【考綱要求】
1.了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，會(huì)解決等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題.
2.能在具體問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)等差、等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題．
【方法技巧】
1.數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題常見(jiàn)模型
(1)等差模型：后一個(gè)量比前一個(gè)量增加(或減少)的是同一個(gè)固定值．
(2)等比模型：后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是同一個(gè)固定的非零常數(shù)．
(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，那么應(yīng)考慮an與an＋1(或者相鄰三項(xiàng))之間的遞推關(guān)系，或者Sn與Sn＋1(或者相鄰三項(xiàng))之間的遞推關(guān)系．
2.對(duì)等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系．?dāng)?shù)列的求和主要是等差、等比數(shù)列的求和及裂項(xiàng)相消法求和與錯(cuò)位相減法求和，本題中利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，然后利用b1＝1，d>0證明不等式成立．另外本題在探求{an}與{cn}的通項(xiàng)公式時(shí)，考查累加、累乘兩種基本方法．
3.數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題關(guān)鍵在于通過(guò)函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和，再利用數(shù)列或數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)解決最值、范圍問(wèn)題，通過(guò)放縮進(jìn)行不等式的證明．
二、【題型歸類】
【題型一】數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
【典例1】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699塊 B．3 474塊
C．3 402塊 D．3 339塊
【典例2】某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折．規(guī)格為20 dm×12 dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×
6 dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1＝240 dm2，對(duì)折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2＝180 dm2，以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為_(kāi)_______；如果對(duì)折n次，那么eq \i\su(k＝1,n,S)k＝_______ dm2.
【典例3】《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，前三個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為28.5尺，最后三個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為1.5尺，今年3月20日為春分時(shí)節(jié)，其日影長(zhǎng)為( )
A．4.5尺 B．3.5尺
C．2.5尺 D．1.5尺
【題型二】等差、等比數(shù)列的綜合
【典例1】設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.
【典例2】設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝3，an＋1＝2an＋1.
(1)證明：{an＋1}為等比數(shù)列；
(2)求{an}的通項(xiàng)公式，并判斷n，an，Sn是否成等差數(shù)列？說(shuō)明理由．
【典例3】已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝2，b2＝4，an＝2lg2bn，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{cn}，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，求S100.
【題型三】數(shù)列與其他知識(shí)的交匯
【典例1】已知數(shù)列{an}是公比不等于1的正項(xiàng)等比數(shù)列，且lg a1＋lg a2 021＝0，若函數(shù)f(x)＝eq \f(2,1＋x2)，則f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 021)＝( )
A．2 020 B．4 040
C．2 021 D．4 042
【典例2】已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝1，且?n∈N*，2Sn＝(n＋1)an，bn＝Sneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(anπ,2)＋sin \f(anπ,2)))，則數(shù)列{bn}的前2 020項(xiàng)之和T2 020＝________．
【典例3】設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1，記數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,anan＋1)))的前n項(xiàng)和為T(mén)n，若對(duì)任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2－a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】已知數(shù)列{an}滿足an＋am＝am＋n(m，n∈N*)且a1＝1，若[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a2n＋3,5)))))的前10項(xiàng)和為( )
A．12 B.eq \f(113,5)
C．24 D．40
【訓(xùn)練二】(多選)已知在△ABC中，A1，B1分別是邊BA，CB的中點(diǎn)，A2，B2分別是線段A1A，B1B的中點(diǎn)，…，An，Bn分別是線段An－1A，Bn－1B(n∈N*，n＞1)的中點(diǎn)，設(shè)數(shù)列{an}，{bn}滿足eq \(BnAn,\s\up6(→))＝aneq \(CA,\s\up6(→))＋bneq \(CB,\s\up6(→))(n∈N*)，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是( )
A．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列，數(shù)列{bn}是遞減數(shù)列
B．?dāng)?shù)列{an＋bn}是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列{eq \f(an,bn)}(n∈N*，n＞1)既有最小值，又有最大值
D．若在△ABC中，C＝90°，CA＝CB，則|eq \(BnAn,\s\up6(→))|最小時(shí)，an＋bn＝eq \f(1,2)
【訓(xùn)練三】某地區(qū)2018年人口總數(shù)為45萬(wàn)．實(shí)施“二孩”政策后，專家估計(jì)人口總數(shù)將發(fā)生如下變化：從2019年開(kāi)始到2028年，每年人口總數(shù)比上一年增加0.5萬(wàn)人，從2029年開(kāi)始到2038年，每年人口總數(shù)為上一年的99%.
