，常見的轉(zhuǎn)化有：
(1)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)min.
(2)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)max.
(3)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)min.
(4)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)max.
4.在解決不等式恒(能)成立，求參數(shù)的取值范圍這一類問題時(shí)，最常用的方法是分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，但在求最值時(shí)如果出現(xiàn)“eq \f(0,0)”型的代數(shù)式，就設(shè)法求其最值．“eq \f(0,0)”型的代數(shù)式，是大學(xué)數(shù)學(xué)中的不定式問題，解決此類問題的有效方法就是利用洛必達(dá)法則．
洛必達(dá)法則
法則1 若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件
(1)eq \(lim,\s\d4(x→a)) f(x)＝0及eq \(lim,\s\d4(x→a)) g(x)＝0；
(2)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g′(x)≠0；
(3)eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′?x?,g′?x?)＝A，那么eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f?x?,g?x?)＝eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′?x?,g′?x?)＝A.
法則2 若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件
(1)eq \(lim,\s\d4(x→a)) f(x)＝∞及eq \(lim,\s\d4(x→a)) g(x)＝∞；
(2)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g′(x)≠0；
(3)eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′?x?,g′?x?)＝A，那么eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f?x?,g?x?)＝eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′?x?,g′?x?)＝A.
二、【題型歸類】
【題型一】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍
【典例1】已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax2－x.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥eq \f(1,2)x3＋1，求a的取值范圍.
【典例2】已知函數(shù)f(x)＝eq \f(1＋ln x,x).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，a＋\f(1,2)))上存在極值，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)如果當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)－eq \f(k,x＋1)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【典例3】已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex－eq \f(1,2)ax2＋ax(a∈R)．
(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；
(2)當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍．
【題型二】分類討論法求參數(shù)范圍
【典例1】已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax，a∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若不等式f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍．
【典例2】已知函數(shù)f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝eq \f(1,2)x2＋ax，其中a為常數(shù)．
(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；
(2)若對(duì)任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【典例3】已知函數(shù)f(x)＝aex－1－ln x＋ln a.
(1)當(dāng)a＝e時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．
【題型三】等價(jià)轉(zhuǎn)化求參數(shù)范圍
【典例1】已知函數(shù)f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)在x＝1處的切線與直線3x－y＝0平行，求a的值；
(2)若不等式f(x)≥ln x－a＋1對(duì)一切x∈[1，＋∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【典例2】已知函數(shù)f(x)＝－ax2＋ln x(a∈R)．
(1)討論f(x)的單調(diào)性﹔
(2)若存在x∈(1，＋∞)，f(x)>－a，求a的取值范圍．
【典例3】已知函數(shù)f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x.
(1)當(dāng)a>2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在x∈[1，＋∞)，使f(x)g(x1)－g(x2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【題型五】洛必達(dá)法則
【典例1】已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)．若對(duì)任意x>0都有f(x)>ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【典例2】已知函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝－1處有極值，求a的值．
(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】已知x＝eq \f(1,\r(e))為函數(shù)f(x)＝xaln x的極值點(diǎn).
(1)求a的值；
(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝eq \f(kx,ex)，若對(duì)?x1∈(0，＋∞)，?x2∈R，使得f(x1)－g(x2)≥0，求k的取值范圍.
【訓(xùn)練二】已知函數(shù)f(x)＝eax－x.
(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處切線的斜率為1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若不等式f(x)≥eaxln x－ax2對(duì)x∈(0，e]恒成立，求a的取值范圍．
【訓(xùn)練三】設(shè)函數(shù)f(x)＝eq \f(1－a,2)x2＋ax－ln x(a∈R)．
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；
(2)若對(duì)任意a∈(4,5)及任意x1，x2∈[1,2]，恒有eq \f(a－1,2)m＋ln 2>|f(x1)－f(x2)|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【訓(xùn)練四】設(shè)函數(shù)f(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(e,ex)，g(x)＝a(x2－1)－ln x(a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．
(1)證明：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0；
(2)討論g(x)的單調(diào)性；
(3)若不等式f(x)x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【訓(xùn)練六】f(x)＝xex，g(x)＝eq \f(1,2)x2＋x.
(1)令F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的最小值；
(2)若任意x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
四、【強(qiáng)化測(cè)試】
【解答題】
1. 已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln(x＋1).若對(duì)任意x＞0都有f(x)＞ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
2. 設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－xln x－(2a－1)x＋a－1(a∈R).若對(duì)任意的x∈[1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
3. 已知a∈R，f(x)＝aln x＋x2－4x，g(x)＝(a－2)x，若存在x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e))，使得f(x0)≤g(x0)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
4. 已知函數(shù)f(x)＝eq \f(x2,2)－(m＋1)x＋mln x＋m，f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)．
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若xf′(x)－f(x)≥0恒成立，求m的取值范圍．
5. 已知函數(shù)f(x)＝x(mex－1)．
(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的圖象在(1，f(1))處的切線方程；
(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)≥x2－2x，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
6. 設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x(a∈R).
(1)若x＝3是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若f(x)≥1恒成立，求a的取值范圍．
7. 設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x＋eq \f(a,x)(a為常數(shù))．
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
8. 已知函數(shù)f(x)＝xln x(x>0)．
(1)求函數(shù)f(x)的極值；
(2)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≤eq \f(－x2＋mx－3,2)成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．
9. 已知函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋1)x－ln x，g(x)＝x2＋x＋2a＋1.
(1)若f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f(x)0)．
(1)判斷f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)f(x)0時(shí)，若曲線y＝f(x)在直線y＝－x的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
14. 已知函數(shù)f(x)＝x－1－aln x(a0)．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)若對(duì)于?x1∈[－1,1]，?x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)>g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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