(1)求實(shí)施“二孩”政策后第n年的人口總數(shù)an(單位：萬(wàn)人)的表達(dá)式(注：2019年為第一年)；
(2)若“二孩”政策實(shí)施后的2019年到2038年人口平均值超過(guò)49萬(wàn)，則需調(diào)整政策，否則繼續(xù)實(shí)施，問(wèn)到2038年結(jié)束后是否需要調(diào)整政策？(參考數(shù)據(jù)：0.9910≈0.9)
【訓(xùn)練四】已知在等差數(shù)列{an}中，a2＝5，a4＋a6＝22，在數(shù)列{bn}中，b1＝3，bn＝2bn－1＋1(n≥2)．
(1)分別求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)定義x＝[x]＋(x)，[x]是x的整數(shù)部分，(x)是x的小數(shù)部分，且0≤(x)＜1.記數(shù)列{cn}滿足cn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn＋1)))，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．
【訓(xùn)練五】由整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，a1a2＝2a4.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n，將數(shù)列{an}，{bn}的所有項(xiàng)按照“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn放在前面；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an放在前面”的要求進(jìn)行“交叉排列”，得到一個(gè)新數(shù)列{cn}，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求數(shù)列{cn}的前(4n＋3)項(xiàng)和T4n＋3.
【訓(xùn)練六】已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)令bn＝(－1)n－1eq \f(4n,anan＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
四、【強(qiáng)化測(cè)試】
【單選題】
1. 等比數(shù)列{an}中，a5，a7是函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3的兩個(gè)零點(diǎn)，則a3·a9等于( )
A．－3 B．3 C．－4 D．4
2. 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，則S10的值為( )
A．－110 B．－90 C．90 D．110
3. 若等差數(shù)列{an}的公差d≠0且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則eq \f(a2,a1)等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,2) D．2
4. 某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高42萬(wàn)元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高168萬(wàn)元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過(guò)1 700萬(wàn)元．則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要( )
A．3 233萬(wàn)元 B．4 706萬(wàn)元
C．4 709萬(wàn)元 D．4 808萬(wàn)元
5. 某食品加工廠2019年獲利20萬(wàn)元，經(jīng)調(diào)整食品結(jié)構(gòu)，開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品，計(jì)劃從2020年開(kāi)始每年比上一年獲利增加20%，則從( )年開(kāi)始這家加工廠年獲利超過(guò)60萬(wàn)元，已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1( )
A．2024年 B．2025年
C．2026年 D．2027年
6. 意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(xiàn)(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)．此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用．若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的前2 019項(xiàng)的和為( )
A．672 B．673
C．1 346 D．2 019
7. 已知等差數(shù)列{an}的公差為－2，前n項(xiàng)和為Sn.若a2，a3，a4為某三角形的三邊長(zhǎng)，且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為120°，則Sn的最大值為( )
A．5 B．11
C．20 D．25
8. 定義：若數(shù)列{an}對(duì)任意的正整數(shù)n，都有|an＋1|＋|an|＝d(d為常數(shù))，則稱|an|為“絕對(duì)和數(shù)列”，d叫做“絕對(duì)公和”．已知“絕對(duì)和數(shù)列”{an}中，a1＝2，絕對(duì)公和為3，則其前2 019項(xiàng)的和S2 019的最小值為( )
A．－2 019 B．－3 010
C．－3 025 D．－3 027
【多選題】
9. 南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，則( )
A．a(chǎn)4＝12
B．a(chǎn)n＋1＝an＋n＋1
C．a(chǎn)100＝5 050
D．2an＋1＝an·an＋2
10. 已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，滿足a1＋5a3＝S8，下列選項(xiàng)正確的有( )
A．a(chǎn)10＝0 B．S10最小
C．S7＝S12 D．S20＝0
11. 若數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意的n∈N*且n≥3，總存在i，j∈N*，使得an＝ai＋aj(i≠j，i＜n，j＜n)，則稱數(shù)列{an}是“T數(shù)列”．則下列數(shù)列是“T數(shù)列”的為( )
A．{2n} B．{n2}
C．{3n} D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(5),2)))\s\up12(n－1)))
12. 一個(gè)彈性小球從100 m高處自由落下，每次著地后又跳回原來(lái)的高度的eq \f(2,3)再落下．設(shè)它第n次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的總路程記為Sn，則當(dāng)n≥2時(shí)，下面說(shuō)法正確的是( )
A．Sn＜500 B．Sn≤500
C．Sn的最小值為eq \f(700,3) D．Sn的最大值為400
【填空題】
13. 若數(shù)列{an}滿足eq \f(1,an＋1)－eq \f(2,an)＝0，則稱{an}為“夢(mèng)想數(shù)列”．已知正項(xiàng)數(shù)列{eq \f(1,bn)}為“夢(mèng)想數(shù)列”，且b1＋b2＋b3＝1，則b6＋b7＋b8＝________．
14. 已知在數(shù)列{an}中，an＋1＝2an－1，a1＝2，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意的n∈N*，(Sn＋1－n)k≥2n－3恒成立，則k的最小值為_(kāi)_______
15. 若數(shù)列{an}滿足a2－eq \f(1,2)a1

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